Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник) (1044122), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таблица 1.8 о=в,+в,+в,+в, 2л 11 з вэ в, о ~ о — тг/8 1 ~ и/4 2 и/2 1т/2 и/4 0 ' и/2 — и/4 4 и ' Π—.т/8 5 бн/4 Л 0 ~ — и/4 и!8 Л и/2 ~ и/4 — и/8 3л/2 л/8 7и/4 и/2 — и/4 1 39 и — 1 В конце и-й итерации коэффициент б= П (1 1-2-м)'/'=1,6.
1=0 Из (1.79) следует, что полный КОРДИК требует 2и операции сложения с одновременным сдвигом. Идея оптимального КОРДИКа заключается в том, чтобы выбрать такие целые числа а н р, удовлетворяющие равенству О=агс(д(р/а) или р/а=188 с заданной степенью точности, чтобы минимизировать число операций сложения при вычислениях по формулам (1.79). Другими словами, двоичное представление таких а и р должно содержать минимальное число единиц.
Использование оптимального КОРДИКа для вычисления ДПФ становится ясным из примера 1.25. 1.8.4. Специальные виды ДПФ В таких важных приложениях цифровой обработки сигналов, как реализация трансмультиплексоров (см. равд. 9), нашли применение нечетно-временное нечетно-частотное ДПФ (Н'ДПФ) [1.20] и косинусное преобразования (1,211, позволяющие существенно сократить число требуемых арифметических операций по сравнению со случаем использования обычного ДПФ. Вечетно-временнбе нечетно-частотное ДПФ.
Этот вид преобразования используется для эффективного вычисления ДПФ Л'-точечных (Л! кратно 4) симметричных действительных последовательностей в случае, когда во временной области отсчеты берутся в нечетные, кратные Т)2 моменты времени х((л+'/2) Т), и=О,..., Ь вЂ” 1, а в частотной области — в нечетные, кратные 1/2ЛтТ, точки частотной оси: Х(й+1/2), 1=0,..., У вЂ” 1. Пара преобразований Н'ДПФ имеет вид: , 2Л(2Ь+1) (2л+! ) х(»~ — ) =2 *(, »- — )т)1 .
2п(22+1) (2л+1) *((»- —,) т) = — „~ х(»~- — ) ° (1.82) (1.83) Преобразование (1.82) называется прямым, а (!.83) — обратным (Н'ОДПФ). В случае действительной входной последовательности с нечетной симметрией 1 1 х((Л! — л — — )Т) = — х((л+ — )Т) справедливо соотношение 2 2 Х М вЂ” Й вЂ” — = — Х л+— (1,84) причем Х(й+1/2), Ь=О,...,У вЂ” 1, является действительной последовательностью. 40 Как видно из табл. 1.8, повороты осуществляются в четыре ступени, На первых двух ступенях повороты являются тривиальными и не изменяют моду- ля векторов.
На третьей и четвертой ступенях все векторы поворачиваются на один и тот же угол с точностью до знака с тем, чтобы модуль всех векторов умножался на один и тот же коэффициент й. В конце последней ступени все векторы оказались повернутыми относительно искомого положения на один и тот же дополнительный угол, равный и/8. Так как дополнительный фазовый сдвиг не изменяет формы ДПФ, то его можно не устранять. Повороты на и, )т/2 и и/4 осуществляются следующим образом: Хт= — Х; х1 — —,у, и- ' ' и/2- ( ут= — у; (у,=х; !Хт=Х вЂ” У, и/4-».
