Лекци@31-Функции_распределени@ [Режим совместимости] (1062665)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекции по термодинамикедоцент каф. Э6, ктн Рыжков С.В.Лекция №31Элементы статистическойтермодинамики• Функции распределения• Кинетическое уравнение Больцмана• Квантовая статистика• Определение термодинамических параметров статистическими методами• Основы теории Онсагера• Применение теории Онсагера к анализу процессов теплопроводности• Применение тeoрии Онсагера к анализу термоэлектрических эффектов• Первое соотношение Томсона• Второе соотношение Томсона• Третье соотношение Томсона1. Функции распределенияРаспределение частиц по скоростям определяется функцией распределения f(w),показывающей среднее по времени число частиц данного вида в данном элементеобъема, которые имеют скорости, лежащие в заданном интервале.Полное число частиц всех скоростей в элементе объема: nn = ∫ f (w)dw(1)Средняя скорость частицв элементе объема:1w=wf ( w )dw = ∫ wf ( w ) dw ∫ f ( w ) dw∫n(2)Средняя кинетическая энергия частиц2mwm2=wf ( w ) dw∫22n(3)ρ (r , t ) = m ∫ f (w )dwСредняя плотность вещества(4)Средняя плотность электрического тока (для плазмы):j = ∑ Z i e ∫ wi f i (w)dw(5)где Ziе - заряд иона, wi - скорость, r - координата, t - время.Для рассмотрения многих теоретических и прикладных задач очень важным являетсяраспределение совокупности частиц, находящихся в тепловом равновесии.В равновесном стационарном состоянии число частиц с данными значениями скорости,не смотря на столкновения друг с другом, остается в системе неизменнымсостояние статистического равновесия.(6)f (w ) f (w ) = f (w ) f (w )1234Где f (w ) u f (w ) - число частиц со скоростями w1 u w2 до столкновения,12послестолкновения.f (w ) u f (w )34( ) ( )( ) ( )f w12 f w22 = f w32 f w42(7)w12 + w22 = w32 + w42(8)( )( )( )( )df (w )df (w )dw =dwf (w )f (w )df (w )dw = − βf (w )ln f w12 + ln f w22 = ln f w32 + ln f w42212122222122(9)22(10)2( )(f w 2 = A exp − β w 2Из (1) и (11), записав вдоль оси х :+∞())n = A∑ w2 exp − β wx2 dwx−∞(11)3+∞Так какТо(A = n (β π )12−∞, если при степени свободы три:p = n (β π )32следовательно)22wexp−βwx dwx = π β∫+∞(A = n (β π )32(12))22mwexp−βwwdw∫−∞β = m (2kT )Рис.

1. Изменение максвелловской функции распределения по скоростям приразличных температурах (T1<T2)(13)4Равновесная максвелловская функция распределения частиц по скоростям mw2  mw2 d = 0f o (w) = 2 w1 − exp −dw 2kT  2kT +∞Так какwH = 2kT m(15)1(16)w = ∫ wf o (w)dw = 8kT (πm )n 0+∞21w = ∫ w2 f o (w)dw = 3kT m , то среднекинетическая скоростьn 02 12(17)w= 3kT mwH( ): w : (w )= 1 : 1,13 : 1,22[ ()]2 12Максвелловское распределение частиц по скоростям справедливо для случая, когдаполная энергия частиц совпадает с их кинетической энергией поступательногодвижения.32 2− mw2 ( 2 kT )− E ПОТ ( 2 kT )(18)f w, r = n m 2πkTw ⋅e()Распределение Максвелла-Больцманаf1 ( w ) = n [ m (2π kT ) ]32f 2 (w) = no e22 − mw ( 2 kT )we− E ПОТ ( 2 kT )(19)(20)52.

Кинетическое уравнение БольцманаЗависимость изменения функции распределения от времени, координат и скоростиопределяется кинетическим уравнениемdf (w)= f (w + dw, r + dr , t + dt ) − f (w, r , t ) = 0dtУчитывая, что , dw dt = F M u dr dt = w получаемdf (w) dt = ∂f ∂t + w ∂f ∂r +F∂f ∂w = 0M(21)Это бесстолкновительное кинетическое уравнение, или, как его часто называют,кинетическое уравнение без правой части. Динамика всей системы в этом случаеопределяется силой F.F∂f ∂ t + w ∂f ∂ r + ∂f ∂w = f CT(22)MЭто и есть кинетическое уравнение Больцмана, или кинетическое уравнение с правойчастью.f CT = ∂f ∂τ CT =  f w − fO  τ(23)f (w) u f O - начальная и установившаяся функция распределения, τ - характерноевремя установления функции распределения.f w = f O + f w,0 − f O e −t τ(24)(( ))( )[ ()]3.

