Экзаменационные задачи с решениями по ДМС (1048830), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Принимая в начале четвертого этапа время t=0, получим:

В результате:

Четвертый этап закончится, когда система остановится. Время остановки системы на четвертом этапе легко определяется:

При этом отклонение системы от положения равновесия составит:

.

Отсюда делаем вывод, что за один период амплитуда колебаний рассматриваемой системы уменьшится на величину

.

Очевидно, легко можно найти и период колебаний такой системы. Для этого просуммируем все времена прохождения системы каждого из четырех этапов:

.

В заключение решения задачи изобразим движение системы на фазовой плоскости. Для этого у нас все есть:

Н ачало I-го этапа движения: .

Начало II-го этапа движения: .

Начало III-го этапа движения: .

Начало IV-го этапа движения: .

Конец IV-го этапа движения: .

Задача

Д ля заданной системы найти методом припасовывания связь между амплитудой колебаний и частотой свободной колебаний.

Решение

Отклоним систему в положительную сторону на величину и отпустим ее без начальной скорости, то есть в момент времени .

Тогда уравнение движения системы по первому участку жесткостной характеристики имеет вид:

,

и его общим решением служит следующее выражение:

,

где , а постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяются из начальных условий:

Таким образом:

Время прохождения первого участка жесткостной характеристики найдем из условия, что при , то есть:

, откуда

,

при этом скорость системы:

.

На втором участке жесткостной характеристики движение системы описывается уравнением , которое имеет решение .

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий движения системы на этом участке:

Таким образом:

.

Теперь легко можно определить время попадания системы в положение равновесия ( ).

.

Поскольку характеристика восстанавливающей силы симметрична, то на этом процесс поэтапного интегрирования можно прекратить и определить частоту свободных колебаний:

Если построить скелетную кривую, то она будет иметь вид:

Задача 1.

Р ассмотрим тонкую пластинку в потоке газа или жидкости, скорость которого V направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия. В этом случае аэродинамические силы равны нулю, а трением потока о пластинку можно пренебречь. Определить критическую скорость потока, при которой произойдет потеря устойчивого положения равновесия пластинки.

Решение

При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения φ от положения равновесия. Используя зависимость из аэродинамики, равнодействующую давления можно разложить на две составляющие:

,

где k_x и k_y – постоянные аэродинамические коэффициенты;

ρ – плотность потока.

Момент сил, возникающий при отклонении пластинки относительно шарнирной опоры, равен:

,

при этом отклонения пластинки от положения равновесия будем считать малыми, то есть .

Пусть пластинка имеет момент инерции J относительно шарнирной опоры. Тогда можно определить дифференциальное уравнение малых колебаний такой системы:

.

Третьим слагаемым можно пренебречь, так как эта величина имеет второй порядок малости. Таким образом, дифференциальное уравнение упрощается:

.

Используя теорему Лагранжа–Дирихле, определим условие устойчивого состояния системы:

,

откуда определяется значение скорости потока:

.

Явление потери устойчивости системой положения равновесного состояния называется в механических системах дивергенцией.

До сих пор мы рассматривали механические системы с силами трения, способствующими демпфированию колебаний. Причем эти силы мы всегда принимали зависящими от скорости. Однако, в некоторых системах могут возникать силы, так же зависящие от скорости, но совпадающие с ней по направлению. Такие силы, очевидно, будут оказывать дестабилизирующее влияние и способствовать раскачке колебаний, а не их демпфированию. Силы такого типа называют силами «отрицательного трения» .

В общем виде движение такой системы будет иметь вид:

.

Анализ коэффициентов такого уравнения показывает, что движение системы в этом случае будет неустойчивым, так как в соответствии с критерием Ляпунова . Это также хорошо видно и из непосредственного решения дифференциального уравнения, которое будет иметь вид:

,

где .

Из приведенной зависимости видно, что при сколь угодно малых начальных условий движения системы и возникают колебания, амплитуда которых возрастает по показательному закону.

Примером механической системы, в которой возникает «отрицательное трение», может служить следующая система, состоящая из тела 1, упругого элемента 2 и барабана 3, которым прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном и телом действует сила «сухого» трения R, характеристика которой имеет вид:

В отличие от ранее принятой, эта характеристика «сухого» трения более близко отражает реальные процессы, происходящие при взаимодействии двух трущихся друг о друга тел. Она имеет два участка: падающий и возрастающий .

Пусть скорость скольжения при равновесном состоянии равна V₀, и ей соответствует сила R₀. В этом случае равновесие будет выражаться уравнением:

,

откуда:

.

Теперь рассмотрим движение тела около положения равновесия. В этом случае скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и определяется выражением:

,

которая в соответствии с приведенной графической зависимостью определяет силу трения R. При малых колебаниях скорость мала по сравнению с , что позволяет считать зависимость линейной:

, где .

В этом случае дифференциальное уравнение движения системы можно записать в следующем виде:

, или

Из полученного уравнения видно, что при и в соответствии с критерием Ляпунова колебания будут затухающими. Если же , то и амплитуда колебаний будет со временем увеличиваться.

Таким образом, если , то состояние равновесия устойчиво, если же , то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний. Следует отметить, что с увеличением амплитуды колебаний линеаризованное представление силы трения будет все менее точным, и для анализа необходимо будет учитывать действительную характеристику .

Задача 1

Стальной цилиндр радиусом r и массой M может кататься без проскальзывания по горизонтальной плоскости. К оси цилиндра подвешен маятник массой m и длиной l. Считая стержень невесомым, составить систему дифференциальных уравнений свободных колебаний и определить собственные частоты.

Решение.

Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся основным способом, а именно уравнением Лагранжа II-го рода. За обобщенные координаты примем угол поворота цилиндра и угол отклонения маятника от положения равновесия .

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения цилиндра T₁ и колебаний маятника T₂. Кинетическая энергия цилиндра определяется как:

С корость массы маятника m складывается из скорости качения и скорости перемещения оси цилиндра . В соответствии с рисунком, абсолютная скорость маятника определяется на основании теоремы косинусов:

Таким образом, кинетическая энергия маятника:

Изменение потенциальной энергии системы происходит только за счет изменения положения маятника:

Таким образом, имеем:

,

и

После подстановки полученных зависимостей в уравнение Лагранжа II-го рода имеем:

Так как мы рассматриваем малые колебания системы, то в первом приближении можно считать, что и . Тогда:

Поскольку система совершает малые колебания, то, очевидно, произведение представляет собой величину третьего порядка малости, и ею можно пренебречь. Поэтому окончательно запишем:

Для определения собственных частот колебаний системы положим

и ,

и подставим эти частные решения в исходные дифференциальные уравнения:

Для получения нетривиального решения система должна иметь определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равный нулю:

,

или, после раскрытия определителя:

Таким образом, получаем:

Задача 2.

Л юбой автомобиль можно представить в виде некоторой балки, обладающей массой m и моментом инерции J относительно центра масс, соединенной с колесами рессорами жесткости и . Пренебрегая упругостью шин, составить дифференциальное уравнение движения системы и определить собственные частоты.

Решение

Опять для решения воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода. В качестве обобщенных координат принимаем вертикальное перемещение центра масс y и угол поворота корпуса . В этом случае сравнительно легко находятся выражения кинетической и потенциальной энергий системы:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)