Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Элементы квантовой механики (1076138), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определите с помощью соотношений неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося в области, размер которой L = 10-10 м соответствуетхарактерному размеру атомов.Решение. Для оценочных расчетов будем считать движение частицы одномерным и величину неопределенности координаты положим равной размеру области движения частицы, т.е.∆х=L . При оценке неопределенности импульса примем, что физически разумная неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса, т.е.

положим ∆рх = р .Тогда из соотношения неопределенностей ∆х⋅∆рх≥ ħ получим, что при движении электрона врассматриваемой области пространства L р≥ ħ , т.е. импульс частицы не может быть меньшечемp min =!LЭто означает, в частности, что в квантовой механике частица не может иметь нулевой импульс, т.е. не может находиться в состоянии покоя.Используя связь между импульсом р и кинетической энергией ЕК для нерелятивистской частицы в видеp = 2m0 E K ,запишем теперь следующее оценочное соотношение для минимального значения кинетической энергии частицы:E Kmin =!22 m 0 L2Подставляя в эту формулу массу электрона т0 = 9,1⋅10-31 кг и размер области движения L=1010м, находим EKmin = 6⋅10-19 Дж = 3,8 эВ. Чтобы электрон с такой кинетической энергиейудержать в области движения, необходима энергия связи такого же порядка. Этот вывод согласуется с опытными данными для энергий связи электронов в атомах.Задача 2.2.

Используя соотношения неопределенностей, покажите, что в ядре атома не могутнаходиться электроны. Считать, что линейный размер ядра составляет L = 5⋅10-15 м.Решение. Как и в задаче 2.1, на основании соотношения неопределенностей можно оценитьминимальное значение импульса электронаp min =!LДля рассматриваемого размера ядра L = 5⋅10-15 м минимальный импульс соответствует релятивистской скорости электрона. Поэтому, используя релятивистскую формулу связи импульса р с кинетической энергией EK частицыpc =E K2 + 2 E K E 0получаем квадратное уравнение для расчета минимальной кинетической энергии электрона вядре(E )min 2K2+ 2 E0 EПоложительный корень этого уравненияEminK=minK !c − =0 L  !c E + L202− E0определяет искомое значение кинетической энергии электрона, движущегося в ядре. Учитывая, что энергия покоя электрона Е = m0с2 = 8,19⋅10-14 Дж = 0,51 МэВ, находим окончательнозначение EKmin = 6,2⋅10-12 Дж = 38,7 МэВ.Как показывают экспериментальные данные, энергия связи частиц в ядре не превышает 10МэВ.

Следовательно, силы, действующие в ядре, не смогут удержать в нем электрон с кинетической энергией, равной 38,7 МэВ. Поэтому электрон не может быть составной частицейядра атома.Задача 2.3. Используя соотношения неопределенностей Гейзенберга, получите оценочноесоотношение, определяющее границы применимости классической механики для описаниядвижения частицы в некоторой области пространства с характерным линейным размером L.Решение. Очевидно, что понятие траектории можно использовать для описания механического движения частицы только в том случае, если неопределенность ее координаты мала посравнению с характерным размером области движения, т.е. ∆x<<L .Из соотношений неопределенностей, полагая ∆ рx = р , получаем для неопределенности ко-ординаты значение∆x =λ!!== Б∆p xp2πгде λБ - длина волны де Бройля для рассматриваемой частицы.Следовательно, условие, при выполнении которого для описания движения частицы можноиспользовать законы классической механики, пренебрегая квантовыми эффектами, можнозаписать в видеλБ << LОтметим, что в это условие входит размер области движения частицы, который обычно задается условием решаемой задачи.

Анализ показывает, что полученное условие нарушается длячастиц с малой массой, т.е. микрочастиц, движущихся в областях пространства порядкаатомных размеров.Задача 2.4. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет τ = 10-8 с.Оцените минимальное значение неопределенности частоты излучения атома.Решение. Частота излучения, соответствующая переходу атома из возбужденного состоянияс энергией E2 в основное состояние с энергией E1 , определяется из соотношения!ω = E 2 − E 1Из соотношения неопределенностей (2.2) следует, что неопределенности энергий ∆Е1 и ∆Е2зависят от времени жизни атома в основном и возбужденном состояниях, причем!!∆E 1 =, ∆E 2 =∆t 2∆t 1Так как в основном состоянии атом может находиться неограниченно долго, то следует полагать, что ∆t1→∞.

Время жизни атома в возбужденном состоянии ∆t2 = τ по условию задачи.Поэтому ∆E1 =0 , а ∆Е2 = ħ/τТогда для оценки неопределенностей частоты излучения атома получаем соотношениеħ∆∆ω = ∆Е2 = ħ/ττ8из которого следует, что ∆ω= 1/ττ = 10 Гц.Именно это значение определяет минимальную ширину спектральных линий излучения атомов. Реальная ширина спектральных линий увеличивается за счет теплового движения излучающих атомов и других факторов.3. ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЯХ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕЕсли потенциальная энергия частицы U(x, y, z) в некотором силовом поле явно не зависит отвремени, то полная энергия частицы E со временем не изменяется.

Соответствующую задачуквантовой механики называют стационарной задачей, или задачей о стационарных состояниях. Решение общего временного уравнения Шредингера в стационарной -задаче может бытьзаписано в виде iΨ (x , y , z ) = ψ (x , y , z ) ⋅ exp− Et  ! (3.1)Поскольку временной множитель в (3.1) известен, то основное внимание мы будем уделятькоординатной части ψ(x, y, z), которую и называют волновой функцией стационарной задачи. Такая волновая функция ψ(x, y, z) зависит только от пространственных координат иудовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных состояний−!2∆ψ + Uψ = Eψ2m0(3.2)или в другой форме записи2m0(E − U )ψ = 0(3.2 а)!2Конкретный вид силового поля в стационарной задаче квантовой механики определяется за∆ψ +данием потенциальной энергии частицы U(x, y, z). В этих задачах плотность вероятности обнаружения частицы (но не сама волновая функция Ψ) не зависит явно от времени:ω = dP/dV = Ψ(x, y, z)2 =ψ(x, y, z)2Рассмотрим некоторые примеры задач о стационарных состояниях в квантовой механике.I.

Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этой одномерной задаче потенциальная энергия частицы имеет вид ( рис. 3.1 )x <0− область I∞ приU (x ) =  0 при 0 < x < a − область II∞ приx >a− область IIIВ областях I и III ψ = 0, так как из-за бесконечной высоты стенок ямы частица не может тамоказаться, т.е. плотность вероятности ω =ψψ2 областях I и III должна быть равна нулю. Вобласти возможного движения частицы II решение уравнения Шредингера для стационарныхсостояний (3.2) с учетом условий непрерывности и нормировки волновой функции выглядиттак:ψ n (x ) =2n πxsin, n =1,2, 3, …aa(3.3)Каждому квантовому состоянию, описываемому волновой функцией ψn(x) , соответствуетопределенное значение полной энергии частицы (квантование энергии)π2! 2En =n 2 , n =1,2, 3,(3.4)22m0 aТаким образом, квантовое состояние частицы, движущейся в одномерной потенциальнойяме, характеризуется одним квантовым числом n .2.

Частица в двумерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. В такой задаче 0 , (x , y ) ∈ ΩU (x , y ) =  ∞ , (x , y ) ∉ Ωгде Ω ={(x, y): 0<x<a, 0<y<b} - прямоугольная область движения частицы на плоскости (рис.3.2).Квантовое состояние частицы в такой двумерной задаче задается двумя квантовыми числамип1 и п2, а соответствующая волновая функция имеет видψ n1 , n2 (x , y ) =n πxn πy4sin 1sin 2, n1 , n2 = 1, 2, 3, …abab(3.5)т.е.

является произведением двух волновых функций для одномерных ям. Отметим, что награнице области Ω , т.е. на непроницаемых для частицы стенках ямы волновая функция обращается в нуль.Полная энергия частицы в любом квантовом состоянии определяется выражением22π 2 ! 2  n 1  n2  E = +  , n1 , n2 =1, 2, 3, …(3.6)2 m 0  a  b  3. Частица в потенциальном ящике (трехмерной потенциальной яме) с непроницаемымистенками. Обозначим через G ={(x,y,z): 0<x<a1 , 0< y< a2 , 0<z<a3} внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.3).

В рассматриваемой задаче потенциальная энергиячастицы в точке М (X, у z) пространства имеет вид0, M ∈ GU (M ) = ∞ , M ∉ GВне потенциального ящика волновая функция равна нулю. Внутри потенциального ящика(M∈ G) волновая функция может быть найдена как решение уравнения Шредингера для стационарных состояний (3.2)ψ n1 , n2 , n3 (x , y , z ) =n πzn πxn πy8sin 1sin 2 sin 3a1 a 2 a 3a1a2a 3 n1,n2,n3 =1,2,3,… (3.7)т.е. представляет собой произведение трех одномерных волновых функций.Квантовые состояния частицы, находящейся в потенциальном ящике, определяются тремяквантовыми числами п1 п2 п3.Каждому квантовому состоянию соответствует определенноезначение полной энергии частицы222 n3   n2 π 2 ! 2  n 1   , n1 , n2 , n3 =1, 2, 3, … +  + E =(3.8)2 m 0  a 1 a 2 a 3  Только при этих значениях полной энергии Е уравнение Шредингера имеет регулярные решения.Отметим, что для потенциального ящика кубической формы, т.е.

при a1 = a2 =a3 =a , задачао движении частицы обладает пространственной симметрией за счет равноправия всех трехпространственных направлений. В этом случае существуют квантовые состояния (например,ψ112 , ψ121 , ψ211 ), находясь в которых частица имеет одинаковые значения полной энергии.Совокупность таких состояний, в которых частица имеет одинаковые значения полной энергии Е , называют вырожденными состояниями.

Характеристики

Список файлов книги