Лекция1-биореология (1059246), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При деформации чистого сдвига объем не меняется.

Классификация сплошных сред.

Для биологических сплошных сред основные 2 типа сред, которые удобно рассматривать – это биологические жидкости и биологические твердые тела. При этом в твердые среды входят твердые ткани (например, костная ткань) и мягкие ткани. Более точно, жидкости – это те среды, которые текут бесконечно долго, если приложить к ним постоянное механическое напряжение, а твердые тела – это те среды, которые при приложении постоянного механического напряжения сначала потекут, а потом перестанут.

Рассмотрим биологические жидкости.

Для биологических жидкостей реологические соотношения, то есть соотношения между тензором напряжения и тензором деформации, имеют вид

где - величины давления, - метрический тензор, - тензор сдвиговых напряжений.

Таким образом, в тензоре напряжений выделяется компонента нормальных напряжений (т.е. давление) и компонента сдвиговых напряжений. Для ньютоновской жидкости (например, вода) реологическое соотношение имеет очень простой вид:

где - коэффициент динамической вязкости.

Таким образом, все реологические свойства ньютоновской жидкости описываются одним коэффициентом . Вводится также коэффициент кинематической вязкости, который равен , где - плотность жидкости.

Рассмотрим одномерное течение Куэтта - в плоскости происходит течение, при котором скорости частиц жидкости направлены вдоль оси и пропорциональны координате .

Таким образом, если посмотрим деформацию, произошедшую с некоторого начального момента времени к какому-то моменту времени , то эта деформация будет являться деформацией чистого сдвига. При этом тензор деформации будет равен

Тогда компоненты тензора скоростей деформации будет равен

Можно получить, что

Или , где - скорость сдвига.

Скорость сдвига – это параметр, который определяет характер течения. И когда говорят о вязких свойствах сложных реологических сред, то обычно эти реологические свойства связывают с определенной скоростью сдвига. Для воды коэффициент вязкости не зависит от скорости сдвига, для большинства других биологических сред эффективный коэффициент вязкости зависит от скорости сдвига.

Неньютоновские жидкости

Вводится несколько видов неньютоновских жидкостей:

-вязкопластическая жидкость (вязкопластическое тело)

-дилатантная жидкость

-псевдопластическая жидкость

Вязкопластическая жидкость.

Одна из моделей вязкопластического тела – модель Шведова-Бингама. Основная особенность вязкопластического тела состоит в том, что если напряжение сдвига меньше порогового значения , то течения не происходит и . Для вязкопластического тела типа Шведова-Бингама соотношение между величиной сдвигового напряжения и скоростью сдвига имеет простой вид:

, если .

Дилатантная жидкость

Если есть жидкость, в которой находятся частицы, и во время движения происходит дезориентация этих частиц, то в такой среде вязкость как бы возрастает. Такая среда называется дилатантной. Пример движения, при котором возникают подобные эффекты – сухое трение. Лучше говорить не собственно о жидкости или о теле, имеющем определенные свойства, а о характере течения.

Псевдопластическая жидкость

В такой жидкости происходит снижение кажущейся вязкости из-за распада частиц и др. явлений.

Зависимость величины сдвигового напряжения от скорости сдвига для различных типов жидкости приведена на рисунке:

где 1-ньютоновская, 2-псевдопластическая, 3-дилатантная, 4-вязкопластическая жидкости.

Мы можем формально ввести коэффициент вязкости, который будет равен отношению сдвигового напряжения к скорости сдвига для каждой жидкости. Такой коэффициент вязкости называется кажущимся коэффициентом вязкости. Если мы для такого коэффициента вязкости построим зависимость от , то мы получим следующие кривые:

Все жидкости могут быть в той или иной степени отнесены к этим типам жидкостей.

Законы сохранения для многофазной и/или многокомпонентной сплошной среды.

Уравнение баланса массы и импульса

Пусть среда состоит из некоторых компонент, мы рассматриваем -ю компоненту. -ая компонента имеет плотность , движется со скоростью и в этой среде распределены по пространству источники и стоки компоненты. К источникам и стокам компоненты мы можем относить химические реакции, для мышцы – артерии как источник, вены как сток, поэтому масса данной компоненты может изменяться в каждой точке среды. Такого рода эффекты описываются правой частью уравнения баланса массы, где отвечает за изменение массы -ой компоненты:

Таким образом, уравнение обозначает, что полное изменение содержания данной компоненты в среде описывается изменением плотности компоненты в точке, истечением среды из точки и изменением содержания за счет реакций и др. эффектов.

Уравнение баланса импульса

где

-скорость изменения импульса -ой компоненты в точке;

-скорость истечения импульса -ой компоненты через поверхность капли;

-изменение импульса -ой компоненты за счет тех напряжений, которые действуют в среде;

-обмен импульсов между -ой и -ой компонентами;

-массовая сила (к этому виду сил можно отнести силы, действующие в электрическом поле).

В левой части уравнения записано полное изменение импульса -ой компоненты, а в правой части – сумма всех сил, действующих на -ую компоненту.

В тех случаях, когда происходят какие-то внутренние вращения в среде, полезно добавить уравнение момента импульса, в тех случаях, когда происходит изменение температуры среды, можно добавить уравнение баланса энергии.

Уравнения баланса массы, импульса и энергии называются балансовыми.

Помимо этих уравнений для описания движения среды мы должны добавить потоковые уравнения, определяющие соотношения для потоков тела и массы.

Третья группа уравнений – реологические, связывающие тензор напряжения и деформации.

Все эти 3 группы уравнений необходимы и достаточны для полного описания движений среды.

Мягкие ткани

Рассмотрим линейно-упругое мягкое тело. Соотношение между тензорами напряжения и деформации по определению является линейным. В общем случае среды могут быть анизотропными, т.е. их свойства в разных направлениях могут различаться. Если имеется анизотропное тело, то в общем случае связь между тензорами напряжения и деформации может быть записана в виде

где - тензор 4-го ранга.

Поскольку и пробегают значения от 1 до 3, а всего индексов 4, то всего имеется =81 коэффициент , из них 36 независимых.

Поскольку общий случай очень сложен, мы будем рассматривать изотропное тело, свойства которого одинаковы во всех направлениях. Большое количество тканей являются изотропными (например, легочная ткань). Анизотропной тканью является костная ткань, у которой есть выделенное направление – ось кости. У стенки сосуда есть 3 выделенных направления - циркумференциальное, тангенциальное и аксиальное.

Для изотропного тела достаточно двух упругих константы. Изотропное упругое тело называется телом Гука и описывается уравнением

где - коэффициент объемного сжатия, - коэффициент сдвига.

Иногда используются другие коэффициенты – коэффициенты Ламе, коэффициенты Пуассона и др.

- это нормальные напряжения, которые зависят только от величины сжатия среды

- сдвиговые компоненты тензора напряжения. Они зависят только от модуля сдвига.

Для тела Гука величина напряжения не зависит от скорости деформации.

Если тело обладает вязкостью, то величина механического напряжения, возникающего в среде, будет зависеть от того, с какой скоростью происходит деформация. В этом случае мы должны добавить еще константы, которые описывают уже вязкостные свойства среды. Если тело по-прежнему изотропно, то для того, чтобы описать это тело, обладающее свойством вязкости, тоже нужны 2 константы:

где - сопротивление сжатию;

- сопротивление сдвигу.

Такая изотропная вязкая среда называется телом Фойгта.

Таким образом, используя тензорные реологические соотношения, мы можем записать свойства самых разных сред в таком виде, который позволяет решать самые разные задачи.

В случаях, когда тело ведет себя не линейно, запись соотношений между тензорами напряжения и деформации может быть сложна. Поэтому для таких случаев удобней записывать механические свойства в виде соотношения между энергией деформации и тензором деформации. Энергия деформации есть скалярная величина, которая записывается через компоненты тензора деформации следующим образом (для тела Гука):

Поэтому для тензора напряжения имеем:

Во многих задачах на исследование деформации и напряжения вместо явной записи через тензоры напряжения и деформации используют именно запись через энергию деформации.

Характеристики

Список файлов лекций