Пилипенко В.В. - Гидрогазодинамика технических систем (1062127), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Гармоники, у которых не выполняется условий ~; > г~~, в дальнейшем анализе не участвуют. Алгоритм обладает еще целым рядом фильтров, которые не расоматрнваются в данной статье. Если в результате работы всех фильтров для дальнейэего анализа не останется ни одной гармонкки, то процесс отбора повторяется еще раз, при этом ягал у~ с" эл у,у-р х В случае, если и зо второй раз не будет отобрано ни одной гармоники, то отбор повторяется третий раэ с гка' Ф' гз'- ',' лдя сравнения была проведена ооработна частотных испытаний по ыетоду фиксации час-бты к по методу итерационного нбиска, описанному выше.
Отличие амплитуд составило (20-300)Ф, отличие частот от 0,1 до 4 Гц, отличае фаз до л . 1(роме того, метод итерационного поиска позволяет не рассматривать соответствующее гармоники, если погрешность в определении основных характеристик превосходит заданную. Для сравнения была определена амплитуда визуально и с соколью метода итерационного поиска.
Отличие составило - 10 й. Таким обрезом, матис сделать следуюлий вывод: лля уменьшения пограккости определения частоты, вииглтуды и Фазы анализпруеьых пм раметров при обработке частотных испытаний необходзмо отказаться от традиционного метода йаксации частоты к перейти к более надеи~. му и точному - методу ятераццзонного поиска. . По приведенному алгоритму состевлена прогрмаза на языке АХГС(- Г)П' - для ЗВМ-Е)см 6 и на языке Рл -1 - для мезмн серии ес.
1. Пилипенко В.В., Вацонцзв В.А., Натзнзоы М,С. Кавитационные колебайия и динамика гйдросистем. - М.: Мааиноотроейие,- 1977. 352 с. 2. Гехьфандбейк Я.А. Методы кибернетической диагностики динамических систем. — Рига: зпнатне, 1967. — 542 с. 3. Бендат Бд. Пирсол А. Измеренйе и анализ случайных процессов. - М.: Мкр, 1971. - 4(8 с.
4. Крютчейко В Е., Якимов Б.В. Некоторые новые алгоритмы отыскания окрытых периодйчнсстей и области их применения. - В кн.: Математические модели пабочих процессов в гидропневмосиотемах. Кйез: Наук. думка, 1981, с.167-174. УЛК 5Г).9:532.5 Н.в.хоряк ОБ ОБН(УА АХГОЖТЬМ ПН(ВЕЖ)П(Я СИСТЕМН ЛИНЕННЫХ АХГЕБРАИЧЕСЪИХ И )5(ййЕРЕН)5(АХН(ЫХ уРАВНЕНИН ПЕРВОГО ПОРЯПКА К Ф(УМЕ КШЫ Многие динамические объекти описываются системой обыкновенных ди$- Ференпыальных уравнений, линейных или линеаризованных, которую мокно прквеств к системе линейннх дифйеренциапьных уравнений первого порядка с постоянными козйфициентаьи. Для автономных систем ети уреннения записываются следуюькм образом: где ф, ф - козкйжциенты уравнений скатаны. Система (1) монет быть записана в векторно-матричной форьв /Ю /(/'= Ф (2) Гда /',/Л/ И /',//7/, Вантсрм-Отоябцн ДЛИНЫ т,а /',с 4 , л " /' /.' Х Ж,".т" / и я /'л /' - постоянные матрицы козКмци-" /;/=/...,л ./',-' /,.т ентов системы размера а //.
Первой задачей исследования нвляется преобразоваыие исходной 178 математической модели к некоторому стачдартяом7 артяом~ виду, дчя нпср:г' разработаны определенные ьютоды решения. Слной из таких форм представления является зались сеете; ~ ч нормальном виде или, другиэм слезаем, в форэм Колл.
Векторно-матричная запись автономной оиотемы в вормс К. эрме,.охе ямь ет вид Х= с"Х. где ~"=7с;, 7, - постоянная матрица коэф6пжентов системы размера 77 «77. Матрица " содержит информацию ддя нахождения оабстчояних чпсел и собствекных векторов скстеыы, готорне, как известно, полностью характе)неуют динаьмческие свойства системы. Таким образом,дея исследования динамических свойств системы необходимо п(юобразсваяяе системы вида (2) к нормальному виду (3). В работе /?/ предложен алгоритм, осуществлямчий цреобразованне линейной системы дифференциальных уравнений второго порядка к форме Коши. При использовании этого алгоритма требуется построение матрнпн, обратной по отношению к матряце коэффипиентсв при втсрыч производных.
Поскольку в системе уравнений, описываюшей математическую модель гидромехвническсй системы, матрица коэф4ициентов прн вторых производных, кек правило, является вырожденной, алгоритм 771/ не может быть применен. В работе (21 предложен алгоритм преобразования линейной системы дифференциальных уравнений первого порядка к форме Коши.
Однако этот алгоритм ориентирован на применение аналоговых ЭВМ и предполагает исследование структурной схемы динэмнчеокой системы, а не ее математической модели. Если матрица л' - невырожденная, то, положив ° =-,+" Ю, от записи (2) системы легко перейти к форме Коши '3,7. Однако исходная математическая модель, описывезю(ея динаэмку гвдромеханнческих систем, часто наряду с диф(вренпиэльныин включает алгебраические уравнения. Кроме того, в нее могут входить такие дифференциальные уравнения, которые преобразуются в елгобраические.
