Лекция7-Кровообращение (1059253), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Данная зависимость выведена на основе закона Франка-Старлинга.

Система кровообращения как система с распределенными параметрами

1. Пульсовые волны в расправленных артериях

Раз система имеет распределенность в пространстве, то в ней могут возникать волны. Уравнения, которые описывают механику системы кровообращения, рассматриваемую как система с распределенными параметрами:

Уравнение баланса импульса (уравнение Навье-Стокса) для несжимаемой жидкости имеет вид:

где - скорость, - плотность, - давление, - коэффициент кинематической вязкости, - конвективное ускорение.

Видно, что уравнение не линейно по , поэтому решается только в простых случаях.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет простой вид:

Это два уравнения баланса. Уравнение сохранения энергии здесь не нужно, поскольку температура несжимаемой жидкости не меняется. Но нужно иметь замыкающее уравнение для всей трубки в целом (закон трубки):

Эти три уравнения полностью описывают распространение пульсовой волны в сосудистом русле.

Рассмотрим одномерный случай:

1) , где вязкостное слагаемое , что по смыслу является силой трения, приходящаяся на единицу площади сосуда.

Для течения Пуазейля τL = 8πηu, а для турбулентного потока τL = ρK_tu²

2) уравнение неразрывности ∂S/∂t + ∂(uS)/ ∂x = 0

Будем считать, что стенка невязкая, линейно упругая. Тогда

3) закон трубки

Пренебрегая в первом уравнении вторыми слагаемыми в левой и правой частях, получим:

Уравнение неразрывности вместе с законом трубки дает:

Помножив первое из этих уравнений на , а второе на , и выполнив надлежащие математические операции, получим волновое уравнение

Тогда скорость пульсовой волны равна

- формула Моэнса-Кортевега

Для тонкостенного сосуда, модуль упругости которого равен , а толщина равна , а диаметр , можно получить

Оценим, справедливы ли наши упрощения, которые привели к данной формуле. Мы предположили линейность и пренебрегли конвективным ускорением. Это справедливо, если конвективное ускорение меньше, чем первое слагаемое в уравнении Навье-Стокса. Для этого нужно, чтобы u/c << 1. Реально наблюдаются величины u/c~0.4

Второе упрощение – линеаризация кривой зависимости S от Р. Это можно делать, когда мы работаем на небольшом участке. Мы рассматривали диапазон dP/P ~ 0.2.

Эти источники нелинейности искажают форму пульсовой волны, но на скорость влияют мало.

Пренебрегать вязкостным слагаемым можно в том случае, если число Уомерслея (отношение сил инерции к силам вязкости) α >> 1, а в аорте человека α ≈ 20 .

Распространение пульсовой волны в сосудах выглядит следующим образом:

По мере того, как давление крови повышается, аорта растягивается и становится более жесткой. Тогда величина снижается, и скорость возрастает. Видно также, что скорость пульсовой волны мало меняется с частотой, что связано с слабым влиянием вязкости стенки.

Дерево сосудов – ветвящееся, поэтому в бифуркациях сосудов происходит отражение волн. Исходя из теории длинных линий, можно найти отношение амплитуды давлений в отраженной волне к амплитуде давлений в падающей волне. Если у нас есть гармонические колебания в системе, то давление и поток связаны линейно

где - механический импеданс системы.

Для трубочки сечения S импеданс системы равен

, где с – скорость пульсовой волны.

Тогда отношение амплитуд падающей и отраженной волн (коэффициент отражения) равно:

где -импеданс материнской ветви, а - импедансы дочерних ветвей.

Видно, что полное согласование возможно в случае, когда

Тогда отраженная волна отсутствует. Но исследования показали, что реальная сосудистая система человека не является полностью согласованной, и в ней есть отраженные волны.

Характеристики

Список файлов лекций