Расчет статически неопределимых систем методом перемещений на силовое воздействие (1071569), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рис. 8.22

Реакция в наложенной связи считается положительной, если ее направление совпадает с направлением смещения связи при построении соответствующей деформационной схемы в основной системе метода перемещений, иотрицательной − если не совпадает.

В соответствии с теоремой о взаимности реакций имеем:

r₂₁ = r₁₂ = –1,125.

Из равновесия узла а Σ(F_x)_a = 0 следует, что реакция в линейной связи 2 от ее смещения на величину, равную единице (r₂₂), в основной системе метода перемещений равна продольной силе в элементе ab, т.е. r₂₂ = N_ab (рис. 8.22,б). Эту продольную силу вычислим, последовательно рассматривая равновесие узлов е и b (N_ab = 2,2969). Таким образом, r₂₂ = 2,2969. Читателям предлагается самостоятельно произвести вычисление продольной силы в элементе ab.

Аналогично вычисляется и реакция R_2F для грузового состояния основной системы (рис. 8.22,в)

R_2F = –N_ab = –23,75.

Знак «минус» показывает, что направление реакции R_2F (направо) противоположно направлению смещения линейной связи 2 (налево).

9. Проверка правильности вычислений коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений (8.22). С этой целью используем суммарную эпюру изгибающих моментов M_S = M₁ + M₂(рис. 8.23,а). Из основной системы метода перемещений образуем статически определимую основную систему метода сил, удалив все лишние связи, в том числе и наложенные (рис. 8.23,б), и построим в ней грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 8.23,в). В соответствии с изложенным в п. 8.6 имеем:

(8.23)

(8.24)

Рис.8.23

Суммы реакций соотношений (8.23) и (8.24) известны:

r₁₁ + r₁₂ + r₂₁ + r₂₂ = 19 − 2 ∙ 1,125 + 2,2969 = 19,0469,

R_1F + R_2F = 162 − 23,75 = 138,25.

Эти же суммы реакций вычислим сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов

Совпадение левой и правой частей соотношений (8.23) и (8.24) без абсолютных погрешностей свидетельствует о правильности вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы уравнений (8.22).

Полезно иметь в виду, что достоверность вычисления побочного коэффициента r₁₂ можно подтвердить, определив статическим способом равный ему побочный коэффициент r₂₁ (рис. 8.22,а), а главных коэффициентов r₁₁ и r₂₂ − сопряжением соответствующих эпюр изгибающих моментов (рис. 8.18,б и рис. 8.19,в)

Эти проверки читателям предлагается выполнить самостоятельно.

10. Решение системы канонических уравнений (8.22).

Z₁ = –8,15; Z₂ = 6,35.

Полученные численные значения Z₁ − угла поворота узла b против часовой стрелки (на это указывает знак «минус») и Z₂ − горизонтального перемещения узла а влево в рассчитываемой раме от заданной нагрузки являются относительными, так как они вычислены при условно принятых жесткостях поперечных сечений элементов рамы (EJ_P = 12, EJ_H = 5).

11. Построение эпюр внутренних усилий в заданной раме. Ординаты эпюры изгибающих моментов в сечениях рамы вычислим, используя соотношение

M = –8,15M₁ + 6,35M₂ + M_F (рис. 8.24,а).

По эпюре изгибающих моментов построим эпюру поперечных сил Q (рис. 8.24,б), а по эпюре Q − эпюру продольных сил N (рис. 8.24,в).

Рис. 8.24

12. Кинематическая и статическая проверки расчета рамы. Используем основную систему метода сил и эпюру изгибающих моментов от X₁ = 1, показанные на рис. 8.25.

Рис. 8.25

Кинематическая проверка выполнена с нулевой абсолютной погрешностью вычислений.

Для статической проверки запишем условия равновесия для всей рамы (рис. 8.26):

Рис. 8.26

ΣF_x = − 40 + (62,82 − 18,79) ∙ 0,6 + (−5,97 + 22,95) ∙ 0,8 = −40 + 26,4 + 13,6 = 0;

ΣF_y = 43,36 − 16 ∙ 6 − 30 + (62,82 + 18,79) ∙ 0,8 + (5,97 + 22,95) ∙ 0,6 = −82,64 + 65,29 + 17,35 = 0.

Приведенные выше условия равновесия строго выполняются.

Читателям предлагается самостоятельно проверить третье условие равновесия для всей рамы, а именно

Σ_mom(F)_В = 0,

где В − точка, совпадающая с левой жесткой заделкой наклонной стойки (рис. 8.16,в).

Пример 8.4.

Рассчитаем плоскую раму (рис.8.27, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь­ность расчета следующая.

1. Определение степени кинематической неопределимости

Степень кинематической неопределимости определяем по формуле:

,

где n_у  число неизвестных углов поворота, равное всегда коли­честву жестких узлов рамы, исключая опорные; n_л  число незави­симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет­рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из заданной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме n_у = 1. Для определения n_л вводим во все жесткие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим сте­пень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис.8.27, б) по формуле (8.2):

n_л = W = 2У – С – С₀,

где У = 5  число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор­ные; С = 4  число стержней в шарнирной схеме рамы; С_о = 5 число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.

n_л = 25  4  5 = 1.

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы P узлы A, B и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля AB этой системы опирается на шарнирноподвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.

Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли­нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:

n = n_y + n_л = 1 + 1 = 2.

Заданная рама дважды кинематически неопределима.

2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений

Основную систему метода перемещений получаем путем поста­новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест­ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли­нейному перемещению (рис.8.27, в).

Рис.8.27

Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z₁ и Z₂ , равными по величине действительным перемещениям заданной системы, получим эквивалентную систе­му, деформирующуюся тождественно заданной (рис.8.27, г).

3. Составление канонических уравнений метода перемещений

Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни­тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной системе факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол­ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют) и реакций в них быть не может.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов необходимо построить еди­ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис­теме метода перемещений. Для их построения используются таб­лицы эпюр изгибающих моментов и реакций статически неопре­делимых балок (см. табл.8.1-8.3).

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, постро­енные в основной системе для рассматриваемого примера, показа­ны на рис.8.28, а, в, д.

Для определения реактивного момента r₁₁, возникающего в до­полнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z₁ = 1, вырезаем узел В из эпюры M₁ (рис.8.28, б) и решаем уравнение равновесия :

, откуда .

Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке уз­ла В от линейного смещения Z₂ = 1 узлов В и С определяем из ус­ловия равновесия узла В, вырезанного из эпюры М₂ (рис.8.28, г):

.

Характеристики

Список файлов книги