Это означает, что матрица Я в записи (2) может солержать нулевые или линейно-зависиь"ле строки и столбцы, т.е. будет особенной (вырожденной). Из теоремы о ранге матрицн оледует, что матрица ,~ являетсл особенной, если ее ранг г меньше порядка л .
Поэтому задача приведения систем вида (2) к форме Коши требует в первую очередь понижения порядка системы (2). В результате будет получена система, ранг и порядок у которой одинаковы: 179 где э, .' - векторы-столбцы длины б ", б — квапратные мьтрицы по~я~се г/,";,~2 Порядок матрицы,~' ревен ее рэнгу,т.е. матрица .~' — нэвыроиьеныея. Тогда, похолив ° = —,~' ' Ф .
легко ~-- г Г- перейти к форме Коши. Подобная инея приведения системы (2) к нормальному виду предлсиена в работе /3/. Рассмотрен прныер преобраэазания системы уравнения третьего порядка к форме Коши, однако списачие алгоритма в работе ~З/ не приведено. В данной статье предлолеы алгоритм приведения системы (2) к форэм Коэм. Сн включает в себя следуаюье этапы: определеяие ранга матрицы ,г ; пониление порядка системы (2); построение матрицы ." = х Для определения ранга ыатрвца л приводится к верхнему треугольному виду. Если матрица,|' особенная, то среди элеьюнтов,находящихся на главной диагонали преобразованной н треугольному вкду матрицы, будут нулевые.
Более того, нулевых диэгсначьных элементов будет столько, сколько жьнейно-зависимых вектор-строк имеет матрица, а ранг ыатрицы лг определяется количеством ненулевых диагональных элементов. Для приведения матрицы л~ к верхнему треугольному виду используется модификация алгоритма Гаусса, оперируюхая только со строкаьм матрицы, (На позволяет преобразовать систему (2) в систему того ие порндка и аналогичного вида 4' ял.,~ (4) где строки матриц,К и З' представляют собой линейные комбинации строк мат)вьпы / и соответственно матрицы Ю . Элементы матрицы л' , располоиенные ннче главной диагонали, будут нулевыьм, а количество отличных от нуля элементов, лекеших на главной диагонали матрицы ,Ф', равно ее рангу и, следовательно, рангу матрицы,~ .
Если ранг г матрицы ,Ф меньше, чем ее порядок т, то нулевыьм будут не только ( я-. ) диагональных элементав матрицы ,Ф , но и (л-г ) ее строк, содеряаших эти элементы. Иными словами, п)вьыевение модиЧмкапни алгоритма Гаусса к матрице ,я системы (2) позволяет преобразовать эту матрьцу к верхнему треугольноыу виду, а линейно-зависимые строки этой матрицы — в нулевые. Приведены системы (2) к виду (3) осуществляется следуацим образом. В матрице ,~ отыскивается строка с отличным от куля первым элеьшнтом и меняется местамн с первой строкой. Соответствухщие стро- 180 ки мат(ацы В тоже менЯютсЯ меотаьм. В результате тапоз „...,,-.-,.
новки отрок диагональный элемент ~ матрицы нуля, тогда последовательное олокение строк матрицы ,~ , ); и, ных ниже первой, с первой строкой, умноженной на 2,..., л соответственно), позволяет сделать равны:и вч;рю вс. ыенты первого столбца, лежащие ниже диагонального: э,- д д, 2,..., ю . Оговорим заранее, что при всяком преобразсвжи строк маты;цз~ Л' подразумеваетоя выполнение аналогичных операв~й нац отрокамн:,с. рицы А далее, просыатривэя отрокл матрицы я', качи~ел оо второй,о -«:- кивают строку с ненулевым вторым элементом и меняют ее местмм сс второй строкой. В результате второй лкэгонэльный элемент х, ' О. Последовательно складывая третью,..., т-ю строку матрицы оо нт— рой строкой, умноженной на г= — — м ( '-- З,...,,т ), добквсютоя рас~, венства нулю элементов второго столбца, рзсполсченныь нике глазики диагонали: ~г = О, лля у = 3,... ".
Предположим, что ,Ь -й диагональный элемент эг матркцы .."' хе отличен от О. Последовательно заменяют гл г'- ",,'з- г~-.. строкгу матрицы Л суммой этой строки с д -й строкой, умнсленной яа д - — '~'- ')-'-д ° О...,л/Тогда урэзненля (1) прн г' =,(~б, л прняимс- Ъ ют вид я ~ Р~Ю эф I'lх ~у~" . ~~. l Ц Р у' ф' / 'и'' ф Сопоставляя их с уравнениями (1), легко записать соотношения, связывамцие элементы исходных матриц Р и У с элементами матриц,"', ч'. где = —, ~'-д...,ж ф Ъ' При /=~ и = Р, т.е. элементы х-го столбца матрицы слелуюцие за т~г, равны нулю. Если матрица ~г, - невыролденная,, то приьюненне $юрыул (5) прм последовательном изменении 1./...,, -г', ют у, т позволит получить матрицу .Ф', не содеожчщую нулей на главной диагонали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
