Лекци@14_и_15-Дифференциальные_уравнени@_термодинамики [Режим совместимости] (1062635)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекции по термодинамикедоцент каф. Э6, ктн Рыжков С.В.Лекция №14 и №15ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯТЕРМОДИНАМИКИ.ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕИЗМЕРЯЕМЫХ ФУНКЦИЙСОСТОЯНИЯ1.Значение дифференциальных уравнений термодинамикиСвойства веществ (функции состояния) в термодинамике определяют наоснове использования двух уравнений состояния, которые содержатизмеряемые величины.

Этими двумя уравнениями, отражающимисвойства термомеханической системы и необходимыми для определениявсех других свойств, являются уравнение состояния f(р, V, Т) = 0(нередко называемое термическим) и так называемое калорическоеуравнение состояния, связывающее теплоемкость Сp или Сv снезависимыми переменными. Следовательно, совокупность этих двухуравнений состояния по содержащейся в них информации о свойствахвещества эквивалентна одной из характеристических функций.Выражения для определения других не измеряемых функций состояния спомощью приведенных выше уравнений могут быть получены вдифференциальном виде и называются дифференциальными уравнениямитермодинамики.

Записаны они могут быть через измеряемыенезависимые переменные, определяющие состояние простойтермомеханической системы (Т и V), (Т и р) или (р и V).22. Уравнения в независимых переменных Т и VВнутренняя энергия. Полный дифференциал внутренней энергии как функцииданных независимых переменных U = U (Т, V) может быть записан в виде ∂U  ∂U dU = dT+(1)  dV ∂T V ∂V TВыразим частные производные этого уравнения через величины, которые могутбыть найдены с помощью эксперимента.

Сопоставляя уравнение (1) с уравнениемпервого закона термодинамики в видеdU=δQ – pdV = CdT - pdV,получаем ∂U   = CV ∂T VИз уравнения dU = TdS – pdV: ∂U  ∂S   = T  − p ∂V T ∂V TС учетом соотношения Максвелла(2) ∂S   ∂p  находим  ∂U  =T ∂p  − p     =  ∂V T  ∂T V ∂V T  ∂T V3  ∂p dU = CV dT + T   − pdV  ∂T V V2 ∂p  ∆U = ∫ CVdT+ ∫ T  − pdVT1V1  ∂T VT2(3)(4)Рис.

1. К интегрированию дифференциальных уравнений термодинамики.Энтропия. Выражение для дифференциала энтропии получаем с помощью уравненийdU = TdS - pdV и (3). Приравнивая их, имеем(5)CV∂p dS =TdT +  dV ∂T VСравнивая полученное уравнение с выражением для полного дифференциала функцииS = S(T,V), получаем соотношения ∂p  ∂S   =  ∂V T  ∂T VCV ∂S ;  =T ∂T VИнтегрирование полного дифференциала (5) описанным выше способом дает ∂p dT + ∫ ∆S = ∫ dVT1 TV1  ∂T VT2CVV24Энтальпия. Выражение для дифференциала энтальпии находим с помощью уравнения dH = TdS + Vdp.

Дифференциал dp может быть записан через независимыепеременные T и V в виде ∂p  ∂p dp =  dT +   dV ∂T V ∂V T  ∂p  ∂p   ∂p  dH = CV + V   dT + T   + V   dV ∂T V   ∂T V  ∂V T (6)Сравнение (6) с выражением для полного дифференциала функции Н = Н(Т, V) дает( ) ∂H  ∂p   = CV + V   ; ∂T V ∂T V ∂H ∂p=T ∂T ∂V TV ∂p +V ∂V T(7)2  ∂p  ∂p   ∂p  ∆ H = ∫ C V + V  dT + ∫ T  +V  dV∂T V ∂T V  ∂ V V T1 V1  T2VЭнергия Гельмгольца.

