Мироновский Л.А. - Теория инвариантов и ее применение в технической диагностике (1072116), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При r > 3 число базисных инвариантов бинарных форм определяется формулой N = r–2. За свой результат Гордан был удостоен современниками титула "короля инвариантов".

Далее на протяжении нескольких десятилетий активно велись работы по поиску инвариантов различных форм и их сочетаний по отношению к разным линейным преобразованиям, в результате чего был накоплен богатый "запас" инвариантов. Однако все полученные результаты носили частный характер, и поставленный Кэли вопрос о существовании конечного базиса инвариантов в общем случае оставался открытым.

Получить общий ответ на него удалось лишь Давиду Гильберту, который в 1890-93 гг. (ему было тогда около 30 лет) доказал две фундаментальные теоремы, полностью решающие проблему Кэли. Эта работы Гильберта произвели ошеломляющее впечатление на математиков и сразу принесли ему мировую известность. Здание классической теории инвариантов оказалось практически завершенным и долгие годы никто из математиков не рисковал работать в этой области. Их можно было понять – все "решаемые" задачи были решены, а немногие оставшиеся выглядели настолько "неподъемными", что не сулили шансов на успех.

К ним относилась, в частности, одна из 23 знаменитых проблем Гильберта, поставленных им летом 1900 г. на втором международном конгрессе математиков. Речь идет о 14-й проблеме, в которой предлагалось подтвердить (или опровергнуть) гипотезу о конечности рационального базиса инвариантов для произвольной подгруппы общей линейной группы.

Эта проблема оставалась нерешенной более полувека, пока в 1958 г. японскому математику Нагате не удалось построить опровергающий её контрпример. В настоящее время теория инвариантов вновь начинает привлекать внимание математиков, о чем свидетельствует появление ряда монографий и научных статей (см. например [5, 6]).

В целом значение теории инвариантов в математике очень велико и отнюдь не сводится к полученным конкретным результатам. Для прикладных исследований – теории моделирования, распознавания образов, управления, идентификации, технической диагностики – основной интерес представляет именно классическая теория инвариантов. Она дает в руки инженерам полезную методологию и математический инструмент, которые позволяют успешно решать многие технические задачи.

3. Классические инварианты и группы линейных преобразований

Существует два равноправных подхода к определению инвариантов. Согласно первому из них рассматривается множество М, на котором задана группа преобразований G. Это означает, в частности, что в результате действия любого преобразования g из группы G на элемент m множества M вновь будет получен элемент того же множества, что формально записывается следующим образом:

Определение 1. Функция  , задающая отображение множества М на вещественную ось R, : М  R, называется инвариантом группы G на множестве М, если для любых m  M, g  G выполняется равенство (gm) = (m).

При втором подходе к определению инвариантов группа G явно не вводится, а вместо этого на множестве М задается разбиение на непересекающиеся классы M₁, M₂ эквивалентных элементов. Обычно такое разбиение задается путем введения отношения эквивалентности , которое должно удовлетворять стандартным требованиям рефлексивности, симметричности и транзитивности. Обозначая эквивалентность значком , эти требования кратко записываются следующим образом:

1) m  m; 2) m₁  m₂  m₂  m₁ ; 3) (m₁  m₂, m₁  m₂)  (m₁  m₃).

Такое отношение приводит к однозначному разбиению множества М на непересекающиеся классы эквивалентности. Например, рассматривая треугольники на плоскости в объявляя любые два треугольника с одинаковыми углами эквивалентными, получаем разбиение множества треугольников на подобные. Все треугольники, подобные данному, будут образовывать один класс эквивалентности.

Определение 2. Функция , задающая отображение множества М на вещественную ось R, : МR, называется инвариантом отношения эквивалентности  на множестве М, если для любой пары эквивалентных элементов m_i, m_j  М , справедлива импликация

m_i  m_j  (m_i) = (m_j),

согласно которой эквивалентность элементов влечет за собой равенство инвариантов.

В связи с определением 2, возникает вопрос: можно ли по равенству инвариантов судить об эквивалентности элементов? Очевидно, что в общем случае это не так. Например, из равенства площадей треугольников или их периметров (это инварианты евклидовой геометрии) никак не следует равенство самих треугольников. Изменить положение можно, взяв достаточно представительный набор инвариантов.

Определение 3. Набор инвариантов ₁,…,_N отношения эквивалентности  на множестве M называется полным, если из равенства инвариантов двух элементов следует их эквивалентность

В примере с треугольниками полная система инвариантов должна содержать как минимум три величины – например, длины трех сторон, либо площадь треугольника, его периметр и произведение длин сторон и т.д.

Исключив из полного набора зависимые инварианты, всегда можно придти к минимальному полному набору инвариантов, т.е. к набору, удаление из которого любого инварианта приводит к потере свойства полноты.

Следующее важное понятие связано с базисом инвариантов. Во многих случаях инварианты представляют собой рациональные алгебраические функции от коэффициентов или координат исследуемого объекта, т.е. имеют вид полиномов от этих коэффициентов, примерами могут служить дискриминанты квадратичных форм (2.1), (2.2) и кубичной формы (2.3). Такие инварианты называются алгебраическими.

