Мироновский Л.А. - Теория инвариантов и ее применение в технической диагностике (1072116), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Система может быть также задана описанием в пространстве состояний:

(4.3)

где X – вектор состояния; A – квадратная матрица n -го порядка; b и c – вектор-столбец и вектор-строка постоянных коэффициентов.

Выполняя линейное преобразование входных и выходных сигналов исходной системы (4.3), изменяя базис в пространстве состояний, либо охватывая систему обратными связями, можно получить множество новых линейных систем, каждая из которых будет характеризоваться своей тройкой матриц A , b , c.

В то же время существуют характеристики системы – некоторые функции от элементов матриц A, b, c – инвариантные по отношению к указанным преобразованием. Такие функции, имеющие одно и то же численное значение для всех преобразований указанного класса, представляют собой инварианты линейных динамических систем. Они играют важную роль при изучении динамических систем и несут наиболее существенную информацию о свойствах системы.

Инварианты линейных динамических систем различаются множеством принимаемых ими значений, типом преобразования, по отношению к которому обеспечивается инвариантность и характеризуемой ими частью системы. Классификация инвариантов линейных динамических систем по трем указанным признакам иллюстрируется рис. 2.

Рис. 2. Классификация инвариантов линейных динамических систем

По первому признаку (нижняя часть рис. 2) различают инварианты с конечным множеством значений, целочисленные, вещественные и функциональные (соответствующие множества на рис. 2 обозначены через K, Z, R и С). Конечные инварианты обычно характеризуют качественные свойства системы, такие как устойчивость, управляемость, наблюдаемость, минимальность и др. Вычисление этих инвариантов, принимающих, как правило, одно из двух значений (типа "да"-"нет"), сводится обычно к проверке положительности некоторых чисел (определителей Гурвица, коэффициентов Рауса), либо невырожденности некоторых матриц (управляемости, наблюдаемости).

Целочисленные инварианты принимают значения из множества натуральных или целых чисел. Они характеризуют структурные свойства системы, такие как ее размерность, управляемость и наблюдаемость. К ним относятся число нулей и полюсов системы и их кратность (индексы Жордана), инвариантные показатели управляемости и наблюдаемости, максимальные из которых известны как индексы наблюдаемости m₀ и управляемости n₀ системы, индекс Коши системы и др. Иногда эти инварианты называются арифметическими.

Наиболее многочисленную группу составляют вещественные инварианты, называемые также алгебраическими. Они принимают значения из множества действительных чисел и характеризуют различные параметры системы - коэффициенты усиления, постоянные времени, собственные числа и т.п., не зависящие от выбора базиса в пространстве состояний. Другими примерами вещественных инвариантов являются след и определитель матрицы А системы, коэффициенты а_i и корни _i ее характеристического полинома, моменты m_i, марковские параметры h_i и сингулярные числа _i системы, элементы системных матриц, операторные нормы линейных динамических систем и т.п.

Четвертую группу инвариантов образуют функциональные инварианты, которые, в отличие от предыдущих, принадлежат множеству С непрерывных функций. Характерными примерами функциональных инвариантов могут служить амплитудно- и фазочастотные характеристики системы, ее импульсная весовая функция, матричная передаточная функция, а также различные первые интегралы, как изначально присущие системе, так и получаемые в результате введения аналитической избыточности.

Второй признак классификации (правая часть рис. 2) отражает вид преобразования, по отношению к которому обеспечивается инвариантность. Обычно основное внимание уделяется инвариантности по отношению к замене переменных . При этом матрицы системы могут подвергаться масштабному, подобному или конгруэнтному преобразованиям. Наряду с этим можно исследовать инвариантность к линейному преобразованию входов и выходов с одновременным охватыванием системы обратными связями по состоянию (преобразование Бруновского), либо обратными связями с выхода на вход (каскадно-эквивалентное преобразование).

Часть названных выше инвариантов обладают инвариантностью по отношению к нескольким видам преобразований. Так сингулярные числа и нулевой момент m₀ не изменяются не только при замене переменных, но и при масштабировании времени, а большинство конечных инвариантов сохраняется при замыкании обратной связи и при масштабировании времени.

В соответствии с третьим признаком классификации различают инварианты, связанные с числителем B(p) либо знаменателем A(p) передаточной функции (последние можно назвать внутренними инвариантами системы, так как они полностью определяются матрицей A описания в пространстве состояний), инварианты пар матриц A, b и A, c, а также инварианты тройки матриц A, b, c (инварианты передаточной функции Q(p) или вход-выходные инварианты системы).

