Соболев С.К. - Двойные интегралы (1077059), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда верна формула:∫∫Dbdb df ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ g ( x )h( y )dy =  ∫ g ( x )dx  ⋅  ∫ h( y )dy  . aca cПример 9. Вычислить двойной интеграл от функции f ( x, y ) = e2 x − y по области D –прямоугольнику 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 .Решение.132 x− y2x − y2x−y∫∫ e dxdy = ∫∫ e ⋅ e dxdy = ∫ e dx ⋅ ∫ e dy =DD00( 12 e2 x ) xx==10 ⋅ ( −e− y ) yy==03 = 12 ( e2 − 1)(1 − e−3 ) .В полярных координатах справедлива аналогичная формула, если подынтегральнуюфункцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависиттолько от угла φ, а другая – только от радиуса r: f ( x, y ) = g (ϕ ) ⋅ h( r ) , а областьинтегрирования ограниченалиниямиϕ = const(луч,Yвыходящий из начала координат) и r = const (окружность сцентром в начале координат). Тогда имеет место формула:3ϕ = π4ββdd f(x,y)dxdy=dϕg(ϕ)⋅h(r)⋅r⋅dr=g(ϕ)dϕ⋅h(r)⋅r⋅dr∫∫∫ ∫y=x∫ ∫Dcαα cХ–3.Рис.

20AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы14Пример 10. Пусть область D – круговой сектор y ≥ x, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 9 (см. Рис. 20),f ( x, y ) = x 3 + xy 2 , тогда:π3π032222∫∫ ( x + xy )dxdy = ∫∫ x ⋅ ( x + y )dxdy = ∫ dϕ ∫ r cosϕ ⋅ r ⋅ rdr =DD43π= ∫ cos ϕ dϕ ⋅ ∫ r 4 dr =  sin ϕπ04 243⋅= − 243 2 .10ϕ =π  54ϕ =π4.2. Расположение декартовой системы координат при вычислении площадиповерхности и объема тела в пространстве.Указанные в п. 3.1. формулы (д) и (е) длявычисления площади поверхности и объематела в пространстве применимы, когдаповерхность или тело проецируется не толькона координатную плоскость XOY, но и на XOZили YOZ.(а) Например, если поверхность σ заданауравнениемгдеy = f ( x, z ) ,M ( x; z ) ∈ D ⊂ XOZ , то площадь поверхностиσ вычисляется по формуле:S (σ ) = ∫∫ 1 + ( f x′ ( x, z )) 2 + ( f z′( x, z )) 2 dxdz .DYy = f ( x, z )σXDOРисунок в этом случае можно развернуть,направив, для наглядности ось OY вертикальноРис.

21Zвверх (см. Рис. 21).(б) Аналогично, если тело Т проецируется на плоскость YOZ в фигуру D и заданонеравенствами x1 ( y , z ) ≤ x ≤ x2 ( y , z ), M ( y; z ) ∈ D ⊂ YOZ , то объём тела Т вычисляется поформуле:V (T ) = ∫∫ ( x2 ( y , z ) − x1 ( y , z ) ) dydz .x = x2 ( y , z )XDВ этом случае рисунок тоже лучше развернуть,направив, ось OХ вертикально вверх (см.

Рис. 22).Пример 11. Найти объем тела, ограниченногоповерхностями:2 x + y − 4 z − 1 = 0 (1) и y = ( x − 1) 2 + z 2 (2).TZx = x1 ( y , z )Решение. Первая поверхность – это плоскостьD2 x + y − 4 z − 1 = 0 ⇔ y = 1 − 2 x + 4 z , а вторая –круговой параболоид(11) с вершиной в точкеРис. 22YV (1; 0; 0) , ось которого параллельна оси OY. Поэтомуна чертеже ось OY удобно направить вертикально вверх. Найдем проекцию линиипересечения этих поверхностей на плоскость XOZ, для чего исключим переменную у изуравнений (1) и (2), т.е. подставим уравнение (2) в уравнение (1). Получим:AKF3.RUС.К.

Соболев. Двойные интегралы152 x + ( x − 1) 2 + z 2 − 4 z − 1 = 0 ⇔ x 2 + z 2 − 4 z = 0 ⇔⇔ x 2 + ( z − 2) 2 = 4.YXx 2 + ( z − 2)2 = 4r = 4 cos ϕDРис. 24y = 1 − 2 x + 4z420ZTРис. 23y = ( x − 1)2 + z 2D4ZXЭто окружность радиуса 2 с центром на оси OZ и проходящая через начало координат.Тело Т проецируется на плоскость XOZ в круг D, ограниченный этой окружностью (см.Рис. 23). Тело Т можно задать неравенствамиy1 ( x, z ) ≡ ( x − 1)2 + z 2 ≤ y ≤ 1 − 2 x + 4 z ≡ y2 ( x, z ) (см. Рис. 24).Поэтому объем тела Т равенV (T ) = ∫∫ ( y2 ( x, z ) − y1 ( x, z ) ) dxdz =D()= ∫∫ 1 − 2 x + 4 z − ( x − 1)2 − z 2 dxdz =D()= ∫∫ 4 z − x 2 − z 2 dxdz.DВычислим этот интеграл в полярных координатах, положив, например,z = r cos ϕ , x = r sin ϕ , x 2 + z 2 = r 2 .

Тогда уравнение окружности x 2 + ( z − 2) 2 = 4 приметвид: x 2 + ( z − 2) 2 = 4 ⇔ x 2 + z 2 = 4 z ⇔ r 2 = 2r cos ϕ ⇔ r = 4 cos ϕ . Поэтомуπ()V (T ) = ∫∫ 4 z − x 2 − z 2 dxdz =D−π2=∫−π2(dϕ cos ϕ ⋅ 43 r 3 − 14 r 4∫π)r =0∫dϕ02r = 4 cos ϕπ4 cos ϕ2(4 r cos ϕ − r 2 ) ⋅ r ⋅ dr =4 cos ϕ2∫π−dϕ∫(4r 2 cos ϕ − r 3 )dr =02ππ22()= 2 ∫ cos ϕ ⋅ 256cos3 ϕ − 256cos4 ϕ dϕ = 128cos4 ϕ dϕ =343 ∫00AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралыπ2=3232ππ22∫ (1 + cos 2ϕ ) dϕ = 323 ∫ (1 + 2 cos 2ϕ + 21 (1 + cos 4ϕ ) ) dϕ = 323 ∫ ( 23 + 2 cos 2ϕ + 21 cos 4ϕ ) dϕ =000π=16(32 3 ϕ3 2+ sin 2ϕ + 81 sin 2ϕ )2= 32 ⋅ 3 ⋅ π = 8π .3 2 20Мы воспользовались свойством определённого интеграла от четной(12) функции f ( x )aпо отрезку, симметричному относительно начала координат:∫af ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx .−a0Ответ: V (T ) = 8π .Пример 12.

Найти площадь поверхности σ :x + y 2 + z 2 = 9, x ≥ 0, y ≥ 0 .Решение.Даннаяповерхностьпредставляетсобойчастьпараболоида2222x + y + z = 9 ⇔ x = 9 − y − z , (симметричного относительно оси ОХ) ограниченногоплоскостями x = 0 и y = 0 , поэтому ось OХ на чертеже удобно направить вертикальновверх (см. Рис. 25). Линия пересечения параболоида с плоскостью x = 0 есть окружностьy 2 + z 2 = 9 , а проекция поверхности σ на плоскость YOZ – полукруг D: y 2 + z 2 ≤ 9, y ≥ 0(Рис.

26).Xx′y = − 2 y , x′z = − 2 z ⇒ 1 + ( x′y )2 + ( x′z )2 = 1 + 4 y 2 + 4 z 2 .Следовательно, площадь поверхности σ равна:9S (σ ) = ∫∫ 1 + ( x′y ) + ( x′z ) dydz = ∫∫ 1 + 4 y + 4 z dydz .222D2DσZВычислим этот интеграл также в полярных координатах:y = r cos ϕ , z = r sin ϕ , y 2 + z 2 = r 2 , Получим:3YDπ3 t = 1 + 4 r 2 ⇒ dt = 8rdr ,2dϕ1+4r⋅r⋅dr==∫π ∫r0t1,r3t37=⇒==⇒= Z0−2S (σ ) =Рис.

252π2=18∫π dϕ ∫−337t ⋅ dt = 18 ⋅ π ⋅ 23 t372112Ответ: S (σ ) = π 37 37 − 1 .12(3)= π 37 37 − 1 .12()D0–33YРис. 26Вопросы для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения.1. Дайте определение двойного интеграла.2. Что такое среднее значение функции двух переменной f ( x, y ) в плоскойобласти D?3. Как вычисляется двойной интеграл: (а) в декартовых координатах; (б) в полярныхкоординатах?AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы174.

Как с помощью двойного интеграла найти: (а) массу плоской пластинкипеременной плотности; (б) объем тела в пространстве; (в) площадь поверхности впространстве?5. Напишите формулы для нахождения координат центра масс плоской пластинкипеременной плотности.6. Что такое центроид геометрической фигуры? Напишите формулы для нахождениякоординат центроида плоской области.7. Сформулируйте вторую формулу Гульдина.8. Какую величину выражает двойной интеграл ∫∫ p( x, y )dxdy , если p ( x, y ) –Dплотность населения в точке M ( x; y ) региона D?9. Вычислите среднее значение функции f ( x, y ) = xy в прямоугольнике1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 .10.

Проверьте теорему о среднем: нарисуйте множество точек внутри прямоугольника1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 , для которых значение функции f ( x, y ) = xy совпадает сосредним.11. Оцените сверху и снизу значение двойного интеграла J = ∫∫ 1 + x 3 + y 2 dxdy , гдеDD – прямоугольник 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 .12. Вычислите двойной интеграл∫∫ (2 x + 3 y )dxdy ,где область D – треугольникDОАВ, A(3; 0), B (0; 3) .13. Вычислите наиболее рациональным способом двойной интеграл∫∫1 + x 2 + y 2 dxdy по области D : 0 ≤ y ≤ x, x 2 + y 2 ≤ 4 .D214. В повторном интеграле ∫ dx0x +2∫xf ( x, y ) dy2измените порядок интегрирования и перейдите кполярным координатам.∫∫ f ( x, y )dxdyYпо области D,2изображенной на Рис.

27, расставьте пределыинтегрированиявдекартовыхкоординатах,измените порядок интегрирования и перейдитек полярным координатам.16. Найдите объем тела, заданного неравенствами0 ≤ z ≤ 1 + x + y , y ≥ 0, y 2 ≤ x ≤ 4 .015. В двойном интегралеD4ХРис.27–417. Найдите площадь поверхности z = 3x 2 + 3 y 2 , x ≤ y ≤ 2 x, x + y ≤ 6 .18.

Найдите координаты центроида области x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 2 + x − x 2 .AKF3.RUС.К. Соболев. Двойные интегралы18Ответы к задачам для самостоятельного решения8. Население региона D. 9. fˆ = 4 . 10. Дуга гиперболы xy = 4, 1 ≤ x ≤ 3 .11. 8 2 ≤ J ≤ 16 11 . 12. 45 . 13. π 5 5 − 1 .Указание: перейти к полярным212координатам.(y214.∫0 dy ∫04f ( x, y )dx + ∫ dy2∫015.x∫0 dx∫=f ( x, y )dx =2∫f ( x, y )dy + ∫ dx24∫− 4 − 16 − x2f ( x, y )dx + ∫ dy2f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr.4 x − x20f ( x, y )dy =22+ 4− y2∫yf ( x, y )dx =π44 cos ϕ∫π dϕ −8sin∫ ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr + ∫0 dϕ ∫0−∫0dϕarctg 22−8 y − y4cos ϕ2sin ϕ − cos ϕπf ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr +∫ dy ∫0∫y −24− 4 + 16 − x−4=∫0dϕ20ysin ϕcos2 ϕarctg 2=)f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) ⋅ r ⋅ dr.4.16. V = 332 .

17. S = 6 . 18. C ( 45 ; 2425 )15Литература.1. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля. Серия «Математика в техническом университете», вып. 9.М.: МГТУ, 2001.2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.Ряды. Функции комплексного переменного. Учебник для вузов. – Ростов-на-Дону :Феникс, 1997, 511 с.3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: Учебник для вузов,часть 2. – М.: Физматлит,2001, 464 с.4.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб. пособие длявтузов. Том 2.– М.: Интеграл-Пресс, 2001, 544 с.5. Мельников Д.А., Филиновский А.В., Чуев В.Ю. Кратные интегралы: Методическиеуказания к выполнению типового расчета, МГТУ им. Н.Э. Баумана – М., 1997.-54 с.AKF3.RUС.К.

Соболев. Двойные интегралы19Глоссарий.(1) Замкнутое множество – множество D, содержащее все свои граничные точки, т.е.точки, в каждой окрестности которой имеются как точки, принадлежащие, так и непринадлежащие множеству D.(2) Ограниченное множество – множество, находящееся внутри некоторого круга илипрямоугольника конечного размера.(3) Связное (точнее, линейно связное) множество D на плоскости – множество, любыедве точки которого можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащий вомножестве D.(4) Непрерывная функция. Функция f ( x, y ) = f ( M ) , где M ( x; y ) , называетсянепрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке M 0 ∈ D относительномножества D, т.е. еслиlim f ( M ) = f ( M 0 ) .{M →M0M ∈DНа языке ε − δ это означает следующее:Для всякого ε > 0 найдется δ (ε ) > 0 такое, что для всех точек M ∈ D если MM 0 < δ , тоf ( M ) − f ( M 0 ) < ε .

Характеристики

Список файлов книги