Зададим на множестве инвариантов операции сложения и умножения. Это позволяет наряду с исходными алгебраическими инвариантами ₁,…,_N рассматривать любые произведения вида , а также их линейные комбинации, каждая из которых также будет алгебраическим инвариантом. Тем самым множество инвариантов наделяется алгебраической структурой кольца (и даже алгебры).

Определение 4. Набор алгебраических инвариантов ₁,…,_N называется базисом, если всякий другой алгебраический инвариант  выражается через него рациональным образом, т. е. в виде некоторого многочлена  = Р(₁,…,_N) .

При этом базисные инварианты ₁,…,_N играют роль образующих кольца или алгебры инвариантов.

Всякий базисный набор обязательно будет обладать свойством полноты в смысле определения 3, но может не обладать свойством минимальности.

В связи с этим при изучении инвариантов группы Q на заданном множестве U возникает принципиальный вопрос: существует ли конечный базис инвариантов?

Классическая теория инвариантов дает положительный ответ на него для случая, когда множество M образовано однородными многочленами произвольной степени r от любого числа переменных n, т.е. n-арными формами степени r, а группа G задает произвольную невырожденную линейную замену переменных. В этом случае, как утверждает первая основная теорема теории инвариантов, всегда существует конечный базис, т.е. полиномиальное кольцо инвариантов порождается конечным числом образующих.

Следует заметить, что в практических задачах множество M и группа G далеко не всегда бывает такими простыми, как в классической теории инвариантов, поэтому во многих случаях ответ на поставленный вопрос неизвестен или отрицателен.

Например, при исследования параметрических инвариантов динамических систем в качестве множества М может рассматриваться множество линейных динамических систем, а в качестве группы G – группа линейных преобразований переменных состояния.

Определение инвариантов, данное выше, носит общий характер, поскольку в нем не оговаривается ни вид множества изучаемых объектов, ни группа выполняемых над ними преобразований. При дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением классической теории инвариантов, которая занималась изучением свойств однородных алгебраических форм различных степеней (линейных, квадратичных и т.д.), и ряда других математических объектов (векторов, матриц, тензоров), сохраняющихся при линейных заменах переменных.

Как правило, эти объекты и их инварианты допускают наглядную геометрическую интерпретацию, которой удобно пользоваться при изложении. Например, бинарной квадратичной форме (2.1) соответствуют линии второго порядка на плоскости, которые в зависимости от знака инварианта (дискриминанта) распадаются на три класса – эллипсы (при  > 0), гиперболы (при  < 0) и скрещенные прямые (при  = 0).

Бинарной кубической форме (2.8) соответствуют плоские кривые третьего порядка, бинарной форме (2.7) – алгебраические кривые порядка r. Аналогично, квадратичной форме (2.3) отвечают поверхности второго порядка в n- мерном евклидовом пространстве Rⁿ– эллипсоиды, гиперболоиды и др. Во всех случаях знание инвариантов позволяет провести исчерпывающую классификацию этих кривых и поверхностей, относя равные их типы к разным классам эквивалентности.

Таким образом, при геометрическом подходе элементами множества М выступают различные геометрические объекты n-мерного евклидова пространства Rⁿ. Действие группы G сводится к линейному преобразованию этого пространства. Если в пространстве Rⁿ ввести координатные оси x₁,...,x_n, то его произвольное невырожденное линейное преобразование может быть описано формулой

(3.1)

где G – матрица преобразования размера n x n с ненулевым определителем . Обратное преобразование описывается формулой

(3.2)

Разнообразие задач теории инвариантов определяется тем, что с одной стороны мы можем рассматривать различные виды объектов в пространстве Rⁿ: точки, векторы, плоскости, поверхности, операторы, а также их сочетания, а с другой стороны – различные группы линейных преобразований изометрические, унимодулярные, аффинные и др.

В общем случае такие преобразования могут изменять длины векторов и углы между ними, форму геометрических фигур и другие характеристики геометрических и алгебраических объектов, заданных в пространстве. Совокупность инвариантов преобразования, т.е. числовых характеристик изучаемых объектов, которые не меняются при преобразовании (3.1), зависят как от самих объектов, так и от вида матриц G, используемых в этом преобразовании.

Действие группы линейных преобразований пространства на четыре стандартных математических объекта – векторы, линейные и квадратичные формы и линейные операторы – иллюстрируется табл.1, в которой указан вид преобразуемых объектов, результат преобразования (матрица Н определена равенством (3.2)) и его название.

Таблица 1

Действие преобразования (3.1) на математические объекты

Объект	Вектор	Линейная форма	Квадратичная форма	Линейный оператор
Исходное описание	a	L = cX		Y = AX
Результат преобразования
Вид преобразования	Контравариантное	Ковариантное	Конгруэнтное	Подобное

Термины ковариантный и контравариантный означают, что в одном случае преобразование осуществляется по той же формуле, что и для базисных векторов пространства, а в другом – по обратным формулам.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)