) (у =у+х Поворот на и/8 с точностью до 16-го разряда обеспечивается оптимальным от- ношением а/р= 128/309, которому соответствует ( (и=х+х 2 — 2; ~п — у+у 2 — 2; х1= ((х — (х'2 ' — х'2 з) 2 1-~-у 2 8 уг — ((и („.2 — э у.2 — з) 2 — 1 ! х,2 — 2 В результате для вычисления 8-точечного ДПФ потребовалось 128 операций сло- жения и ни одной операции умножения. Р е — Ь+ — ~, 2я( $ 4) каждый элемент вектора У умножается на множители е /2=О, ..., Ле/4 — 1, в результате чего получается вектор %. Действительная и мнимая части элементов полученного вектора !!/ и есть искомые коэффициенты Н ДПФ: Ул= — Х 2/2+ — + ! Х 2/2+ — +— (1.85) Недостающие отсчеты определяются из соотношения (1.84).
Пример 1.26. Вычислить 8-точечное Н'ДПФ действительной последовательности с нечетной симметрией х(пТ) = [1, 1, 1, 1, — 1, — 1, — 1, — 11: 1) Х=[1+1, 1+ !]; 2! 21=[!1~1! ее,'е/2е е ]! 3) 2-точечное ДПФ вектора 0 равна: 1 —" 2 = [!1 .)-'!/2 + 12, 11 — '2/2 -)- 2 л и! / ~~ я 4) % = (1+ [//2) соя — + я(п — +! [ соя —. — я1п — (1+ [//2) ), 16 11, 16 16 2т . 2т / 2т й Д/2 — 1) соя — + з1п — + 1 [ соя — + (1 — [/2) з1п — ) 16 16 [2 1б 1Е) ' Согласно (1.85): / 1 т~ и / 1 Х ~ — ) = 2 (1 + [/2) соя — + 2 я!и — ; Х ~ 4 + — ) = 2 соя — .— 2,2) 16 16 ~, 2 ) 16 — 2 (1+ [//2) я!и— 16 1 Х 2+ — ) —. 2 ( [/2 — 1) соя +2 я!и —; 2 ) 16 16 1 — 22 Х [ 6 + — ) = 2 соя — + 2 (1 — [//2) я1п —, 2 ) 16 16 Пользуясь (1.84) е получаем: Х (1 + 1/2) = — Х (6+ 1/2); Х (3 + 1/2) = — Х (4+ 1/2); Х (5-[ 1/2) = — Х (2 + 1/2); Х (7 + 1/2) = — Х (1/2) .
41 Процедура вычисления Н2ДПФ таких последовательностей задается следующим образом [1.20): 1) формируется комплексный вектор х, содержащий !т/4 элементов: х = [х ((и+ 1/2) Т) — ! х ((Ж/2+ 2 и+ 1/2) Т)), л = О...,, й//4 — 1; — ! — [22+ — ~ З22 / ! а, 2) каждый элемент вектора х умножается на множитель е и=О, ..., /У/4 — 1, в результате чего получается вектор 11; 3) вычисляется стандартное Л//4-точечное ДПФ вектора ц, результат — векто У' то Р(й)=Не(Н(й)) и Р (Л/ — й) = 1т (Н (й)), й = О...„, Ж/2, а искомые коэффициенты ДКП Х (й) = 2 Р (й) С (й)/Л, й = О, ..., Л/ — 1. При цифровом преобразовании первичных (12-канальных) групп с (частотным разделением каналов) возникает необходимость вычисления 14-точечных ДКП.
В этом случае более эффективным является алгоритм, предложенный в [1.18, 1.191. Пусть требуется вычислить х (п Т) = ~~'~ Х (й) соз й, п =!, ...,12 . / л (2 п+ 1), л=о ~~28 (1.88) Так как л(2 и+1) й х((14 — и — !) Т) = ~ ( — 1) Х (й) соз А=э 28 то можно определить две последовательности б. л (2 и+1) 2 й а„= ~ Х(2й) соз а=о 28 Ьи — — „~; Х (2 й+ !) соз л (2п+1) (2й+1) , п=1, ...,6> а=о 28 такие, что а„+Ь„=х(пТ) и аь — Ь„=х((14 — п — 1)Т).
