Bessonov1 (1063915), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Составим, например, схему, эквивалентную схеме рис. 3.33. С этой целью в уравнении (в) заменим ! на /, — 1 и в уравнении (г)— /1 на !, + /з (см. ф 3.36). ЗаменУ одних токов дРУгими пРоизводим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи, которые текут в ветвях рассматриваемого контура. В результате получим.' ~1Ж1 + 1~ (!.1+ 'И)1+ 2 ~2 С + ~ 1' 1 ЫС2 !2(~2 С 1~м) + ~3(йг+ !1а!3+ !а1М) 3 ! 2 (г) При фиксированных А и д можно исследовать ~йь,~ на экстремум в функции в для двух случаев: й)И и И(й. При я >д имеются три экстремума: минимум при е = О, т.
е. при ы = о1о, и два максимума при е12 ††.+-уй- — 0, которым соответствуют частоты Г7 7 а11,2 ~0~ 1,2 Резонансная кривая при этом имеет два "горба (кривая! на рис. З.42, б построена и н и = З11). С увеличением й "горбы" кривой раздвигаются. ри й(Ы имеется только один экстремум: максимум при е = О(кривая 2 на рис. З„42, б). По оси абсцисс на этом рис нке отложено е/И, по осн ординат ~ Й о ~ / ~ Й п~щц~ ~, Где ~ й 11п~ ах ~ = 1 /(Ы) =, / 2Я .
1. Ток первичного контура в функции от е/д при 1~О,490 имеет двугорбую форму. Я 7. ба >>ч Ев~ Рис. 3.43 для ветви хг Рг Рх = „— 7,,с,„— l,щ!Хм >>Ч>'хг и учесть 7 = 7 е рг»ч и ч >ч ач хг Бг Если принять 1 = У е>~И' ) = 7 е>ххг =7 е ~~зг,тосуммадвух слагаемых зг 3В Э 7>,ч7„7 Хм, + 7>„7„~хц, — — 7„7„7Хм, Х >>Чйг Ч " ~Ч~ъг Ч ' »Ч/ьг Х[е> чав ч' ) + е >(ч'>гч ч'- [ = 12Хз> У>, ! сов(>р>, — ср~г).
(3.60) где Йр — квадрат модуля тока ветви яр; У>р — — Я>р -[- 7Х>р, Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенство действительных частей комплексов ЯеР 7 =~~ /2~ 7г (3.61) равенство мнимых частей ! п>~"Е, 1„= ~72~ Х„+ 2~ 1„ /„Х,и сов(>р>, — >р„) . В этом выражении Х,и принято положительным при согласном направлении »Ч/яг потоков взанмоиндукции и самонндукции ветвей йд и зги отрицательным при встречном их направлении.
Формулы (3.6!) и (3.62) являются математической записью сформулированной теоремы. Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, и. Р е ш е н и е. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС, КеЕ! = Ке 100 ° 17,7е!©~* = 1770 сов 63" = 800 Вт. Активная мощность, потребляемая приемниками, >„>т„= 14,12 .4 = 800 Вт. Следо!>ательно, равенство активнь>х~мощностей дейс>вительно выполнено. Реактивная мощность источника ЭДС 1>пЕХ = 1770 з1п 63' = 1582 ВАР. Реактивная мощность приемников энергии с учетом согласного включения катушек » + 2 2 + > 2>'> (>Р>» Р>2) 2 2 = 177~ * 2 + 14 62-3 + 2 ° 17 7 ° 14 6 сов (63' — 144') = 1582 ВАР. Таки ак" и образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.
Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет переписать ее в ниде Е>, 7~р = ~~ 1>, ~>, + 12~ 1~р!„Х,и сов(гр — >р„), ф 3.43. Теорема Теллегеиа. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая матрица ее[А]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначим Д 1, а матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей и падение напряжения на них) обозначим [Ув 1. В соответствии с законом сохранения энергии (~А + (4~г+ " + (~ ~ = О. (а) Соотношение (а) можно записать так 1~ = [06]'Рв] = 0- %(Ъ" К,! (б) [(~в]' = Ь]'[А] (в) Подставим (в) в(б): [р]'[А]Щ = О.
(г) В формуле (г) произведение [А][Рв] =0 физически выражает собой систему уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составленную для комплексно-сопряженных токов ветвей. Из (г) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [А]-матрицей создать два режима, отличающихся сопротивлениями, и ЭДС ветвей и все величины, относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — двумя, то [и,']'Р,"] = [и,"1'Р,'].
(д) Соотношение (д), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые [А1-матрицы. ф 3.44. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи называют дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве простейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи. Схема рис.
3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последователь- но с ним включенных активного, индуктивного и ем костного элемен- тов (]т, ~, С). Схема рис. 3.44, б состоит из источника тока У, и трех параллельных ветвей, Первая ветвь содержит активную проводи- мость у„ вторая — емкость С„ третья — индуктивность 1, Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в дуальных цепях, составим для схемы рис. 3.44, а уравнение по методу контурных токов: ! (3.63) ( (й + /вА + —.) = е, ~еС 130 Но н соответствии с $2.35[Ба! = [А['[~р], где [ф] — матрица-столбец потенциалов незаземленных узлов. В свою очередь, а) Рис.
3.44 (3.64) ! Ф.(а.+ —., +!Ос,)=у,. э Если параметры схемы рис. 3.44, б д„1.„С, согласовать с параметрами схемы рис. 3.44, а й, 1., С таким образом, что гУд,= ЬУС,= ~,УС= К, (3.65) где А — некоторое произвольное число (масштабный множитель преобразования), Ом~, то 1 а, + . + ис, = — ( и+ —. + !а~) . )о~., ' й ~ьС С учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.64) следующим образом: ~П, ~р„( и + ~ь|. + —.) = и,. 1 (3.67) шэ увС Из сопоставления уравнений (3.63) и (3.6?) следует, что если ток ,~, источника тока в схеме рис. 3.44, б изменяется с той же угловой ч'густотой, что и ЭДС Е в схеме рис.
3.44, а, и численно равен Е, а параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением ~3.65), то при й = 1 Ом' закон изменения во времени потенциала %„в схеме рис. 3.44, б совпадает с законом изменения во времени %ока 1 в схеме рис. 3.44, а.
Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью могут быть перенесены на дуальную ей схему. нг Между входным сопротивлением У„,„исходного двухполюсника "~ходной проводимостью У„„„дуального ему двухполюсника существует соотношение Х„,„= й К„„,. Из (3.66) получаем соотношение между частотной характеристикой чисто реактивного исходного двухполюсника Х„,„(ю) и частотной характеристикой дуального ему тоже чисто реактивного двухполюсника Ь,„„(со). Действительно, так как У„= (Х„,„(ь), а 131 а для схемы рис. 3.44, б — по методу узловых потенциалов, обозначив потенциал точки а через ~р„положив равным нулю потенциал второго узла: У,„„= — 1Ь„„„(ю), то Х„,„(со) = — ЙЬ,„„(а), т.
е. частотная характеристика дуального двухполюсника получается из исходной частотной характеристики путем опрокидывания ее относительно оси в и деления на масштабный множитель й. Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДС Е и параметрами й, 1., С) отвечает свой элемент эквивалентной дуальной схемы(схемы с источниками тока У, и параметрами д„С„ 1.,). ф 3.45.
Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому независимому контуру исходной схемы, а также области, являющейся внешней по отношению к схеме, соответствует свой узел дуальной схемы. Если в какой-либо ветви исходной схемы, являющейся смежной между двумя контурами, имеется и последовательно включенных элементов, то этой ветви соответствует и параллельных ветвей, соединяющих узлы дуальной схемы, которые отвечают этим контурам. Так, источнику ЭДС Е исходной схемы рис. 3.45, а отвечает в дуальной схеме источник тока У, рис.
ЗА5, б, а источнику тока 1,— источник ЭДС Е; активному сопротивлению й — проводимость д„' индуктивности 1. — емкость С,; емкости С вЂ” индуктивность1, Для преобразования исходной схемы в дуальную поступают следующим образом. Внутри каждого независимого контура (и во внешней области) ставят точки и называют их. Эти точки являются узлами эквивалентной дуальной схемы. В схеме рис. 3.46, а три независимых контура, поэтому внутри них ставим точки 1, 2, 3 (точка 1 соответствует первому контуру точка 2 — второму, точка 8 — третьему). Будем считать, что все контурные токи направлены по часовой стрелке. Во внешней относительно схемы области ставим точку 4.
МеждУ полученными четырьмя узлами проводим пунктирные линии— ветви дуальной схемы. Эти линии проходят через элементы исходной схемы (Й, 1., С, Е) и в дуальной схеме рис. ЗА5, б включаем в них соответствующие эквиваленты. 132 11 1 Ат 11 ! ( 11 г/ / Ф а) Рис. 3.46 Узел 1 на схеме рис 3.46, а соединен с узлом 4 одной пунктирной линией, так как в ветви, являющейся смежной между первым контуром и внешней областью, включено лишь одно сопротивление (активное сопротивление й,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
