Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Среднее 1 а! по времени случайной последовательности х(лТ) = 1пп ~ х(пТ). Для л- 2Л'т1 л=-!ч рассматриваемых ниже стационарных эргоднческих процессов статистические характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборок н по времени, совпадают. Ниже символом Е[ ) обозначается усреднение как по ансамблю, так и по времени. Если известна реализация случайной последовательности, состоящая нз Ч отсчетов, то оценкой математического ожидания (1.90) является выборочное среднее .ч — ! х= —,,'У, х (и Т) о=о (1.91) 1.6.3. Дисперсия н выборочная дисперсия Для непрерывной случайной величины х дисперсия пз определяется как [1.221 Пример 1.27.
Пусть у(пТ) жх!(лТ)хз(пТ), причем х!(лТ) и хз(пТ) — правильные з-разрядные дроби, а у(лТ) †правильн г-разрядная дробь, г(2з, т. е. у(пТ) вычисляется с округлением до г разрядов. Тогда при непериодиче. ских последовательностях х!(лТ) и хз(пТ) можно считать, что у(пТ) = =х!(пТ)хз(пТ) +А(лТ), где А(пТ) - случайная последовательность — погрешность (шум) округленйя. аз = чаг (х) = Е [(х †' р)з) = ~ (х †)1)з ~„ Их.
(1.92) Величина а называется стандартным отклонением. Пример 1.29. Для условия примера 1.27 согласно (1.92) оз=2 з'/12. Если Е[х(иТ) "1=0, то пз = чаг [х (и Т)) = Р,, (1.93) т, е. если математическое ожидание отсчета случайной последовательности равно нулю, то дисперсия втой последовательности равна ее средней мощности Р,р.
Для реализации случайной последовательности х(пТ), состоящей из 1у отсчетов, оценкой дисперсии является выборочная дисперсия М вЂ” 1 ое = — У, (х (и Т) — х)а л=о (1.94) Величина о называется средним квадратическим отклонением и является оцен- кой величины а. 1.6.4. Автокорреляционная функция стационарной случайной последовательности Автокорреляционная функция определяется как Я (т) = Е [(х (и Т) — ф (х ((и + т) Т) — )1) ) .
Оценка Я(т) имеет вид (1.93) Л вЂ” т — 1 г(т) = — ~~', (х(и Т) — х) (х((и+т) Т) — х). (1.96) и=О Автокорреляционная функция служит мерой корреляции между отсчетами случайной последовательности, Если отсчеты представляют собой независимые случайные величины, то Я(т) =0 прн т)0. 1.6.6. Спектральная плотность мощности стационарной случайной последовательности Спектральная плотность мощности 5(в) есть средняя мощность последовательности х(иТ), приходящаяся на достаточно узкую полосу частот [а — Ьв, и+Ла1.
Функция 5(О1) связана парой преобразований Фурье с автокорреляцнонной функцией я(т) [1.23). Для случайной последовательности х(иТ), и=0, 1, 2, ..., указанная пара преобразований Фурье имеет вид: 5 (ю) = 4 Т ~ — + ~~~", Я (т) соз т а Т)' ГЯ (О) 2 т=1 я(т )т (т) = ) 5(О1) созт1О Тдю. 46 (1.97) Пример 1.80. Пусть х(О) =1,400; х(Т) =1,600; х(2Т) =1,700; х(ЗТ) 1,3001 А1=4.
Тогда из (1.91) и (1.94) 2=1,600; а'=О,ОЗЗ. Значения 8(го) могут быть непосредственно измерены по реализации случайной последовательности (см. равд. 8) или рассчитаны с помощью (1.97) по известной автокорреляционной функции. 2. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ 2.1. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЪ|Е ФИЛЬТРЫ. УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ 2.1.1. Линейные аналоговые фильтры Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырехполюсник, который реализует линейное преобразование входного аналогового сигнала и,(!). Математически связь между выходным и,(!) и входным и!(!) аналоговыми сигналами фильтра выражается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением а!'и (!) 'ч ! а!и (г) и,(!)= — У а, — ', +,'~~ Ь! — ',' аг! !=о а!~ где а; и Ь! — коэффициенты, представляющие собой константы или функции, зависящие только от времени !.
