Изгиб и кручение тонкостенных стержней (1071567), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таблица 19.5. Формулы для вычисления координат центра изгиба и секториальных
моментов инерции некоторых металлических профилей
| Сечение | Координата центра изгиба | Секториальный момент инерции |
|
| Центр изгиба находится в пересечении осей профиля | 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечания: 
- центр изгиба профиля; 
, 
, 
- центры изгиба отдельных элементов профиля; 1, 2, 3 – номера элементов, составляющих профиль; 
, 
- осевые моменты инерции всего сечения относительно указанных на чертеже осей; 
, 
, 
, 
, 
, 
- осевые моменты инерции отдельных элементов профиля относительно указанных на чертеже осей: первый индекс – номер элемента, второй – ось; 
, 
, 
- секториальные моменты инерции отдельных элементов относительно собственных центров изгиба.
Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент
В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тонкостенного бруса можно представить в виде следующего выражения:
, (19.8)
где 
, 
и 
характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; 
удельный угол закручивания относительно продольной оси z, 
эпюра главной секториальной площади.
Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:
. (19.9)
С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений 
, примут вид:
(19.10)
Здесь через 
обозначена новая силовая характеристика, называемая бимоментом, размерность которой будет кНм2.
В результате совместного рассмотрения (19.9) и (19.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:
. (19.11)
Первые три слагаемых уже известные нам величины нормальных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изменения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.
Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фактором и по методу сечений не может быть определен. Следовательно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопределимой. Например, если нагрузить стержень двутаврового сечения четырьмя равными силами Р (рис.19.5), бимомент в торцевом сечении будет равен:
, (19.12)
где 
значение секториальной площади для точки приложения силы Pi, т.е.:
.
Рис. 19.5
В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгибающие моменты Mx , My равны нулю.
Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:
. (19.13)
Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Qx, Qy поперечные силы, от касательных напряжений 
, 
; Mx, My изгибающие моменты, от нормальных напряжений 
; Mz крутящий момент свободного кручения от касательных напряжений ; бимомент от действующих нормальных напряжений 
, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; 
изгибно крутящий момент от дополнительных касательных напряжений 
.
Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 19.6, где приняты следующие обозначения: u, v перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; 
соответственно, статические моменты относительно координатных осей и секториально статический момент отсеченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчетной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
