Розанов Л.Н. Вакуумная техника 1990 (1065500), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Исходными данными для расчета должны быть: конфигурация элементов, распределение молекул по площади входного отверстия, угловое распределение молекул на входе, угловое распределение молекул, десорбирующихся с внутренних поверхностей вакуумных элементов. Конфигурацию элемента всегда можно с соотвествующими огра. ничениями приближенно описать набором уравнений второго порядка апх'+а~у~+аоох~+ а13ху+аооух+ (3.82) +а33хх+амх га34утаооз+ам=О. При удачном выборе положения системы координат уравнения (3.82) сильно упрощаются.
Уравнение цилиндра, ось которого совпадает с осью г, имеет вид х +у'=го', уравнение плоскости, перпендикулярной оси г, — вид я=1 и т. д. Условия на входе в элемент считаем соответствующими присоединению элемента к бесконечно большому объекту. Из молекулярно-кинетической теории известно, что из бесконечно большого объекта молекулы, попадающие во входное отверстие элемента, равномерно распределены по площади и имеют косииусное угловое распределение. На стенках, ограничивающих внутреннее пространство элемента, принимаем, чтодесорбция молекул происходит всоответствиис законом косинуса.
Моделируемыми случайными величинами являются координаты точки входа молекулы в элемент и два угла, определяющие направление движения молекул в элементе от точки входа или с поверхности элемента. Координатами точки входа для круглого входного отверстия (рис. 3.16) являются угол ф и радиус г. Для обеспечения равновероятного входа молекул по всей площади необходимо, чтобы угол ф был равномерно распределен в интервале от О до 2и.
Генерируя датчиком случайных чисел, равномерно распределенным в интервале от О до 1, случайное число $ [О,Ц, получим случайную величину угла ф=2я$[О,Ц. (3.83) Для определения случайного радиуса входа молекулы в систему запишем число молекул, попадающих в кольцо шириной ог на радиусе г, , 2иг дг, 2г с1Х=Х вЂ” = Л' — дг. "ГО г г Го Вероятность попадания молекулы в круг площадью иг' Г Г 2г Го Р(г)= — д г= —.
Го равномерно распределенным в интервале от О до 1, получим г=го)ГГ$[О,Ц. (3.84) Направление вектора скорости молекулы а в точке входа определяется двумя углами: а1 и ао (рис. 3.16). Угол а~ образован осью х' и проекцией вектора скорости на плоскость х'у'. Угол ао образуется между осью х' и вектором скорости ш В соответствии с принятыми граничными условиями случайный угол а1 равномерно распределен в интервале от О до 2и: а,=2л$[О,Ц, (3.85) где Ь', т', и' — направляющие косинусы каждой прямой в локальной системе координат, определяемые углами а3 и ао. Для определения точки встречи молекулы с поверхностью элемента нужно преобразовать уравнение (3.87) в глобальную систему координат, в которой записаны уравнения, определяющие конфигурацию элемента: У вЂ” У3 г — Г3 Х вЂ” Х3 (3.88) о т и где хь уь х1 — координаты точки вылета молекулы в глобальной системе координат; Ь, т, и — направляющие косинусы прямой в глобальной системе координат, которые определяют из преобразо- вания ('-) Ь, т, и, Ь,т,и, ЬЗ то "3 Э= а для нахождения случайного угла ао, имеющего косинусное распределение, необходимо воспользоваться выражением (2.16): ао=агсз1п()Г Е [О,Ц).
(3.86) Уравнения (3.83).„(3.86) позволяют моделировать все необходимые для решения задачи случайные величины ф, г, а1 и аз. В случае присутствия в элементе сорбирующих поверхностей должны быть заданы дополнительные случайные числа, характеризующие поглощение молекул. Вероятностная модель стационарного течения газа описывает случайную траекторию движения молекул в элементе. Для математического моделирования траектории движущихся молекул газа воспользуемся уравнением прямой в локальной для каждой поверхности системе координат х'1Ь' = у'[т' = х'/и', (3.87) 74 Моделируя вероятность Р(г) новым случайным числом $ [О,Ц, где Ьь Ьз, Ьз — направляющие косинусы глобальных осей по отио- 75 Р» 2= (Х»+Х2+... +Х»2) ! !у (3.89) где Х», ..., Хк — значения случайной величины Х для соответствующего испытания.
Поток газа, проходящий через элемент, ' » 00~ » -«2~ (3.90) где Яа — поток газа, входящий в элемент через входное отверстие, Проведем статистическую оценку результатов. Определим ха- рактеристики случайной величины Х. Пусть М(Х), М(Х2) — мате- матические ожидания случайных величин Х и Х'. 2 2 М(Х)= ~ Р»У,.; М(Х2)= ~ Р,У», » где Р» — вероятности исходов У» случайной величины Х. Вероят- ность Р», соответствующая У»= 1, равна Р» 2, а вероятность Рь со- 76 шению к оси х', ть тм т2 — по отношению к оси у', л, л2, л,— по отношению к оси г'.