Вопросы анализа и синтеза аналоговых фильтров вссьма подробно рассмотрены в [2.1]. Главный недостаток этих фильтров заключается в том, что их параметры изменяются при изменении условий работы (температуры, давления и т. д.). Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т. е.
к низкой точности обработки сигналов. 2.1.2. Линейные дискретные фильтры Математически работа линейного дискретного (импульсного) фильтра описывается разностным уравнением (уравнением в конечных разностях) [1.101 М вЂ” ! !ч — ! у (и Т) = — ~~, аиду((п — 1) Т)+ ~ Ь! х((п — 1) Т),, (2.1) 7=! 1=0 где х(пТ), у(пТ) — и-е отсчеты входного (х(пТ)) и выходного (у(пТ)) сигналов фильтра соответственно; аь Ь! — константы или отсчеты решетчатых функций, зависящих лишь от и. Сигналы (х(пТ)) и (у(пТ)) могут быть как вещественными, так и комплексными. Уравнение (2.1) можно рассматривать как алгоритм вычисления у(пТ).
Как правило, решение уравнения (2.1), т. с. решетчатую функцию (у(пТ)), требуется определить прн и О. Если известны коэффициенты а; и Ьь отсчеты входного сигнала (х(пТ)) при и'- — Л'+1 и начальные значения у( — Т), У( — 2Т), ..., у(( — Ы+1) Т), то, используя (2.1), можно рассчитать отсчеты у(пТ) для любого пр:О. Линейные дискретные фильтры делятся на два класса: фильтры с постоянными параметрами (ЛПП системы [1.8), линейные инвариантные во времени импульсные фильтры) и фильтры с переменными параметрами. 46 Линейные дискретные фильтры с постоянными параметрами описываются уравнениями типа (2.1), в которых все а; и Ь| — константы, называемые коэффициентами фильтра.
Пример 2.1. Линейный дискретный фильтр с постоянными коэффициентами описывается разностным уравнением у (а Т) = 0,8 у ((а — 1) Т) + х (а Т), (1 при а=О; причем х(аТ) = ~ у ( — Т)= 0. (О при л) О; Тогда: у (О) = О, 8 у ( — Т) + х (0) = 1; у (Т) = 0,8 у (О) + х (Т) = О, 8; у (2 Т) = 0,8 у (Т) + х (2 Т) = О, 64 и т. д. Входной и выходной сигналы фильтра являются вещественными. Фильтр, у которого хотя бы один коэффициент представляет собой комплексную величину, называют комплексным. Пример 2.2.
Линейный комплексный дискретный фильтр с гостоянными коэффици нтами описывается разностным уравнением у (а Т) = (0,3+ 1 О, 2) у ((а — 1) Т) + х (а Т), (1 при а= О; причем х(лТ) = 1 у( — Т)=0. (О при а> 0; Тогда: у (0) = (О, 3+ 1 0,2) у ( — Т) + х (0) = 1; у (Т) = (0,3 + 1 0,2) у (0) + х (Т) = 0,3+ 1 О, 2; у (2 Т) = (0,3+10,2) У (Т)+х (2 Т) = 0,05 — 10,12 и т. д, Входной сигнал фильтра является вещественным, а выходной — комплексным. Линейные дискретные фильтры с переменными параметрами описываются уравнениями типа (2.1), если хотя бы один коэффициент изменяется при изменении а, т.
е. представляет собой отсчеты последовательности, отличной от константы. Практически всегда эта последовательность представляет собой периодическую функцию и. Пример 2.3. Линейный дискретный фильтр с геременным коэффициентом описывается разностным уравнением у (л Т) = е '""~ х (а Т), причем Т=1; х(лТ) =1 при л- О. Тогда: у (0)=х(0)=-1; у(1) = — х(1) = — 1; у (2) = х (2) = 1 ° н т. д. Выходной сигнал фильтра вещественен, поскольку вещественен входной сигнал и 1 прн а=21; е1л~ — 1 при л=2з+1, Й=О, 1,2, 47 Дискретные н цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в (2.1) все коэффициенты а;=О, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным.
Из (2.1) следует алгоритм работы такого фильтра Л« — 1 у (и Т) = )'; Ь( х Ял — () Т). (2.2) (=о Если в (2.1) хотя бы один нз коэффициентов агФвО, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется рекурсивным. Очевидно, что НФ представляет собой устройство без обратной связи, а РФ вЂ” устройство с обратной связью. 2.1.3. Переход от разностного уравнения к структурной схеме фильтра Из рассмотрения (2.1) видно, что для реализации фильтров необходимы устройства, выполняющие три операции: задержку (запоминание) отсчетов сигналов, сложение и умножение — н соединяющие эти устройства линии передачи сигналов.
На рис. 2.1,а показано условное обозначение линии передачи сигналов, хе (п7? х (пт/ у(пП*х (пт/ч«(пт/ Х «Ю7 ««гт~ Х(пТ) ~п х((п-пт)П а Щ хе(пт/ х,(пт) у(птах,(пт)~х (пт е/ Х(пТ/ ф у(пт)=ах(пт) у (и?/=х (пП х( т) хе(пТ) х,(пТ) у(пт/=х (пТ)х (пт Х е/ ф Уе(пт/ х(пт/ Рис. 2.1 иа рис. 2.1,б — устройства, задерживающего каждый отсчет сигнала на и интервалов дискретизации Т (и последовательно соединенных регистров), на рис. 2.1,в и г — два варианта обозначения сумматора и множительного устройства соответственно, на рис.
2.1,д — обозначение узла, отмечающего соединение трех и более линий передачи сигналов. Следуя разностному уравнению, разрещенному относительно у(пТ), и используя условные обозначения (см. рис. 2.1), можно изобразить структурную схему любого фильтра. Пример 2.4. Изобразим структурную схему фильтра, рассмотренного в примере 2.1. В эту схему входят: один элемент задержки (регистр) для запоминания отсчета у((п — 1)Т), множительное устройство для вычисления произведения О 8у((п — 1)Т) и сумматор для вычисления суммы О 8у((п — 1)Т)+х(пТ).Источник входного сигнала и выход множительного устройства подключаются ко входам сумматора, с выхода которого снимаются отсчеты выходного сигнала у(пТ) (рнс. 2.2).
Выход сумматора подключается ко входу элемента задержки, иа выходе которого появляются задержанные на интервал дискретззчции от. счеты у((п — 1)Т). Выход элемента задержки подключается ко входу множи- 48 тельнзго устройства, на второй вход которого подается постоянный множитель — коэффициент 0,8. Пример 2.5. Изобразим структурную схему комплексного фильтра, рассмотренного в примере 2.2. Рассуждая так же, как при рассмотрении примера 2.4, я учитывая, что комплексное уравнение фильтра эквивалентно следующей системе вещественных уравнений: ( уд (а Т) = 0,3 уд ((л — 1) Т) — 0,2 уз ((л — 1) Т) + х (и Т); ( у, (и Т) = 3,2 уд ((а — 1) Т) + 0,3 у, ((дд — 1) Т); (У(лТ) =Уд(лТ)+1уг(пТ); Уд(пТ), уд(ддТ) — вещественные последовательности) получаем схему фильтра (рис.
2.3), в которой каждый элемент реализует операции над вещественными числами. х пт) Рис. 2.3 Рис. 2.2 2.1.4. Цифровые фильтры Если алгоритм (2.1) реализуется с помощью схемы, выполненной на аналоговых элементах (например, линиях задержки, ключах и операционных усилителях [2.1]), то дискретный фильтр будет иметь тот же недостаток, что и аналоговый,— изменение параметров устройства вызывает неконтролируемые изменения (погрешности) выходного сигнала. Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой цифровое устройство, реализующее алгоритм (2.1). При этом входной и выходной сигналы являются цифровыми, так что в устройстве циркулируют только двоичные коды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