Выражение для дифференциала энергии Гельмгольца находим с помощью уравнения dF= - Sd T - pd V. С учетом (5) зависимость энтропииот температуры при V = const можно записать в видеTS ( T , V 1 ) = S 1 ( T1 , V 1 ) + ∫T1CVT(8)dT5CVdF = −[ S1 (T1 , V1 ) + ∫dT ]dT − pdVT1 TTCV ∂F ()=−ST,V−dT ;1 1 1∫T ∂T VT1T(9) ∂F  = −p ∂V TV2 T2 C∆ F = − S 1 (T 2 − T1 ) − ∫  ∫ V dT  dT − ∫ pdV TT1  T1V1T2(10)Энергия Гиббса. Подставляя выражение для энтропии (8) и дифференциал dp, записанный через независимые переменные Т и V: ∂p dp =  dT ∂T V ∂p + dV ∂V TT  ∂p CV ∂p dG = V −S−dTdT+V dV1∫T(11) ∂V T  ∂ T VT1TCV∂G∂p ∂G  ∂p dT ; =V − S1 − ∫ =V .T ∂ T V ∂ T V ∂V T ∂V TT1V2T  ∂p CV ∂p ∆ G = ∫ V −dTdT+V dV − S 1 (T 2 − T1 ) (12)∫∫ ∂V TT1 V1  ∂ T  V T1 TT26Эксергия.

Подставляя уравнения (5) и (6) в dЭ=dН-T0dS, получаемдифференциальное уравнение эксергии в виде To   ∂p  ∂p   ∂p   To dЭ = 1− CV +V   dT + V   + T   1− dV(13) ∂T V  T   ∂V T  ∂T V  T Сравнивая (13) с выражением для полного дифференциала функции Э = Э(Т, V), ∂Э   To  ∂p  ∂Э  ∂p  ∂p   To =1−+;=+CVVT  1 −  V ∂T V  T  ∂T V ∂T V ∂V T ∂T V  T Функция работоспособности Е.Подставив уравнения (3) и (5) в dE=dU-T0dS+p0dVполучаем дифференциальное уравнение функции Е в виде  To  ∂p po  To dE = 1 − CV dT + T 1 −   − p1 −  dVp  T  T  ∂T VСравнивая (14) с выражением для полного дифференциала функции Е = Е(Т, V), ∂E  To  = 1 − CV ; ∂T V  T (14)po  ∂E  To  ∂p  = T 1 −  − p1 − p ∂V T T  ∂T VT2V2  To  ∂p po   To ∆E = ∫ 1 − CV dT + ∫ T 1 −   − p1 − dV7TT∂Tp VT1 V1  3.

Уравнения в независимых переменных Т и рЭнтальпия.Полный дифференциал энтальпии как функции независимых переменных ∂H  ∂H dH =  dT +   dp ∂T  p ∂p TИз уравнения dH=СdT+Vdр имеем ∂H   = Cp ∂T  pТ и р представим в видеИз уравнения dH = TdS + Vdp получаем ∂H  ∂S   = T  + V ∂p T  ∂p T ∂S  ∂V  получаемИмея в виду соотношение Максвелла   = − ∂p T  ∂T  p ∂V  dH = C p dT + V − T   dp ∂T  p  ∂V  ∆H = ∫ CpdT + ∫ V −T  dp ∂T  p T1p1 T2p2(15) ∂H  ∂V   =V −T  ∂T p ∂p T(16)(17)8dS =Энтропия. ∂V dT −  dpT ∂T  pCp(18)Сравнивая (18) с выражением для полного дифференциала функции S = S(T, p),Cp ∂S ; =T ∂T  p∆S =T2∫T1Внутренняя энергия. ∂S  ∂V  = − ∂p∂TpT ∂V dT − ∫  dp∂T  pTp1 Cpp2(19) ∂V  ∂V  dpdV =  dT +  ∂T  p ∂p TПодставляя dS из уравнения (18) и dV в выражение для dU, получаем  ∂V  ∂V   ∂V    dpdU = C p − p  dT − T  + p ∂T  p   ∂T  p ∂p T Отсюда  ∂U  ∂U  ∂V ∂V  ∂V  = −T  = C p − p ; − p ∂T  p ∂T  p ∂T  p ∂p T ∂pp2  ∂V  ∂V   ∂V   dp∆U = ∫ C p − p  dT − ∫ T  + p ∂T  p  ∂p T T1 p1   ∂T  pT2(20) ;T(21)9Энергия Гельмгольца.

Используя уравнение (18), можно записать зависимость энтроTCpпии от температуры при р = const в видеS (T , p1 ) = S1 (T1 , p1 ) + ∫dTTT1 ∂V  ∂V  dpdV =  dT +  ∂T  p ∂p TT  ∂V Cp ∂V  dpdF = −  p+S+dTdTp−1∫T ∂p T  ∂T  pT1Сравнивая уравнение (23) с выражением для полного дифференциала функцииF = F(T, р), можно записать соотношенияT  ∂V Cp ∂F dT ; = −  p + S1 + ∫T ∂T  p  ∂T  pT1 ∂F ∂p ∂V = − p T ∂p(22)(23) .TT2 p2  ∂V T Cp ∂V ∆F = − S1 (T2 − T1 ) − ∫  p dT  dT − ∫ p  dp +∫T1p1  ∂p  T  ∂T  p T1 T(24)Энергия Гиббса.

Подставляя в уравнение зависимость энтропии от температуры прир = const (22), получаем выражение для дифференциала энергии Гиббса в видеTCpdG = −  S1 (T1 , p1 ) + ∫dT  dT + VdpTT110(25)Сравнивая уравнение (25) с выражением для полного дифференциала функции G=G(T,р),TCp  ∂G  = −  S1 + ∫ dT ;T ∂T  pT1Интегрируя уравнение (25), имеем ∂G  = V ∂p T T Cp∆G = ∫ Vdp − ∫ ∫dT dT − S1 (T2 − T1 ) Tp1T1  T1p2T2(26)Эксергия. Подставляя уравнения (16) и (18) в уравнение dЭ=dН-T0dS , получаемдифференциальное уравнение эксергии в виде To  To  ∂V  dЭ = 1− CpdT + V −T1−   dp T T  ∂T  p (27)Сравнивая это уравнение с выражением для полного дифференциала функции Э = Э (Т, р),определяем дифференциальные соотношения ∂Э   To = 1 − ∂T  p  T Cp ; ∂Э  To   ∂V  = V − T 1 −  pTT∂∂pTИнтегрируя уравнение (27):T2 T ∆Э = ∫ 1 − o C p dT +TT1  To  ∂V  ∫p V − T 1 − T  ∂T  p dp1p211Функция работоспособности Е.

Подставляя уравнение (18) и (20) в выражениеE=(U-U0)-T0(S-S0)+p0(V-V0), можно получить дифференциальное уравнение функции Ев виде To   To  ∂V  po  ∂V   po dE= 1− Cp − p1−   dT− T1−   + p1− dp. T   T  ∂T p  p  p  ∂T p (28)Сравнивая (28) с выражением для полного дифференциала функции Е = Е(Т, р)po  ∂V  ∂E  To   = 1 − C p − p1 −  ;p  ∂T  p ∂T  p  T  ∂E po  To  ∂V   = −T 1 −  − p1 − .p T  ∂T  p ∂p TИнтегрируя уравнение (28) To po  ∂V  ∆E = ∫ 1 − C p − p1 −  dT −p  ∂T  p T1  T p2 po   To  ∂V − ∫ T 1 −  + p1 −  dp.p T2 p1   T  ∂T  pT2124.

Уравнения в независимых переменных р и VВнутренняя энергия. Полный дифференциал внутренней энергии как функции независимых переменных р и V может быть записан в виде ∂U  ∂U  dp + dU =  dV ∂V  p ∂p VЧастная производная с учетом уравнения (2) ∂U   ∂U   ∂T  ∂T   =     = CV   ∂p V  ∂T V  ∂p V ∂p VЧастная производная ∂U   ∂p Vравна ∂U с учетом (20) имеет вид  ∂T  ∂U   ∂U   ∂T  ∂V  P  =     = Cp   − p ∂V  p  ∂T  p  ∂V  p ∂V  pПодставляя полученные выражения в уравнение для dU, имеем  ∂T  ∂T  dp + C p dU = CV  − p  dV  ∂V  p ∂p VИнтегрируя уравнение (29)по пути 1п2V2  ∂T  ∂T ∆U = ∫ CV   dp + ∫ Cp   − pdV ∂p Vp1V1   ∂V  p (29)p213(30)Энтропия.

Используя основное уравнение термодинамики и уравнение (29), можнозаписатьCdS = VTCp ∂T  dp +T ∂p V ∂T  dV ∂V  p(31)Сравнивая полученное уравнение с выражением для полного дифференциала функцииC p  ∂T CV  ∂T S=S(p,V), получаем ∂S  ∂S   =  ; ∂p V T  ∂p VИнтегрирование уравнения (31) дает = . ∂V  p T  ∂V  p2C p  ∂T CV  ∂T ∆S = ∫   dp + ∫  dVT  ∂p VT  ∂V  pp1V1p2V(32)Энтальпия.

Подставив в уравнение выражение (31), получим  ∂T  ∂T dH = CV + V  dp + C p  dV ∂V  p  ∂p V(33)Сравнивая уравнение (33) с выражением для полного дифференциала функции Н=Н(р,V),Интегрированиеуравнения (33) дает: ∂H  ∂T  = CV   + V ; ∂p V ∂p V ∂H  ∂T =C .p ∂V  p ∂V  pV2  ∂T  ∂T  + V  dp + ∫ C p ∆H = ∫ CV  dV ∂V  pp1 V1  ∂p Vp214(34)Энергия Гельмгольца. Дифференциал dТ может быть записан через независимые переменные р и V в виде ∂T  ∂T  dp + dT =  dV ∂V  p ∂p VПодставив это выражение в уравнение dF= -SdT-pdV для dF, имеем ∂TdF = − S  ∂p ∂T   dp −  p + S   dV . ∂ V  p VS ( p , V1 ) = S 1 ( p1 , V1 ) +pCV∫p T1 ∂T ∂p dp ;VC p  ∂T S (V , p1 ) = S 1 ( p1 , V1 ) + ∫ dVT  ∂V  pV1V(35)Подставив эти уравнения для энтропии в выражение для dF, получимp  V Cp  ∂T  ∂T  CV  ∂T   ∂T  dF = −S1 + ∫   dp  dp−  p + S1 + ∫   dV  dV.T  ∂p V  ∂p V   V1 T  ∂V  p  ∂V  p p1(36)Сравнивая уравнение (36) с выражением для полного дифференциала функции F=F(p,V),p V Cp  ∂T   ∂T  ∂F CV  ∂T    ∂T   ∂F   = − S1 + ∫   dp   ;  = −{ p + S1 + ∫   dV    ∂p V p1 T  ∂p V   ∂p V  ∂V p V1 T  ∂V p   ∂V p15Интегрируя уравнение (36), имеемV2 pVCp  ∂T   ∂T   ∂T CV  ∂T  ∆F = −∫ S1 + ∫   dp  dp− ∫ p + S1 + ∫   dV  dV.∂VT ∂Vp1 V1  p1 T  ∂p V  ∂p V  V1  p  p p2(37)Энергия Гиббса.Используя выражение для дифференциала dT в независимых переменныхр и V,запишем уравнение dG=-SdT+Vdp в виде ∂T   ∂T   dp − S dG = V − S  dV . ∂V  p ∂p V С учетом зависимостей энтропии от давления и объема (35) выражение (9.3)принимает видp  V Cp  ∂T  ∂T  CV  ∂T   ∂T  dG = V − S1 + ∫   dp  dp− S1 + ∫   dV  dV.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций