Константинов М.Ю. - Принцип суперпозиции в квантовой механике (1076123), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Частица массой m находится в одномерной потенциальнойяме шириной 3a с бесконечно высокими стенками. В момент времени t = 0волновая функция частицы имеет вид Ax ( x − a )( x − 3a ) ,Ψ ( x,0) = ψ ( x ) = 0,0 < x < 3a,x < 0, x > 3a.Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , возможные результаты измерения энергии частицы и вероятности их появления, а такжевероятность обнаружения частицы в основном и в двух первых возбуждённых состояниях.∞Ответ: Ψ ( x, t ) = ∑n =12 105 ( 4 + 5(−1)n )3 3π nei− En t2π nxsin;3a3aEn и Pn те же, что и впредыдущей задаче.Задача 3. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками имеет видψ ( x) = A sin5π xπxπxcos cos .2ll2lСуперпозицией каких состояний является данное состояние? Найтиволновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , среднюю энергию частицы, возможныерезультаты измерения энергии и вероятности их получения.
Является ли состояние частицы стационарным?Ответ: Данное состояние является равновероятной суперпозицией основного состояния и трёх первых возбуждённых состояний;20 i E1 (t −t0 )π x i E2 (t −t0 )2π x i E3 ( t −t0 )3π x i E4 (t −t0 )4π x esin+esin+esin+esin=llll iiiE2 ( t − t0 )E3 ( t − t0 )E4 ( t − t0 )π 22 21 i E1 (t −t0 )ψ 1 ( x) + e ψ 2 ( x) + e ψ 3 ( x) + e ψ 4 ( x) , En =n ,= e 22 m 2l 2Ψ ( x, t ) =ψ n ( x) =12l2π nx1 π 22 229 π 2 21222sin; E =1+2+3+4=; P1 = P2 = P3 = P4 = .)2 2 (2 2ll4 2m l4 2m l4Данное состояние не является стационарным.Задача 4. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками имеет видψ ( x) = A sin9π x3π x3π xcoscos.2ll2lСуперпозицией каких состояний является данное состояние? Найтиволновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , среднее значение импульса частицы ивероятность её обнаружения в каждом из состояний.
Является ли состояниечастицы стационарным?Ответ: Данное состояние является равновероятной суперпозицией второго, пятогои восьмого возбуждённых состояний.iE9 ( t −t0 )2 i E3 (t −t0 )3π x i E6 (t −t0 )6π x9π x sinsinsinΨ ( x, t ) =+e+ee=3l lll iiE6 ( t − t0 )E9 ( t −t0 )π 22 21 i E3 ( t −t0 )1ψ 3 ( x) + eψ 6 ( x) + eψ 9 ( x) , En ==n , P3 = P6 = P9 = ;e2 22m l33E = 43π 222m 2 l 2. Данное состояние не является стационарным.Задача 5. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой m водномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенкамиимеет видψ ( x) = A sin3π x2π xπxcoscos .lllСуперпозицией каких состояний является данное состояние? Найтиволновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , среднее значение энергии частицы,21возможные результаты измерения энергии и вероятности их получения.
Является ли состояние частицы стационарным?Ответ: Данное состояние является равновероятной суперпозицией первого, третьего и пятого возбуждённых состояний.iE6 ( t −t0 ) i E2 (t −t0 )2π x i E4 (t −t0 )4π x6π x esin+esin+esin=llliii2 2E4 ( t −t0 )E6 ( t −t0 )π 21 E2 (t −t0 )1ψ 2 ( x) + e ψ 4 ( x) + e ψ 6 ( x) , En ==n , P3 = P6 = P9 = ;e2 22m l33Ψ ( x, t ) =E =23l56 π 2 2. Данное состояние не является стационарным.3 2m 2 l 2Задача 6. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками имеет видψ = Cψ a + Cψ b ,где C - некоторая константа, ψ a - волновая функция, описывающая равновероятную суперпозицию основного и первого возбужденного состояния, а ψ b волновая функция, описывающая равновероятную суперпозицию основногои второго возбуждённого состояния.Найти волновую функцию Ψ ( x, t ) , среднее значение энергии частицы вданном состоянии, возможные результаты измерения энергии частицы и ихвероятности.Ответ: Ψ ( x, t ) =2 i E1 (t −t0 )1 i E2 (t −t0 )1 i E3 (t −t0 )eψ 1 ( x) +eψ 2 ( x) +eψ 3 ( x),36621P1 = , P2 = P3 = ;36π 22 2En =π 222 22m ln2 ,1 2 1 2 17 π 2 2E =⋅1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 =.2 22m 2l 2 366 6 2m l2Задача 7.
В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками имеет видψ = Cψ a + Cψ b ,22где C - некоторая константа, ψ a - волновая функция, описывающая равновероятную суперпозицию основного и первого возбужденного состояния, а ψ b волновая функция, описывающая равновероятную суперпозицию первого итретьего возбуждённого состояния.Найти волновую функцию Ψ ( x, t ) , среднее значение энергии частицы вданном состоянии, возможные результаты измерения энергии частицы и ихвероятности.Ответ: Ψ ( x, t ) =2 i E1 (t −t0 )1 i E2 (t −t0 )1 i E4 (t −t0 )eψ 1 ( x) +eψ 2 ( x) +eψ 4 ( x),36621P1 = , P2 = P4 = ;36E =En =π 222 m 2l 2n2 ,π 22 21 2 1 2π 2 22.⋅1+⋅2+⋅4=42m 2l 2 3662m 2l 2Задача 8.
Определить результаты измерения проекции импульса Lz ивероятности их выпадения для системы, находящейся в состоянии с волновой функциейψ (ϕ ) = A (1 + cos ϕ ⋅ cos 2ϕ ⋅ sin 3ϕ ) ,где ϕ - азимутальный угол, A - некоторая константа.Ответ:ψ =4m = 0, ± 1, ± 4, ± 6 ;2 111ψ 0 + (ψ 1 −ψ −1 ) + (ψ 4 −ψ −4 ) + (ψ 6 −ψ −6 ) ,35 8i8i8iLz = m ,321; P±1 = P±4 = P±6 =.3570P0 =Задача 9. Определить результаты измерения проекции импульса Lz ивероятности их выпадения для системы, находящейся в состоянии с волновой функциейψ (ϕ ) = A (1 + cos ϕ ⋅ cos3ϕ ⋅ sin 4ϕ ) ,где ϕ - азимутальный угол, A - некоторая константа.Ответ:ψ =4m = 0, ± 2, ± 6, ± 8 ;2 111ψ 0 + (ψ 2 −ψ −2 ) + (ψ 6 −ψ −6 ) + (ψ 8 −ψ −8 ) ,35 8i8i8iP0 =321; P±2 = P±6 = P±8 =.357023Lz = m ,Задача 10. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массойm в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками равнаψ ( x) = Ax sinπxl.Найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , средние значения энергии икоординаты частицы, возможные результаты измерения энергии и вероятности их получения, а также вероятность обнаружения частицы в n − м возбужденном состоянии.
Является ли состояние частицы стационарным?Ψ ( x, t ) = −πОтвет:x =E1 =3l (π 2 − 3)4π 2 − 6π 2 2P2 k =2ml 2324π − 6E =;E2 k =,4πx ∞216k+∑sin22llk =1 ( 4k − 1) π2l 2 m ( 2π 2 − 3)2ml 2π 2 ( 4k 2 − 1) ( 2π 2 − 3)i− E1tπ 2 ( 2π 2 + 3) 2π 22768k 2e4k 2 ,322π − 3ei− E2 k t22π kx;sinll; возможные результаты измерения энергии:k ≥1;вероятностиP1 =3π 2 0.884 ;4π 2 − 6; состояние частицы не является стационарным.Задача 11.
В момент времени t = t0 волновая функция частицы массойm в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками равнаψ ( x) = Ax cosπx2l.Найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , средние значения энергии икоординаты частицы, возможные результаты измерения энергии и вероятности их получения, а также вероятность обнаружения частицы в n − м возбужденном состоянии. Является ли состояние частицы стационарным?24∞Ψ ( x, t ) = − ∑Ответ:n =1Pn =3072 n 2π2( 4n24− 1) (π − 6 )2;32n 3 cos π nπ ( 4π − 1)E =22i− En tπ −6π 2 (π 2 + 6 ) 28l m ( π − 6 )2e22π nxsin;llEn =3 82 ;x = l 1 − 2 + 24 ππ − 6 ;обнаружения частицы в n − м возбуждённом состоянии Pn +1 ;π 222ml 2n2 ;вероятностьсостояние частицы не ста-ционарно.Задача 12.
В некоторый момент времени t = t0 координатная часть волновой функции частицы массой m , находящейся в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками имеет видψ( x) = A sin 3πx.aНайти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) и вероятность пребываниячастицы в первом возбужденном состоянии.Ответ: состояние частицы является суперпозицией основного и второго возбужденного3 − i E1t 2πx1 − i E3t 23π xсостояний, Ψ ( x, t ) =esin−esin;aaaa1010P1 =En =π 2 22ml2n2 ,n = 1, 3 ;91; P3 = .1010Задача 13. В некоторый момент времени t = t0 координатная часть волновой функции частицы массой m , находящейся в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками имеет видψ( x) = A sin 3πx.aНайти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) и среднее значение кинетической энергии частицы в этом состоянии.Ответ:E =9π 2 2; волновую функцию см. в ответе к предыдущей задаче.10a 2 mЗадача 14.
В некоторый момент времени t = t0 координатная часть волновой функции частицы массой m , находящейся в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками имеет вид25πxπx ψ( x) = A sin + sin 2 .aa Найдите волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , среднее значение её кинетической энергии и вероятность пребывания частицы во втором возбужденном состоянии.Ответ:Ψ ( x, t ) =E =2(3π + 8)3π ( 21π + 64 )4π 2 ( 3π + 8 ) 2a 2 m ( 21π + 64 )нии равна P = P3 =ei− E1ti− E2 k +1t( 2k + 1) π x ;2πx ∞16 32sin+∑esin2aa k =1 ( 2k + 1) 4 − ( 2k + 1)aa{}; вероятность пребывания частицы во втором возбужденном состоя-256≈ 0.008 .75π ( 21π + 64 )Задача 15.
В некоторый момент времени t = t0 координатная часть волновой функции частицы массой m , находящейся в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками имеет видπxπx ψ( x) = A 2sin + sin 2 .aa Найдите волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) и вероятность пребываниячастицы в первом возбужденном состоянии.26СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.
Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая физика. — М.: МГТУ, 2006.2. Савельев И. В. Курс общей физики. Кн. 5. — М: Наука. Физматлит, 1998.3. Матвеев А. Н. Атомная физика. — М.: Высшая школа, 1989.4. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том V.
Атомная и ядерная физика. М.:Физматлит МФТИ, 2002.5. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1983.6. Иродов И. Е. Квантовая физика. Основные законы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.7. Калашников Н. П., Смондырев М. А. Основы физики, Т. 2. — М: Дрофа,2004.8. Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. I: Введение в атомную физику.— М.:Наука, 1984.9. Шпольский Э.
В. Атомная физика. Т. 2: Основы квантовой механики истроение электронной оболочки атома. — М.: Наука, 1984.10. Гольдин Л. Л., Новикова Г. И. Квантовая физика. Вводный курс. — М:Институт компьютерных исследований, 2002.27ОГЛАВЛЕНИЕ1. Принцип суперпозиции в квантовой механике………………………….32. Примеры решения задач…………………………………………………..103.
Задачи для самостоятельного решения…………………………………..19Список литературы…………………………………………………………..2528.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