Отдельную группу вход-выходных инвариантов образуют различные операторные нормы системы. Они представляет собой наиболее естественную интегральную числовую характеристику, описывающую отображение вход-выход, реализуемое системой. С инженерной точки зрения операторные нормы отражают усилительные свойства объекта. Использование операторных норм и дает возможность получить достаточно полный набор алгебраических инвариантов. Это объясняется тем, что линейной динамической системе можно сопоставить несколько связанных с ней операторов, например оператор свертки, ганкелев оператор [33], операторы управляемости и наблюдаемости. Это позволяет даже простой линейной системе с одним входом и одним выходом можно сопоставить около десятка операторных норм. и соответствующих им диагностических признаков.

Таким образом, стационарные линейных динамических системы обладают богатым запасом алгебраических инвариантов. Все они могут использоваться при решении диагностических задач в качестве прямых или косвенных диагностических признаков.

Диагностирование по алгебраическим инвариантам сводится к сравнению экспериментально определенных значений инвариантов с номинальными (параметрический контроль).

4.2. Примеры диагностирования с помощью инвариантов. Приведем два примера, иллюстрирующих возможность применения теории инвариантов при организации диагностирования линейных динамических систем.

Пример 1. Инварианты статической обратной связи [1]. Пусть требуется организовать контроль за правильностью функционирования объекта управления с известной передаточной функцией

,

который охвачен отрицательной обратной связью с коэффициентом k (рис. 3).

Значение коэффициента обратной связи зависит от режима работы объекта и заранее неизвестно (может меняться в процессе функционирования). Контроль должен обнаруживать отклонения коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции от номинальных значений, но не реагировать на изменение коэффициента обратной связи.

Как известно, статическая обратная связь изменяет корни характеристического уравнения, устойчивость системы, её весовую функцию и другие свойства объекта.

Требуется найти диагностические признаки, инвариантные по отношению к коэффициенту обратной связи.

Определяя передаточную функцию замкнутой системы, получаем

О тсюда видно, что n параметров – коэффициенты числителя передаточной функции не изменили своего значения. То же самое можно сказать о нулях системы, т.е. корнях полинома В(р).

Возникает вопрос – имеются ли другие параметры, инвариантные по отношению к статической обратной связи, независимые от указанных, и сколько их? Методы теории инвариантов позволяют получить исчерпывающий ответ на этот вопрос.

Запишем коэффициенты передаточных функций Q₀(p) и Q₁(p) в виде матриц:

Эти матрицы связаны соотношением C₁= TC₀, где матрица преобразования Т имеет вид

Следовательно, задача свелась к нахождению инвариантов прямоугольной матрицы по отношению к умножению её на треугольную матрицу Т с единичной диагональю (в линейной алгебре такое преобразование называется унипотентным). Из классической теории инвариантов известно, что искомыми инвариантами, кроме элементов первой строки матрицы С, являются её миноры второго порядка

Общее число этих миноров равно , однако среди них лишь n-1 независимых, поэтому общее число инвариантов составляет N₀ = 2n-1. В качестве них может быть взят следующий набор величин:

Все остальные инварианты статической обратной связи могут быть выражены через эти величины. Именно они представляет собой базисный набор искомых потенциальных диагностических признаков.

Одна из возможных процедур контроля состоит в том, чтобы экспериментально с помощью любого метода идентификации оценивать параметры реальной передаточной функции Q₁(p), вычислять диагностический признак и сравнивать его с номинальным значением .

Решение получено за счёт использования информации об инвариантах унипотентного преобразования.

Пример 2. Диагностирование ньютонометров [11]. Рассмотрим дублированную инерциальную навигационную систему, которая содержит два комплекта измерительных элементов, в каждый из которых входят по три ньютонометра. Очевидно, что попарное сравнение выходов одноименных ньютонометров позволяет обнаруживать отказы, но не дает возможности определить, какой из двух ньютонометров неисправен. Покажем, что использование теории инвариантов при обработки выходных сигналов ньютонометров позволяет определить номер неисправного ньютонометра, т.е. указать тот канал, где появился отказ.

В более общей постановке эта задача выглядит следующим образом. Имеется двухканальная система, содержащая два линейных блока с известными передаточными функциями и , на которые поступает общий входной сигнал х(t), недоступный для непосредственного измерения. Требуется по наблюдениям за выходными сигналами и при искажении передаточной функции одного из блоков оперативно определить факт появления неисправности и установить номер неисправного канала.

На первый взгляд кажется, что для решения такой задачи необходимо использование третьего канала. Тем не менее, оказывается, что существует класс дефектов, локализация которых возможна и в двухканальной системе.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)