Совместное решение уравнения (3.88) со всеми уравнениями (3,82), определяющими конфигурацию элемента, позволяют получить точки пересечения. Пересечение прямой с плоскостью дает одну точку, с цилиндром — две. Логически могут быть отброшены точки пересечения, которые не лежат на внутренней поверхности элемента, в соответствии с ограничениями к уравнению (3.82) на внутренней поверхности элемента. Из оставшихся необходимо выбрать одну точку, находящуюся на минимальном расстоянии от исходной по направлению полета молекулы. Для найденной таким образом точки пересечения вновь определяется случайное направление вылета.
Углы вылета находятся аналогично а» и а2 (см. (3.85) и (3.86)1, при этом они измеряются в локальной системе координат, в которой ось г' направлена по нормали к соответствующей поверхности вылета. Движение молекулы прослеживается до тех пор, пока она не покинет элемент через входное или выходное отверстие. Исход каждого испытания есть случайная величина Х, которая может иметь два значения: 0 и 1. Будем считать, что молекула проходит элемент, когда Х=1. Траектория такой молекулы начинается от точки В на рис.
3.16. Если молекула возвращается обратно, то Х=О. Пример траектории такой молекулы, начинающейся от точки А, показан на рис, 3.16. Вероятность прохождения молекулой элемента от входного сечения 1 до выходного сечения 2 находится как среднеарифметическое значений случайной величины Х при достаточно большом числе испытаний Л»: ответствующая Уз=0, равна 1 — Р, 2. Таким образом, М(Х)=М(Х2) =Р» 2. (3.91) Используем значения полученных математических ожиданий для нахождения дисперсии случайной величины Х: 1.') (Х) = М (Х2) — (М (Х))2 = Р, (1 — Р ).
(3.92) Среднеквадратичное отклонение случайной величины Х вЂ” УО(Х>=\: Р, [» — Р, О. (3.93) В соответствии с формулой Чебышева при любом фиксированном е>0 Р ( 1 Х2» — М (Х) ! (2) )~ 1 — У (3,94) При достаточно большом числе испытаний»»» среднеарифметическое Хл отличается от М(Х) не более чем на е с вероятностью не менее чем 1 — у где (3.95) у = О (Х)1(72»'22). Относительная погрешность с учетом (3.95) » ! / О(Х) ,, ~/ Лу (3.96) Воспользовавшись выражением (3.93) для 1)(Х), преобразуем (3.96), тогда (3.9?) 77 При фиксированном значении у ошибка в расчетах убывает пропорционально корню квадратному из числа испытаний. Число испытаний можно определить из (3.97): ?ь» =Й (3.98) где )7= 1/(62у).
При Р» 2=0,5 необходимое число испытаний д»=1». В табл. 3.9 приведены значения числа испытаний 1» для различных значений относительной по»решиости расчета Ь и вероятности выполнения оценки 1 — у. Из таблицы видно, что при Р» 2=0,5 погрешность 10% с вероятностью 0,99 может быть достигнута при 10000, а с вероятностью 0,9 — при 1000 испытаний, Недостатком метода статистических испытаний является необходимость проведения большого числа испытаний для получения приемлемой точности, что требует применения вычислительной техники.
ГЛАВА 4 Таблица 39 Значения коэффициента ?? мнхАническиВ метОды получнния ВАКуумА (-т 0,99 0,99 олж 0,97 1,0 !У 2,5 1У 1,1 104 6,3 10' 4,0 104 1,0 !О' 5,0 104 1,3 104 5,6 104 3,1 104 2,0 !04 5 0.104 З,З !04 8,3 104 3,7 1О' 2,1 1О' 1,3 104 З,З 104 25 104 6,3 10' 2,8.104 1,6 104 1,0 104 2,5 1Оз 0,01 0,02 000 0,04 0,05 0,10 Продолжение табл. 3 р 0,99 0,94 олв 0,90 2,0 104 5,0 10" 22,104 1,3 !У 80.104 2 0.10з 1,7 !04 4,2 10' 19 104 !,0 104 6,7 1Оз ! 7.юз 1,3 104 3,! ° 10' 1,4 104 78 1У 50 !О' 1,3 10' 1,0. 109 2,5 104 1,1 ° 104 6,3 !04 4,0 10з 1,0 1Оз 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Рис. 4.1.
Схема вакуумной системы 79 Я = р(Я„= рзб;0 — — р, Я,. (4.4) 78 Достоинством метода является универсальность вычислительного алгоритма. Для расчета нового элемента требуется только аналитически задать его конфигурацию. 1. Почему коэффициенты динамической вязкости и теплоироаодности газов при низком вакууме не зависят от давления? 2. Каковы наиболее эффективные способы передачи теплоты а областях низкого н высокого вакуума? 3. Как коэффициент диффузии газов зависит от давления э областях низкого и высокого аакуума? 4. Как при различных степенях вакуума изменяется равновесное давление по длине вакуумной системы, имеющей участки с различной температурой? 5. Нужно ли вводить поправку н показания мзнометрическото преобразозатезя, отделенного от откачизаемого объекта охлаждаемой лоаушкой? 6.
В чем физический смысл понятия проводимости элемента вакуумной системы? Какоаа зааисимость проводимости от давления при различных режимах течения газа? 7. 4(ем определяется критическое отношение давлений ирн течении газа через отверстие э аязкоетном режиме? 8. Какие зы знаете способы ионизации газон? 9. Почему минимум пробивного напряжения з вакууме находится и обла. сти среднего вакуума? 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