Квантовая статистикаВ квантовой механике определяется лишь вероятность нахождения системы вкаком-то одном состоянии из числа многих возможных, что отражаетNдискретный характер энергетических состояний системы. E =E∑j =1jЕсли нескольким различным состояниям системы отвечает одна и та же энергия, тотакие состояния называются вырожденными, а число состояний с одной и тойже энергией называют кратностью вырождения или статистическим весом.g i exp(− βEm )giQm == exp(− βEm )∑ gi exp(− βEm ) Z(25)Где Qm-вероятность нахождения системы в определенном энергетическом состоянии,Z = g i e − βEm = g i e − β ( E1 + E2 +...+ Ei )(26)– статистическая сумма термодинамической системы, определяемая суммированиемпо всем энергетическим состояниям, Е1 ,Е2 …Еi – энергии, соответствующиеразличным степеням свободы системы.В общем случае энергия атома или молекулы состоит из энергии поступательногодвижения и энергии внутренних степеней свободы:∑∑E = EΠ + EBHСтатистическая сумма по состояниямZ = Z Π Z BH = ∑ g i e − β ( EΠ + EBH )3232Для газа объемом V Z =  2πmkT  V = N  kT  2πmkT Π2 p  h 2 h (27)(28)Z BH = g o e − βEo + g1e − βE1 + ...

+ g m e − βEmДля E=0Z BH = g o e − βEo = g o32 2πkmT Для одноатомных газов Z = g V oh2 kT  2πmkT = g o N  2ph (29)32(30)(31)В отличие от атомов, обладающих энергетическими состояниями только одноготипа, энергия внутренних степеней свободы двухатомных молекул складывается изэнергии возбужденных электронных состояний Еi, энергии колебания ядер атомовотносительно друг друга Ек , энергии вращения ядер относительно центратяжести молекулы Евр(32)Z = Z Z = Z Z Z Z = g e − β ( EΠ + Ei + EK + EBP )ΠBHΠiKВР∑i32  2π mkT − β Ei≈ g o ; ; Zi = ∑ gi e2 h hv exp  −8π JkT 2kT  ;ZK =Z ВР =,h2 hv exp  −2kT kTZΠ = N  p(33)8Z =ZТ.к.∑QmmNi1NN ! = (Z Π Z BH Z K Z i )N!= 1 u β = 1 ( kT ) , moN m= Ng i e − Em( kT )− Emge∑ i(34)( kT )(35)Здесь N – число атомов, молекул, ионов и др. системы.

n0 – плотность частиц вплоскости r=0.(25) и (35) - квантовое каноническое распределение Гиббса.Распределение Гиббса позволяет определять среднее значение любого физическогопараметра, явно зависящего от состояния системы. Если какой-то параметр приэнергии Em имеет значение Qm, то выражение для его среднего значения:g i e − Em (kT )1 − EmQ=Q=gi e− Em ( kT ) ∑ mZ∑ gie( kT )∑QmДля систем с большим числом частиц распределение Гиббса имеет резкий максимум.Если систему составляют молекулы идеального газа, то распределение Гиббсапереходит в распределение Больцмана (20).94. Определение термодинамических параметровстатистическими методамиСтатистическая сумма по состояниям:Z = ∑ g i e − EmОтсюда( kT )= e − F (kT )(36)F = −kT ln Z(37)Это выражение является основным для определения термодинамических параметровстатистическими методами, с помощью которых можно найти:уравнение состояния системы(38)kT  ∂Z  ∂F  ∂ ln Z энтропиюp = − = kT  =Z  ∂V T ∂V T ∂V TT  ∂F   ∂F  ∂ ln Z  S = = k ln Z + T   = k ln Z +  Z  ∂T V  ∂T V ∂T V (39)внутреннюю энергию∂U = −T∂T2энтальпиюkT 2  ∂F F2  = kT (∂ ln Z ∂ T )V =Z  ∂T V T V ∂ ln Z   ∂ ln Z  H = kT  +  ∂ ln V T  ∂ ln T V (40)(41) 10теплоемкость при постоянном объёмеkTCV =Z  ∂Z  ∂2Z   + T  2  2  ∂T V ∂T V (42)теплоемкость при постоянном давлении ∂2Z  kT   ∂Z Cp =2 + T  2  Z   ∂T  p ∂T  p (43)изобарно-изотермный потенциал ∂ ln Z G = F + pV = kT  − ln Z  ∂ ln U TF = − kT (ln Z Π + ln Z BH ) (2πmkT )3 2 F = FO + FΠ + FBH = − kT ln V − kT ln Z BH3h[](44)(45)(46)= −kT ln V (2πmkT ) h 3 соответствует поступательному движению,= −kT ln Z BH - энергии внутренних степеней свободы атомов или молекул.kT kT  dZ BH p=+уравнение состояния(47)V Z BH  dV 11где FΠа FBH32внутренняя энергияэнтальпияэнтропияU =UO3kT 2  dZ BH + kT +2Z BH  dT H = Ho +(48)5kT  dZ BH kT +2Z BH  dT 2 (mkT )3 2  5kT  dZ BH s = k ln V++klnZ+BH3hZ BH  dT  2теплоемкость при постоянном объеме3kT  d Z BH  kT 2CV = k + 2+2Z BH  dT  Z BH d 2 Z BH2 dTтеплоемкость при постоянном давлении5kT  d Z BH  kT 2  d 2 Z BH CP = k + 2+22Z BH  dT  Z BH  dTизобарно-изотермный потенциал (2π mkT )3 2 G = H O − kT ln V − kT ln Z BH3h(49)(50)(51)(52)(53)125.

Основы теории ОнсагераЗакон Фурьеq = −λgradT(54)где q – плотность теплового потока; λ - теплопроводность; T - температура;Закон ОмаJ = − χgradϕ(55)где J - поток электрического заряда;φ - электрический потенциал; χэлектропроводность;Закон ФикаJ i = − Dik gradci(56)где Ji - поток массы i–го компонента; Dik - диффузия i–го компонента относительно k–го компонента; ci - массовая концентрация i–го компонента.Эти законы носят название феноменологических.J1 = L11 X 1 + L12 X 2J 2 = L21 X 1 + L22 X 2(57)L11 , L12 … - феноменологические коэффициенты.nJ i = ∑ Lik X k(58)k =1Матрица феноменологических коэффициентов Lik является матрицей симметричной.Соотношения взаимности ОнсагераLik = Lki (i, k = 1,2,..., n )(59)13ПриJ1 = L11 X 1 + L12 X 2 ; J 2 = L21 X 1 + L22 X 2Потоком некоторой физической величины xi называют количество этой величины,протекающей через единицу поверхности в единицу времени:J i = dxi (dFdτ )(60)J q ≡ q = dQ (dFdτ )Тепловой поток qПоток массы вещества jJ M ≡ j = dM (dFdτ )J i = dxi (dFdτ )(61)xi-термодинамический параметр, представляющий собой координату состояния.nσ S = ∂s ∂ τ = ∑ J i X i(62)1Элементарное количество внешних воздействий в любом неравновесном процессеdQi = pie dxidQi = −dLi - элементарное количество внешних воздействий; dLiработа данного рода; P e - внешний термодинамический потенциал.iePi = Pi + dPiгдеdQi = (Pi + dPi )dxi = Pi dxi + dPi dxidQi = − dLi = Pi dxi(63)- элементарная(64)14dQ ДИС = dPdxii = TdS ДИС(65)dS ДИС = dQ ДИС T = ( dPdxii) TσS =dS ДИСdVdτ=1 dxi dPi 1= Ji X iT dFdτ d ξi T(66)где dV = dFdξ i - элементарный объем; F- площадь поперечного сечения; ξi- координата,совпадающая с направлением потока; J = dx dFdτ - поток величины xi ;X i = dPi dξ iii()- движущая сила в направлении оси i.1 nσ S = ∑ Ji X iT i =1(67)Выражения для потоков и сил в каждом конкретном случае могут быть полученыиз анализа зависимости для скорости производства энтропии (см.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций