Главная » Просмотр файлов » Константинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике

Константинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике (1076123), страница 2

Файл №1076123 Константинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике (Константинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике) 2 страницаКонстантинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике (1076123) страница 22018-01-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Другими словами, измерение физической ве9личины f в состоянии, описываемом волновой функцией (6а) с вероятно2стью cn даст значение f n .Принцип суперпозиции позволяет решать многие задачи квантовой механики и упрощать их решение. В частности, принцип суперпозиции является мощным инструментом построения решений уравнения Шредингера. Разложение волновых функций состояний частицы по собственным функциямоператоров физических величин даёт возможность представить эти состояния в виде суперпозиции состояний, в которых эти величины имеют определённые значения, т.е. дать их физическую интерпретацию и установить возможные результаты измерения величин и вероятности их появления.2.

Примеры решения задач.Задача 1. Частица массой m находится в одномерной потенциальнойяме шириной a с бесконечно высокими стенками, т.е. в потенциальном полес потенциальной энергией0U =∞0 ≤ x ≤ a,x < 0, x > a.(14)В момент времени t = 0 волновая функция частицы имеет вид Ax ( a − x ) ,Ψ ( x,0) = ψ ( x ) = 0,0 < x < a,x < 0, x > a.(15)Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , возможные результаты измерения энергии частицы и вероятности их появления, а также вероятность обнаружения частицы в основном и в двух первых возбуждённых состояниях.Решение.В нерелятивистской квантовой механике волновые функции, определяющие состояние квантовой частицы (системы), являются решениями уравнения Шредингера10i∂Ψ = H€Ψ ,∂t(16)где H€ - оператор Гамильтона, имеющий для отдельной частицы вид2H€ = −∆ + U (r , t ) ,2m(17)где ∆ - оператор Лапласа, который в прямоугольной декартовой системе координат определяется равенством∂2∂2∂2∆= 2 + 2 + 2,∂x∂y∂z(18)а U ( r , t ) - потенциальная энергия частицы, являющаяся, в общем случае,функцией координат и времени.

В рассматриваемой задаче U ( r , t ) ≡ 0 при0 < x < a и обращается в бесконечность при x < 0 и x > a . Поэтому началь-ное условие (15) должно быть дополнено граничными условиямиΨ ( 0, t ) = Ψ ( a, t ) = 0 ,вытекающими из условия непрерывности волновой функции.Поскольку в рассматриваемой задаче потенциал не зависит от времени,то в потенциальной яме существуют стационарные состояния, то есть состояния, в которых частица определенные значения энергии. Поэтому, в силупринципа суперпозиции, любая волновая функция, описывающая состояниечастицы в потенциальной яме, может быть разложена по собственным функциям стационарных состояний, то есть по собственным функциям оператораэнергии.

Волновые функции стационарных состояний частицы в потенциальной яме имеют видΨ n ( x, t ) = ei− Entψ n ( x) ,(20)где функции ψ n ( x ) являются решениями одномерного стационарного уравнения ШредингераH€ψ n = Enψ n11или∂ 2ψ n 2m+ 2 Enψ n = 0 .∂x 2Решения этого уравнения, удовлетворяющие граничным условиямψ ( 0) =ψ ( a ) = 0(21)и условию нормировкиa∫ ψ ( x ) dx = 12(22)n0имеют вид2π nxsin,aaψ n ( x) =(23)а соответствующие им значения энергии определяются равенствомEn =π 222ma2n2 .(24)Волновые функции (23) ортонормированны, тоaa∫ Ψ Ψ dx = ∫ψ ψ dx = δ*k*kl0lkl,0где δ kl есть символы Кронекера, и образуют полную систему волновыхфункций.Таким образом, согласно принципу суперпозиции, произвольную волновую функцию Ψ ( x, t ) , описывающую состояние частицы в яме, можнопредставить следующим образом∞Ψ ( x, t ) = ∑ cn ei− Entn =1i− Ent2 ∞π nxψ n ( x) =cnesin,∑a n=1a(25)где значения энергии En определены равенствами (24).Чтобы найти коэффициентыcnразложения (25), заметим, что при t = 0волновая функция (25) равна12∞Ψ ( x,0 ) = ψ ( x ) = ∑ cnψ n ( x ) .n =1где функция ψ ( x ) - определяется равенствами (15).Таким образом, коэффициенты cn разложения (25), совпадают с коэффициентами разложения функции ψ ( x ) = Ψ ( x,0 ) по собственным функциямψ n ( x ) оператора Гамильтона (23).Прежде всего, из условия нормировки найдем коэффициент A в равенстве (15)aaA2 a 51 = ∫ψ ( x ) dx = A ∫ x ( a − x ) dx =,30002222откудаA=−30a5/ 2.Знак минус выбран для того, чтобы функция ψ ( x ) = Ψ ( x,0 ) была положительной.Далее, с помощью равенства (9) найдём коэффициентыcnразложения(25),2acn = ∫ ψ n ( x )ψ ( x ) dx = −030a5/ 22a2a∫ ( x − a ) sin0π nx2adx =4 15 (1 − cos π n ).π 3n3Из полученной формулы следует, чтоn = 2k ,0,cn =  8 15 3 3 , n = 2k + 1,π nто есть в разложении (25) присутствуют волновые функции только нечетныхэнергетических уровней стационарных состояний.Таким образом, волновая функция Ψ ( x, t ) может быть представлена ввиде следующей суперпозиции волновых функций стационарных состояний13ii− E2 k +1t− E2 k +1t2k + 1) π x 8 30 ∞(8 30 ∞11Ψ ( x, t ) = 3= 3esineψ 2 k +1 ,∑∑33aπ a k =0 ( 2k + 1)π a k =0 ( 2k + 1)откуда следует, что измерение энергии частицы с вероятностьюP2 k +1 = c22k +1 =960π ( 2k + 1) 6даст значениеE2 k +1 =π 222ma2( 2k + 1)2,где k = 0, 1, 2, ...

. В частности, вероятность обнаружения частицы в основномсостоянии ( k = 0, n = 1) равна P1 = 0.998555 , в первом возбуждённом состоянии (n = 2) - P2 = 0 , а во втором возбуждённом состоянии( k = 1, n = 3)-P3 = 0.0014 .Задача 2. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками равнаΨ ( x,0 ) = ψ ( x) = A sin3π xπxπxcos cos.2ll2l(26)Написать выражение для волновой функции частицы Ψ ( x, t ) , найтисреднюю энергию частицы и вероятность её обнаружения в первом возбуждённом состоянии. Является ли состояние частицы стационарным?Решение.

Как и при решении задачи 1, будем искать решение в видеразложения вида (25). С этой целью, пользуясь известными тригонометрическими формулами1cos α ⋅ cos β = cos (α + β ) + cos (α − β ) 2(27)1sin α ⋅ cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  ,2(28)и14преобразуем заданную волновую функцию ψ ( x ) к виду:A  3π x2π xπxsinsinsin++.4 lll ψ ( x) =Постоянный множитель A находим из условия нормировки:l1 = ∫ ψ ( x)02lA2  2 3π xA2 3l2 2π x2 πx+ sin+ sindx = ∫ sindx =,16 0 lll 16 2откудаA=423lЗдесь мы учли свойство ортогональности тригонометрических функций, состоящее в том, что при любых целых значениях k и n справедливо равенство:l0 k ≠ n,2π kx π nxδsinsindx==knl ∫0ll1 k = n.(29)Таким образом, функция ψ ( x ) принимает следующий окончательный видψ ( x) =где ψ n ( x ) =πx 12  3π x2π x+ sin+ sinψ 1 ( x ) + ψ 2 ( x ) + ψ 3 ( x )  , sin=3l lll 32π nxsin- волновые функции стационарных состояний.llВ силу ортонормированности волновых функций ψ n , вероятность обнаружения частицы в состоянии с волновой функцией ψ n равна квадрату коэффициента при ψ n .

Поскольку коэффициенты разложения волновой функции ψ по волновым функциям ψ n стационарных состояний совпадают, тосостояние частицы в яме представляет собой равновероятную суперпозициюосновного ( n = 1 ) и двух первых возбужденных состояний ( n = 2, 3 ). Вероятность обнаружения частицы в каждом из этих состояний одинакова и равна1Pn = P = .315(30)Далее, учитывая, что волновая функция стационарного состояния равнаΨ n ( x, t ) = eгде En =i− Entψ n ( x) ,π 22 2n - энергия состояния, m - масса частицы, получим оконча2ml 2тельное выражение для волновой функции Ψ ( x, t ) :ii− E2t− E3t1  − i E1tΨ ( x, t ) =e ψ 1 ( x ) + e ψ 2 ( x ) + e ψ 3 ( x )  .3(31)Таким образом, при измерении энергии частицы с вероятностью 1/ 3может быть получено одно из значений En (n = 1, 2, 3) .

Поэтому среднее значение энергии равно11 π 22 213 π 2 222E = ( E1 + E2 + E3 ) =(1 + 2 + 3 ) = 3 2ml 2 .33 2ml 2(32)Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы не имеет определенного значения, то состояние частицы не является стационарным.Равенства (30)-(32) дают полное решение задачи.Задача 3. Определить результаты измерения проекции импульса Lz ивероятности их выпадения для системы, находящейся в состоянии с волновой функциейψ (ϕ ) = A (1 + cos ϕ ⋅ cos 2ϕ ) ,(33)где ϕ - азимутальный угол, A - некоторая константа.Решение.

Используя тригонометрическое тождество (27), перепишем волновую функцию (33) в виде1 1ψ (ϕ ) = A 1 + cosϕ + cos3ϕ  .2 2Значение постоянной A найдем из условия нормировки16(34)2π22π1 11 = ∫ ψ dϕ = A ∫ 1 + cos ϕ + cos3ϕ  dϕ =2200 222π2=A15 2 122++=1cosϕcos3ϕdϕA π.∫0  442Здесь, как и в задаче 2, мы воспользовались свойством ортогональности тригонометрических функций (29).Таким образом,2.5πA=Далее, чтобы представить волновую функцию ψ (ϕ ) в виде разложения пособственным функциям оператора L€z = −i∂ / ∂ϕ , имеющим вид1 i Lzϕe ,2πиспользуем известную формулуeiα + e −iαcos α =,2Применение которой к (34) даётψ=25π1 i 3ϕ411 1 iϕ− iϕ− i 3ϕ 1 + 4 ( e + e ) + 4 ( e + e )  = 5 ψ 0 + 4 (ψ 1 + ψ −1 ) + 4 (ψ 3 + ψ −3 )  .Таким образом, в результате измерения проекции импульса Lz можетбыть получено значение Lz = 0 с вероятностью P0 = 4 / 5 , и значения ± и±3 с вероятностями 1/ 20 каждое.

Легко убедиться, что сумма вероятно-стей, как и должно быть, равна единице.Задача 4. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массы mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками имеет видψ = Cψ 1 + Cψ s ,17где C - некоторая константа; ψ 1 - волновая функция основного состояния;ψ s - равновероятная суперпозиция основного и второго возбуждённого состояний.Найти волновую функцию Ψ ( x, t ) , среднее значение энергии частицы вданном состоянии и вероятности обнаружения частицы в основном и во втором возбужденном состояниях.Решение.

Согласно условию, ψ s есть равновероятная суперпозиция основного и второго возбужденного состояний, т.е.ψs =1(ψ 1 + ψ 3 ) ,2где волновые функции основного ( n = 1 ) и второго возбужденного ( n = 3 ) состояний равны соответственноψ1 =2πxsinllψ3 =и23π xsin.llПоэтому,1+ 21ψ1 + ψ 3  .22 ψ = CПостоянную C найдем из условия, что вероятность нахождения частицы в одном из указанных в условии состояний равна единице.В силу ортонормированности волновых функций ψ 1 и ψ 3 получим:  1 + 2 2 1 12 3+ 2 21 = C2 +  = 2 + 2 C2 , + =C 222  2(откуда1C=.2+ 2Таким образом, исходная волновая функция ψ ( x ) равна18)ψ=1+ 2πx113π x ψ+ψ+ sin13= 1 + 2 sin,ll222+ 2 l 2+ 21()()а волновая функция Ψ ( x, t ) равна1− E1tπ x − 1 E3t 3π x sinsinΨ ( x, t ) =+e 1+ 2 e,lll 2+ 21(где En =π 222ml2)()n 2 , n = 1, 3 .Вероятности обнаружения частицы в основном и во втором возбужденном состояниях равны соответственно()P1 = (3 + 2 2) / 4 + 2 2 ≈ 0.85и()P3 = 1/ 4 + 2 2 ≈ 0.15 ,а среднее значение энергии частицы равно6 + 2 π 22E = PE≈ 2.17 E1 .1 1 + P3 E3 =22 + 2 2ml3.

Задачи для самостоятельного решения.Задача 1. Частица массой m находится в одномерной потенциальнойяме шириной 3a с бесконечно высокими стенками. В момент времени t = 0волновая функция частицы имеет вид Ax ( x − 2a )( x − 3a ) ,0 < x < 3a,Ψ ( x,0) = ψ ( x ) = x < 0, x > 3a.0,Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , возможные результаты измерения энергии частицы и вероятности их появления, а такжевероятность обнаружения частицы в основном и в двух первых возбуждённых состояниях.19∞Ответ: Ψ ( x, t ) = ∑n =1Pn =420 ( 5 + 4(−1)n )2 105 ( 5 + 4(−1)n )π 3n3ei− En t2π nxπ 22 2sin; En =n ;3a3a18ma 22; P1 0.4369; P2 0.5529; P3 0.0006 .π 6 n6Задача 2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
262,3 Kb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее