Галкин П.А. - Синтез и кинематический анализ рычажных механизмов (1074002), страница 4
Текст из файла (страница 4)
12) для кинематического анализа выберем например положение 2, которое показанона рис. 14.Исходными данными для анализа являются ω1, lAB, lBC, е. Составим векторные уравнения для построения планаскоростей.Точка А неподвижна, поэтому для неё можно записать:V A = 0.Точка В вращается относительно точки А, следовательно:V В =V A +V B/ A ,⊥ AB(19)где V A – вектор переносной скорости; V B / A – вектор относительной скорости.Модуль вектора V B / A определяется по формулеV B / A = ω1l AB .Рис. 14Вектор V B / A перпендикулярен звену АВ и направлен в сторону его вращения. Направление векторов указывается призаписи векторного уравнения под соответствующим вектором.Скорость точки С можно определить рассмотрев её движение относительно точки В и относительно точки D,расположенной на направляющей ХХ, совпадающей с точкой С.
Точки В и С принадлежат одному звену и удалены друг отдруга на расстояние lBC. При движении звена 2 относительное движение этих точек будет вращательным, причём векторотносительной скорости V С / В направлен перпендикулярно линии ВС. То есть можно записать:V С =V B +V C/B .⊥ BC(20)Точки С и D принадлежат двум звеньям, соединённым поступательной кинематической парой, и в данный моментсовпадают. Таким образом движение точки С относительно D поступательное, причём вектор относительной скорости V С / Dнаправлен параллельно направляющей:V С = V D +V C/D .(21)XXИспользуя векторные уравнения, построим план скоростей.
Выберем точку на плоскости и обозначим её за полюс Р. Вполюс будем помещать все точки, скорости которых равны нулю (точки А и D). Точки на плане скоростей будем обозначатьстрочными буквами. В соответствии с уравнением (19) отложим из точки Р вектор Pb перпендикулярный отрезку АВ наплане механизма и направленный в сторону вращения кривошипа.
Определим масштабный коэффициент плана скоростей:µV =V B / A ω1 м/с =l AB , .PbPb мм Длину отрезка Pb выбирают произвольно (обычно около 40 мм). Если отрезок Pb выбран равным отрезку АВ схемымеханизма, то коэффициент µ V называют масштабом кривошипа. Желательно, чтобы численное значение µ V было удобнымдля расчётов (например 0,1; 0,01, и др.).Определим положение точки с на плане скоростей. На основании уравнения (20) через точку b проведём линию,перпендикулярную отрезку ВС плана механизма. На основании уравнения (21) через полюс Р (в котором находится точка d)проведём линию параллельную ХХ.
Так как вектора V С / В и V С / D должны лежать на этих линиях и приходить в одну точкус, то точка пересечения этих прямых будет являться точкой с плана скоростей. Направления векторов (стрелки) наносятся всоответствии с векторными уравнениями. Вектор Pс отображает абсолютную скорость точки С, а вектор bс –относительную скорость V С / В .
Величины этих скоростей определяются по формулам:VС = µV Pc , м/c ;VС / B = µV bc, м/c .Мгновенную угловую скорость шатуна 2 определим какω2 =VC / B −1,c .l BCМысленно перенесём вектор V С / В в точку С плана механизма и определим направление ω 2 согласно движениюточки С относительно точки В, т.е. по часовой стрелке.Часто требуется определить кинематические характеристики какой либо точки звена (например точка S2 – центр массшатуна).
Для этого пользуются теоремой подобия: «Отрезки прямых линий, соединяющие точки на схеме механизма, иотрезки прямых линий, соединяющие концы векторов относительных скоростей этих точек на плане скоростей образуютподобные и сходственно расположенные фигуры». То есть, если точка S2 делит звено ВС пополам, то она будет находитьсяна середине вектора bc плана скоростей. Аналогичный подход применим и при построении плана ускорений. Соединивточку S2 и точку Р, получим вектор абсолютной скорости точки S2. Величина этой скорости:VS 2 = µ V PS 2 , м/c .Запишем векторные уравнения для построения плана ускорений.Точка А неподвижна, поэтому для неё можно записать:a А = 0.Рассматривая движение точки В относительно точки А получим:a В = a A + a Bn / A + a Bτ / A ,AB(22)⊥ ABгде a Bn / A и a Bτ / A – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения вращательного движения точки В относительноА.Вектор a Bn / A направлен от точки В к центру вращения – точке А (т.е.
параллельно звену АВ). Вектор a Bτ / A направленперпендикулярно звену АВ, в сторону его углового ускорения ε1 . Модули векторов равны:a Bn / A = ω12 l AB ,м;a Bτ / A = ε1l AB ,м.сс2При равномерном вращении кривошипа ω1 = const , т.е. ε1 = 0 , следовательно a Bτ / A = 0 .Для вращательного движения точки С относительно точки В можно записать:aC = a B + aCn / B + aCτ / B .2BC(23)⊥ BCВектор aСn / B направлен от точки С к центру вращения – точке В (т.е. параллельно звену ВС) и равен по модулю:a Сn / В = ω 22 l BC ,м.с2направлен перпендикулярно звену ВС. Модуль его неизвестен, так как неизвестно угловое ускорениеВектор a Сτ / Вшатуна ε 2 .При рассмотрении поступательного движения точки С относительно неподвижной точки D, принадлежащейнаправляющей ползуна, можно записать:(24)aC = a D + aC / D , причём a D = 0 .ХХДля построения плана ускорений выберем точку на плоскости за полюс и обозначим её буквой π.
Отложим из полюсаотрезок произвольной длины (обычно около 40 мм) параллельно звену АВ в направлении от В к А, изображающий векторa Bn / A . Так как a Bτ / A = 0 , то на конце этого отрезка будет находиться точка b плана ускорений. Определим масштабныйкоэффициент:µa =a Bn / A ω12l AB ,=πbπb м/с 2 . мм Если отрезок πb выбран равным отрезку АВ схемы механизма, то коэффициент µ a называют масштабом кривошипа.nДля построения вектора a С / B определим его длину:bn1 =a Сn / B, [мм ] .µaПостроим вектор bn1 из точки b плана ускорений в направлении от точки С к точке В схемы механизма. Из концавектора bn1 проведём прямую, перпендикулярную ВС – направление вектора a Сτ / В .Ускорение точки D равно нулю, поэтому точку d помещаем в полюс.
Из полюса проводим прямую, параллельно ХХ.Пересечение прямых, перпендикулярной ВС и параллельной ХХ происходит в точке с плана ускорений. Соединив точку b иточку с получим вектор относительного ускорения точки С относительно точки В. Для построения точки S2 воспользуемсятеоремой подобия. Находим середину вектора bс , обозначаем эту точку S2 и соединяем её с точкой π.
Вектор πS 2 являетсявектором абсолютного ускорения точки S2.Используя план ускорений, определяем:аС = µ a πс, м/c ; а S 2 = µ a πS 2 , м/c.Отрезок n1c на плане ускорений соответствует вектору aСτ / В , тогдаaСτ / В = µ а n1c, м/c ;ε2 =aСτ / В −1,c .l BCДля определения направления углового ускорения шатуна ε 2 , мысленно переместим вектор a Сτ / В в точку С схемымеханизма. Ускорение ε 2 направлено в сторону a Сτ / В .Плоскопараллельное движение звена механизма в каждый момент времени может быть представлено как вращениевокруг некоторой точки, которую называют мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей (МЦС).Как известно из теоретической механики МЦС располагается на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростейточек звена.
Для определения МЦС шатуна 2 в его абсолютном движении, на плане механизма построим ∆ BPV 2 C подобный∆ bPc плана скоростей. Таким образом, если мы представим, что точка PV2 принадлежит шатуну (рис. 14), то её скоростьбудет равна нулю.Аналогично может быть найдена условная точка, принадлежащая звену, абсолютное ускорение которой в данныймомент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) звена. Для этого построим наплане механизма ∆ BPа2C подобный ∆ bπc плана скоростей.Шарнирный четырёхзвенник.На рисунке 15 показан план механизма.
Исходными данными для анализа являются ω1, lAB, lBC, lCD. Составим векторныеуравнения для построения плана скоростей:V A = 0;V В = V A +V B/ A;⊥ ABV B / A = ω1l AB .Скорость точки С можно определить рассмотрев её вращательное движение относительно точек В и D:V С = V B +V C/B;⊥ BCV С = V D +V C/D .⊥ СDВ соответствии с векторными уравнениями строим план скоростей механизма в масштабе µ V (рис. 15). Отложим източки Р вектор Pb, перпендикулярный отрезку АВ на плане механизма и направленный в сторону вращения кривошипа.Через точку b проведём линию, перпендикулярную отрезку ВС плана механизма.
Через полюс Р проведем линию,перпендикулярную отрезку СD плана механизма. Так как вектора V С / В и V С / D должны лежать на этих линиях и приходитьв одну точку с, то точка пересечения этих прямых будет являться точкой с плана скоростей. Вектор Pс отображаетабсолютную скорость точки С, а вектор bс – относительную скорость V С / В . Величины этих скоростей определяются поформулам:VС = VC / D = µV Pc , м/c ;VС / B = µV bc, м/c .Рис.
15Определим мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3:ω2 =VC / B −1,c ;l BCω3 =VC / D −1,c .lCDНаправления ω 2 и ω3 соответствуют направлениям векторов V С / B и VC / D .Соединив середину отрезка bc плана скоростей с полюсом получим вектор абсолютной скорости центра масс шатунаPS 2 . Величина этой скорости:V S 2 = µV PS 2 , м/c .Составим векторные уравнения для построения плана ускорений:аА = 0;a В = a A + a Bn / A + a Bτ / A ,AB⊥ ABм; a Bτ / A = 0 .с2Для вращательного движения точки С относительно точки В можно записать:где a Bn / A = ω12 l AB ,a C = a B + aCn / B + aCτ / B ,BCгде aСn / В = ω 22 l BC ,⊥ BCм.с2При рассмотрении вращательного движения точки С относительно точки D, можно записать:a C = a D + aCn / D + a Cτ / D ,CDгде a Сn / D = ω32 lCD ,⊥ CDм.с2Для построения плана из полюса отложим отрезок πb параллельно звену АВ в направлении от В к А, изображающийвектор a Bn / A .
Определим масштабный коэффициент:µa = м/с 2 a Bn / A ω12=l AB , .πbπb мм Для построения вектора a Сn / B определим его длину:bn1 =aСn / B, [мм ] .µaПостроим вектор bn1 из точки b плана ускорений в направлении от точки С к точке В схемы механизма. Из концавектора bn1 проведём прямую, перпендикулярную ВС – направление вектора a Сτ / В .Определим длину отрезка πn2 , изображающего вектор a Сn / D :πn 2 =aСn / D, [мм ] .µaСтроим вектор πn 2 в направлении от точки С к точке D схемы механизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
