Рыба к курсовой работе по ЧМ (1063664)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

I. Постановка задачи.Решить интегральное уравнение2e sx( )d  z (s) , где s  [0;3](1)0тремя методами:1) приближение ИУ методом конечных сумм на основе составных формулпрямоугольников и численное решение соответствующего СЛАУ методом Гаусса свыбором ведущего элемента по столбцу. Внесение в правую часть абсолютнойошибки и решение соответствующего СЛАУ методом Гаусса с выбором ведущегоэлемента по столбцу;2) метод регуляризации по невязке в правой части;3) метод регуляризации по невязке в правой части.Сравнить решения.II.Теоретическая часть.Интегральным уравнением (ИУ) Фредгольма 1-го рода называется уравнение видаb K ( x, t ) (t )dt  f ( x)aне содержащее искомой функции вне интеграла.Известно, что задача решения такого ИУ является некорректной, т.е.

отсутствуетустойчивое его решение к малым изменениям правой части.Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решениеz. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задачаназывается корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующиеусловия (условия корректности):1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существованиерешения);2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи);3) решение устойчиво.Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называютсянекорректными задачами (или некорректно поставленными).1III.

Практическаячасть.A. Приближение ИУ кусочно-постоянными функциями.Численное решение соответствующего СЛАУ методомГаусса.Подставляем в ИУ (1) вместо x ( ) модельное решение:1   , x  1x( )  0, x  11,21x0,80,60,40,21,71,821,941,11,221,341,461,580,50,620,740,860,980,020,140,260,380tauРис.1. Модельное решениеПолучаем правую часть по модельному решению21110000z (s)   e s x( )d   e s (1   )d   e s d   e s d  e s  1  e s (s  1)  1  s  e s  1ss2s2Теперь решаем уравнение вида:2s  e s  1 sex()d0s22Для этого приближаем интеграл  e s x( )d кусочно-постоянными функциями0Т.к.    0, 2 и s   0,3 , то разбиваем отрезок  0, 2 по  на 20 точек (берем центральноравномерную сетку) и отрезок 0,3 по x на 50 точек (сетка также центральноравномерная) ; и решаем СЛАУ размерностью 20  20 методом Гаусса с выбором главногоэлемента по столбцу.2Получаем решение:Решение, полученное при решении методом Гаусса50004000300020001,821,941,71,221,341,461,581,10,620,740,860,98-10000,500,020,140,260,38x1000-2000-3000-4000-5000tauРис.2.

Решение, полученное при решение СЛАУ методом Гаусса.Данное решение явно отличается от модельного (см. рис.1). Но проверим матрицу В,полученной при замене интеграла в уравнении, для этого подставим получившееся решениев уравнение B  x   z и сравним правые части:Рис.3. Сравнение правых частей.3Как видно из рис.3 правые части уравнения практически совпали, отсюда делаем вывод, чтоматрица В найдена правильно.Теперь внесём в правую часть уравнения (2) абсолютную ошибку.С помощью датчика случайных чисел создаем вектор из 20 нормально распределённыхвеличин, т.е.

 i N (0,1) . Для этого в данной курсовой использовался математический пакетExel.z   z  A  ,где А=0,01 – константаПолучили таким образом «испорченную» правую часть и решим следующее уравнение:B x  z(2)так же методом Гаусса в выбором ведущего элемента по столбцу (показать, как получаетсяматрица B).Рис.5. Решение, полученное при решение СЛАУ методом Гаусса при внесении погрешностив правую часть.Проверим получившееся решение, подставив его в (2):4Рис.6. Сравнение правых частей при внесении погрешности.B. Метод регуляризации по модельному решению.Из пункта А мы видим, что поставленная задача некорректна, и для её решениявоспользуемся регуляризацией.Составим такой функционал: H TBBx  TBz ,(3)где  - параметр регуляризации,H – матрица, стабилизирующая функционалВ работе H  E   ij kkСтроим функцию:2   xmod  x() d ,0где x()  H  T BB1TB z2opt  arg min ( k )   xmod  x(( k ) ) d 05Рис.6.

Функция    ~~ opt   ( k ) =0.0055Построим функцию x(opt )  x(0.0055)  opt H  T BB1TB  z и сравним её с модельнымрешением.Рис.7. Сравнение x(0.0055) с модельным решением6C. Метод регуляризации по невязке.Вектор B  x   z , для   x называют невязкой.Строим функцию: ()  B  x()   z / k ,eгде B x()  z - среднеквадратичное отклонение,ek - количество точек разбиенияВ данной задаче k  50 .При  opt :    opt  ? A  0.01 , таким образом opt  0.007Рис.8. Функция    Построим x(opt )  x(0.007)  opt H  T BB1TB z :Рис.9. Сравнение x(0.007) с модельным решением7IV.

Литература.1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения . 4-е изд.,исправленное. -М.: УРСС, 2007.2. Пирумов У.Г., Численные методы. 4-е изд., стереотип., –М.: Дрофа, 2007.3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. “Элементы теории функции и функционального анализа”.7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.4.

Краснов М.Л. “Интегральные уравнения. Введение в теорию”. 2-е изд. М.: КомКнига,2006.5. Садовничий В.А. “Теория операторов”. 4-е изд. М.: Дрофа, 2001.8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания