Экзаменационные задачи с решениями по ДМС (1048830), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Откуда:

Подстановка этих выражений в уравнение Лагранжа дает следующую систему:

Произведем небольшие преобразования:

И, в соответствии с ними, система уравнений примет вид:

Принимаем, что частное решение системы имеет вид:

Подставляя это решение в исходное уравнение, получим:

откуда для получения нетривиального решения имеем:

,

или, после раскрытия определителя:

.

Решение последнего уравнения позволяет определить собственные частоты системы:

В заключение отметим, что выражение для определения кинетической энергии системы получилось в канонической форме записи, поэтому структура дифференциального уравнения соответствует структуре, получаемой при прямом способе составления уравнений движения.

Задача

Три маховика с моментами инерции J, 2J и 3J соединены валами, каждый из которых имеет крутильную жесткость c. Определить собственные формы системы.

Решение

Для составления системы дифференциальных уравнений воспользуемся, как и прежде, основным способом. Примем в качестве обобщенных координат углы поворота маховиков . В этом случае кинетическая и потенциальная энергии выражаются достаточно просто:

После всех преобразований получим следующую систему уравнений:

Принимая частное решение системы в виде , преобразуем систему:

Для получения нетривиального решения необходимо, чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, был равен нулю:

,

откуда несложно получить частотное уравнение:

Решение этого уравнения имеет три корня:

Для определения собственных форм системы примем за единицы измерения амплитуды первой обобщенной координаты.

При или .

При .

При .

Ортогональность собственных форм колебаний

Пусть двум собственным частотам колебаний и соответствуют собственные формы и , где . Можно доказать, что при эти формы связаны соотношением ортогональности:

или .

В случае выбора обобщенных координат таким образом, что кинетическая энергия системы имеет каноническую форму записи и при , первое выражение ортогональности несколько упрощается:

.

Если каноническую форму записи имеет потенциальная энергия, то при и .

Так, например, для системы, имеющей три степени свободы, для первой и третьей форм собственных колебаний, то есть для и , свойство ортогональности запишется следующим образом:

Теперь пусть некоторая механическая система имеет четыре степени свободы и выражение, определяющее ее кинетическую энергию, имеет каноническую форму записи. Запишем свойство ортогональности для первой и третьей собственных форм:

Для первой и четвертой форм собственных колебаний:

Аналогичные зависимости можно составить и для других попарных сочетаний собственных форм.

Задача.

П ри решении задачи используем зависимости из аэродинамики:

и ,

где и – постоянные аэродинамические коэффициенты;

– плотность потока.

Для составления дифференциальных уравнений определим реакции в опорах пластинки:

В левой опоре: . В правой опоре: .

Считая колебания системы малыми, запишем уравнения равновесного состояния:

Раскрывая значения сил и пренебрегая величинами второго порядка малости ( в выражении силы X), получим:

где

Примем частное решение полученной системы в хорошо известном виде: и . Подстановка этого частного решения позволяет получить систему алгебраических уравнений:

или

,

откуда:

.

Решение этого биквадратного уравнения находится несложно:

.

Анализ этого уравнения показывает, что, если разность меньше нуля, то один из корней, соответствующий двум знакам «плюс», обязательно будет положительным и вещественным. Это, в соответствии с критерием Ляпунова, говорит о неустойчивости системы и апериодическом законе ее движения. Такая потеря устойчивого равновесия называется дивергенцией:

Если разность положительна и удовлетворяет неравенству , то корни характеристического уравнения будут комплексными:

Как видим, в этом случае два корня обязательно будут иметь положительную вещественную часть, и, следовательно, движение системы будет, в соответствии с критерием Ляпунова, неустойчивым. Но так как корни характеристического уравнения комплексные, то характер этого движения будет иметь вид расходящихся колебаний:

Такое движение системы называется флаттером.

В случае корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми и движение системы будет иметь характер устойчивых колебаний.

Раскрыв значения коэффициентов жесткости системы, можно определить значения скоростей начала дивергенции и флаттера:

Задача 1.

А втомобиль движется по дороге, имеющей периодические неровности. Считая, что профиль дороги описывается уравнением , определить критические скорости движения машины.

Решение

В решении задачи будем использовать уравнение Лагранжа II-го рода. Составим сначала уравнение движения автомобиля. В качестве обобщенных координат примем перемещение центра масс y и угол поворота корпуса автомобиля относительно центра масс .

В этом случае кинетическая энергия автомобиля:

а потенциальная энергия определяется только деформацией рессор:

где и – подъемы переднего и заднего колес при движении автомобиля по профилю дороги.

Учитывая, что путь, пройденный центром масс машины , определим вертикальную координату переднего колеса:

и заднего колеса:

.

Таким образом, после соответствующего дифференцирования выражений кинетической и потенциальной энергий, получим:

Решая эту систему дифференциальных уравнений без правых частей, определим собственные частоты колебаний автомобиля и . Как это делается, вам уже хорошо известно, поэтому можете сделать это самостоятельно, так как сейчас мы не будем на этом останавливаться.

Сейчас же несколько преобразуем правые части уравнений:

где ,

.

После аналогичных преобразований правой части второго уравнения получим:

Поскольку система подрессоривания автомобиля линейна, то при ее исследовании применим принцип суперпозиции. Это позволяет получить решения при синусоидальном и косинусоидальном воздействиях независимо друг от друга. В результате получим критические скорости движения автомобиля:

Задача 2.

Д ля гашения колебаний бака водонапорной башни используют маятниковый гаситель колебаний. Определить параметры гасителя и .

Решение

Составим систему уравнений движения, используя уравнение Лагранжа II-го рода. В качестве обобщенных координат удобнее всего принять горизонтальное отклонение массы от положения равновесия x и угол отклонения маятника .

Д ля определения полной кинетической энергии системы определим все скорости, которыми обладают массы:

– только горизонтальная ;

– горизонтальная и вертикальная .

Координаты маятника легко определяются:

Считая колебания системы малыми, можно принять и , как величина второго порядка малости.

Таким образом, кинетическая энергия системы:

а потенциальная энергия:

После определения соответствующих производных получим:

или

откуда, в соответствии с условием возникновения антирезонанса:

или

Задача 3.

Для гашения крутильных колебаний используют гаситель колебаний Прингла. Определить параметры гасителя m и , при которых амплитуда угловых колебаний диска равна нулю, если жесткость вала, на котором находится диск, равна c.

Решение

Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода. Примем за обобщенные координаты отклонение груза x от положения равновесия и угол отклонения диска от положения равновесия . В этом случае кинетическая энергия:

,

а потенциальная энергия:

После нахождения соответствующих производных получим:

или

или .

Задача 1.

Р ассчитать свободные колебания стержня, сжатого приложенными к концам силами, при мгновенном снятии этих сил в момент времени t=0. При этом считать смещение поперечного сечения стержня при равным нулю.

Решение

Так как после снятия сил P стержень имеет свободные концы, то общее решение можно записать в виде:

Для определения коэффициентов и необходимо знать функции , . Для заданных условий можно записать:

и ,

где – относительная деформация стержня.

Таким образом, можно записать , а коэффициенты :

Первый интеграл равен нулю, а второй – . Поэтому:

Задача 2.

С тержень, жестко закрепленный по обоим концам, нагружен в середине пролета сосредоточенной силой P. Исследовать колебания, возникающие в стержне при внезапном снятии силы P.

Решение

Построим эпюру деформаций стержня при заданном приложении силы P:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)