Изгиб и кручение тонкостенных стержней (1071567), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

. (19.24)

В заключении, учитывая (19.23) и выражения усилий из таблицы 19.1, окончательно получим:

(19.25)

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависи­мостях теории стесненного кручения стержней открытого и замк­нутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и сектори­альных геометрических характеристик сечений , и т.д., на обобщенные величины , и т.д., для замкнутого профиля.

При этом, главная обобщенная секториальная координата , для замкнутого профиля (рис.19.7), определяется:

где  сектори­альная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня от­крытого профиля; r  длина пер­пендикуляра, опущенного из по­люса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру;  параметр, условно на­зываемый «средним радиусом» замкнутого контура;  удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s; приведенная длина дуги данной точки контура.

Рис. 19.7

Главный обобщенный секториальный момент сечения и секториальный статический момент для замкнутого контура определяются по формулам:

,

где .

Расчет тонкостенного стержня открытого профиля

Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.19.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5 м; B = 19 м; l = 2 м; = 1 м; P = 1 кН; E = 2 МПа; G = 8 МПа, требуется:

1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

2. Найти положение центра изгиба;

3. Определить момент инерции при чистом кручении I_кр и секториальные характеристики сечения;

4. Вычислить изгибнокрутильную характеристику ;

5. Построить эпюры поперечной силы Q_x, изгибающего момен­та M_y, момента чистого кручения M_z, изгибнокрутящего момента , бимомента ;

6. Построить эпюры нормальных напряжений , и их сум­марную эпюру.

Решение:

1. Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции

Вычислим расчетные размеры сечения стержня (рис.19.8, б, в), приняв в дальнейших расчетах:

; м;

м.

Рис. 19.8

Тогда

м².

В выбранной системе координат x₁y₁, определим положение центра тяжести сечения: y_c = 0;

Для этого построим эпюру координат x₁ (рис.19.9, а) и вычис­лим статический момент сечения относительно оси y₁:

м³.

Тогда координата центра тяжести сечения будет равна:

м.

Для вычисления главных центральных моментов инерции пред­варительно построим эпюру координат x и y (рис.19.9, б, в). С при­менением этих эпюр, определяются:

м⁴;

м⁴.

2. Определение положения центра изгиба

Вначале построим эпюру секториальных координат площади , в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произволь­ный полюс в точке B (рис.19.9, г):

м²;

;

м².

Рис. 19.9

Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (19.5).

Используя эпюры и y и применяя правило Верещагина, вычисляем секториально линейный статический момент:

м⁵.

Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси прини­мает значение:

м.

Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется

Так как эпюра x симметрична, а эпюра обратно симметрич­на относительно x, то по правилу Верещагина секториальноли­нейный статический момент равен нулю, т.е.:

.

Cледовательно, y_А = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси x.

Вычислим постоянную D, предварительно построив эпюру сек­ториальных площадей (рис.19.9, д).

При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно):

м²;

м²;

м².

Постоянную D вычисляется по формуле (19.6):

Далее вычисляем секториально статический момент , как произведение площади эпюры на  :

м⁴ .

В этом случае величина постоянной D будет равна:

м² .

Далее, используя зависимость (19.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:

м² ;

м² ;

м² ;

м² .

По полученным координатам строим эпюру (рис.19.9, е).

3. Определить момент инерции при чистом кручении и секториальные характеристики сечения

Для корытообразного профиля поперечного сечения бруса (рис. 19.8, б), имеем:

м⁴ .

Cекториальный момент инерции I_ вычисляем по эпюре (рис.19.9, е):

 м⁶ .

4. Определение изгибно крутильной характеристики

Изгибнокрутильную характеристику вычисляем по формуле:

м^1 .

5. Построение эпюр поперечной силы Q_x, изгибающего момента M_y , момента чистого кручения M_z, изгибнокрутящего момента М_ и бимомента В_

В рассматриваемом примере:

м; кН = 95 Н;

; ch = 6,7690;  ch = 1,36,7690 = 8,7997 м^1.

Тогда, согласно (19.25), получим:

Характеристики

Список файлов книги