Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Элементы квантовой механики (1076138), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При этом число состояний с одинаковым значением полной энергии частицы называют кратностью, или степенью вырождения этих состояний.4. Прохождение частицы через потенциальный порог или барьер, Пусть частица массой m0 .имеющая полную энергию E, налетает на потенциальный порог (рис. 3.4), двигаясь, для определенности, слева направо. Потенциальная энергия частицы в такой задаче имеет вид ступенчатой функции 0 при x < 0 − область IU (x ) = U 0 при x > 0 − область IIРешения уравнения Шредингера (3.2) для стационарных состояний, удовлетворяющие условиям непрерывности волновой функции и ее производной в точке x = 0, выглядят так:ψ 1 = exp(ik 1 x ) +ψ2 =k1 − k 2exp(− ik 1 x )k1 + k22k1exp(ik 2 x )k1 + k 2где ψ1(x) - волновая функция частицы в области I; ψ2(x) - волновая функция в области II;(3.9)112m0 E , k 2 =2m 0 ( E − U 0 )!!Вероятность того, что частица отразится от потенциального порога, определяется коэффициентом отраженияk1 =k − k2R = 1k1 + k22Вероятность прохождения частицы через потенциальный порог характеризуется при этомкоэффициентом прохождения D =1-R .При квантово-механическом рассмотрении задачи о прохождении частицы через потенциальный порог конечной толщины - потенциальный барьер (рис.

3.5), для которогоx <0 0 приU (x ) = U 0 при 0 < x < d 0 приx >dможно показать, что существует отличная от нуля вероятность того, что частица преодолеетдаже высокий потенциальный барьер, высота которого U0 больше полной энергии налетающей частицы Е . Такое прохождение частицы через потенциальный барьер в случае Е< U0называют туннельным эффектом.Вероятность преодоления частицей высокого потенциального барьера характеризуется коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) D , который определяется выражением 2dD = D0 exp−2 m 0 (U 0 − E )  , D0 ≅ 1(3.11) !В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 3.6) коэффициент прозрачностинаходят по формуле 2 bD = D0 exp− ∫ 2 m 0 (U 0 − E )dx (3.12) ! aИнтегрирование в (3.12) проводится по области, где E<U (см.

рис. 3.6).Туннельный эффект позволяет объяснить такие физические явления, как α-распад ядер, холодную или автоэлектронную эмиссию электронов с поверхности металлов и ряд других физических явлений.Примеры решения задачЗадача 3.1. Электрон находится в потенциальной яме шириной a= 5⋅10-10 м с бесконечно высокими стенками. Найти минимально возможное значение энергии электрона в квантовомсостоянии, для которого плотность вероятности обнаружения электрона в центре ямы равнанулю.Решение.

Стационарные волновые функции, описывающие квантовые состояния электрона впотенциальной яме, определяются выражением (3.3). Исходя из статистического смыславолновой функции для плотности вероятности обнаружения электрона в различных точкахямы, получимω(x ) =2dP2πnx= ψ n (x ) =sin 2, 0 ≤ x≤ aaadxПо условию задачи эта плотность вероятности обнаружения частицы в точке х=а/2 равнанулю. Это приводит к соотношению sin(πn/2) =0.Из этого соотношения следует, что существует множество квантовых состояний, в которыхвероятность обнаружить электрон в центре ямы равна нулю.

Эти состояния соответствуютзначениям квантового числа n = 2, 4, 6, ... . Но так как полная энергия электрона, движущегося в потенциальной яме, определяется выражениемπ2! 2En =n222m0 aто минимальное значение полной энергии соответствует минимальному значению квантового числа п , т.е. для найденных состояний п = 2.

ПоэтомуE min2π 2 ! 22 ⋅ ( 3 ,14 ) 2 ⋅ ( 1 ,05 ⋅ 10 −34 ) 2= E2 ==≈ 9 ,5 ⋅ 10 − 19 Дж− 31− 10 22⋅ ( 5 ⋅ 10 )m0 a9 ,1 ⋅ 10Задача 3.2. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной а находится в низшем (первом} возбужденном состоянии.

Определите вероятностьобнаружения частицы в интервале a/4 , равноудаленном от стенок ямы.Решение. Квантовое состояние частицы с минимально возможным значением энергии называется основным, или невозбужденным состоянием. Такому состоянию при движении частицы в яме соответствует значение квантового числа n = 1.

Остальные состояния называютсявозбужденными. Низшее возбужденное состояние соответствует значению п =2. Это квантовое состояние описывается волновой функцией22 πxsin, 0 ≤ x≤ aaaψ 2 (x ) =Согласно вероятностному смыслу волновой функции, вероятность обнаружения частицы винтервале x1<x < x2 определяется выражениемP =x2∫ ψ (x )2dxx1В нашей задаче x1 = 3a/8, x2=5a/8 .Поэтому искомая вероятность есть2P =a5a / 8∫sin 23a / 82 πx11dx =≈ 0 ,09−a42πЗадача 3.3. При каком отношении высоты потенциального порога U0 к энергии налетающейчастицы Е коэффициент отражения R =0,5?Решение.

Из выражения (3.10) для коэффициента отражения следует, что при E < U0 , когдапараметр k2 = ik является чисто мнимой величиной, а k1 - ik =k1 + i k , частица всегдаотражается от высокого потенциального порога, так как для этого случая R = 1. Если же поусловию задачи R < 1 , то, следовательно, потенциальный порог в данной задаче являетсянизким и Е >U0 . Обозначив через ε < 1 искомое отношение U0/E , запишем выражение длякоэффициента отражения в видеk − k2R= 1k1 + k 22=E −E − U0E +E − U021− 1−ε = +ε11−2Разрешая это соотношение относительно ε, находимДля R =0,5 получаем1−ε = 1 − 1+R R 22 1 − 0 ,5 U ≈ 0 ,97ε = 0 = 1− 1 + 0 ,5 EСледует отметить, что в классической механике коэффициент отражения частицы от низкогопотенциального порога всегда равен нулю.

Другими словами, классическая частица всегдапреодолевает потенциальный порог, высота которого меньше полной энергии налетающейчастицы. Квантовая частица, т.е. частица, обладающая волновыми свойствами, имеет определенную вероятность отразиться от низкого потенциального порога.4. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНВ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХКвантовая механика принципиально отличается от классической в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин. В квантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектр значений (например, энергия атома водорода), тогда как вклассической механике физические величины изменяются непрерывно.

. Кроме того, результаты измерений в квантовой механике имеют вероятностный характер - в процессе измерения с определенной вероятностью реализуется одно из нескольких значений физической величины. В классической механике вероятностный подход к результатам измерения отсутствует.

Указанные различия требуют для квантовой механики адекватного математическогоописания. Такое описание осуществляется с помощью операторов.В квантовой механике физическая величина характеризуется не своим численным значением, а линейным эрмитовым оператором, которым эта величина представляется. Линейностьоператоров необходима для выполнения принципа суперпозиции, а эрмитовость - для того,чтобы значение физической величины, получаемое в результате измерения, было действительным. Каждой физической величине (координате, импульсу, моменту импульса и т.д.)ставится в соответствие свой оператор (оператор координаты, оператор импульса, оператормомента импульса и т.д.).Приведем выражения для операторов основных физических величин.Операторы координаты:∧∧x = x;∧y = y; z = zОператоры проекции импульса:∧px =! ∂;i ∂x∧py =(4.1)∧! ∂! ∂; pz =i ∂yi ∂z(4.2)Операторы проекции момента импульса:∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧L x = y p z − z p y ; L y = z p x − x p z ; Lz = x p y − y p x(4.3)∧Отметим, что в сферических координатах вид оператораLzзаметно упрощается:! ∂i ∂ϕ∧Lz =(4.4)где ϕ - азимутальный угол.Оператор полной энергии (гамильтониан):∧∧∧H = EK + U∧∧где E K - оператор кинетической, a U - оператор потенциальнойэнергии.∧Оператор кинетической энергии E K имеет вид:∧EK∧p21==2m02m0 ∧2 ∧2 ∧2 !2 p x + p y + p z  = −2m0 ∂2∂2∂2 2 ++∂y 2∂z 2 ∂x!2 = −∆2m0Оператор потенциальной энергии∧U = U (x , y , z )Таким образом, гамильтониан можно найти, используя выражение∧H =−!2∆ + U (x , y , z )2m 0(4.5)Подчеркнем, что соотношения, которые классическая физика устанавливает для связи междузначениями физических величин, в квантовой механике определяют связь между операторами этих величин.Один из основных постулатов квантовой механики утверждает, что единственными возмож∧ными результатами измерения физической величины f , которой соответствует оператор F ,являются собственные значения этого оператора, т.е.

собственные значения λn уравнения∧F un = λ n u n∧Здесь un = un(x, y, z) собственные функции оператора F .Система собственных функций {un} представляет собой, как правило, полную ортонормированную систему функций. Следовательно, волновую функцию ψ, которая описывает какоелибо состояние физической системы, можно разложить в ряд по собственным функциям unψ =∑cnun , c n =n∫ u ψdV*n(4.7)VВ (4.7) интегрирование ведется по всей области изменения пространственных переменных.Вероятность того, что при измерении физической величины f будет получено численноезначение λnP (λ n ) = c n2(4.8)∧Среднее значение физической величины f, которой соответствует оператор F , в состоянии,описываемом нормированной волновой функцией ψ, естьf=∧*∫ ψ F ψ dV(4.9)VВажным в квантовой механике является вопрос об одновременном измерении (одновременном точном определении) двух физических величин. Необходимым и достаточным условиемвозможности одновременного измерения двух физических величин f и g является коммута∧∧тивность соответствующих им операторов F и G , т.е.

Характеристики

Список файлов книги