42 Дискретное косинусное преобразование (ДКП). Этот внд преобразования последовательности х(пТ), п=О, , Л/ — 1, определяется как Х (й) =, ~, х (и Т) соз [л (2 и+1) й/(2УЦ, (1.86) 2 С (й) ~ и=о [1/ ~/2 при й=О; [! при й=1, ..., Л' — 1. Обратное ДКП (ОДКП) имеет вид !ч — 1 х(пТ) = ~' Х (й)соз [л(2п+1) й/(2ЖЦ, и= О...
Л/ — 1. (1.8У) ~о Дискретное косинусное преобразование можно вычислять с использованием У-точечного ДПФ [1.21]. Пусть Л вЂ” ! Р (й) = У х (и Т) соз [л (2 п+ 1) й/(2 УЦ, й = О... Н вЂ” 1, и=о и последовательность у(пТ), п=О...,Л' — 1, такая, что у (! Т) = х (2 ! Т); у ((1+ Л//'2) Т) = х ((2 !+ 1) Т), ! = О, ...', Ж/2 — 1. Если вычислить Л/-точечное,ДПФ следующим образом: — У вЂ” ! .
2~~й Н (й) =е ~ у (и Т) $'~Л,, и=О Пусть Со=сов(11/в/28), /1=1, ..., 13. Тогда справедливы соотношения: ав — — Х(0)— — Х(4) +Х(В) — Х(12); (а1 +ав)/2 Р а 6 (а,+а )/2 Х (4) — Х (8) Х (12) Х (О) С12 С4 Св Х (О) + С4 — Св С12 х (о) — с, с с Х (2) Х (6) — Х (10) — — С10 С, С, С2 Св — Сто (а,— ав)/2 — (ао — а4)/2 — По Выражения, отмеченные «"», соответствуют 3-точечной круговой свертке х х, 20 г1 = Х,Х,Х, У, Х2 Х» Хо Х1 Ув которая может быть вычислена с использованием полиномиальных преобразований (см.
1.47) следующим образом 11.12]: (хо+х +хо) то = 3 (УО ?У1+У2) 1 (Х2+Х1 2 хо) т1 = 3 (Уо У) (хо+ х2 — 2 х1) т,= 3 (У2 — У) * (1.89) (х,+х1 — 2 х,) тв = 3 (У1 Уо) зо т0+ т2 — т1; х1 — то + т1 — то 1 22 шо т2 + тв. Для вычисления Ь„используются тождества: С1 — — С, (Св+ Св ) ' Со = Ст (С2 — С12) ' С,=С1(С,-'. С„); С„=С,(С,— С,,); Св = Со (С2 —, С12); С12 — С- (С.— св ) Пусть Х'(А) =С1Х(й) =Х(й)(~г~2, /4=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда Ьв — Х'(7) 1- + (Х'(1) — Х' (13) ) — (Х'(3) + Х'(11) ) — (Х'(5) — Х'(9) ); (Ь +Ь )/2 с4 с св х (1) +х (13) 1 х (7) (Ьо — Ь4)/2 = — С12 Св — С4 " Х (3) + Х' (11) — Х'(7) Ьа Со — С4 — С„Х' (о) — Х' (9) 1 Х'(7) — С10 С2 Св (Ь,— Ь,)/2 — (Ь,+Ь )/2 Ьв — (Х' (1)+Х' (13)) Х' (3) — Х' (11) — (Х'(5)+Х (9)) с с — с Св — Сто С2 где й'е+Ь"з=йь Преобразования, отмеченные ((~~)) могут быть вычислены по алгоритму (1.89).
В общей сложности для вычисления (1.88) потребовалось 16 операций умножения и 76 — сложения. 1.6. СЛУЧАИНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1.6,1. Случайная последовательность Последовательность (х(пТ)) называется случайной (случайной решетчатой функцией, случайным временнйм рядом), если каждый отсчет х(пТ) является случайной величиной.
1.6.2. Математическое ожидание и выборочное среднее Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание 1! определяется как [1.22] )!= Е[х) = ~ х7'„Ых, (1.90) где ) †плотнос распределения х (плотность вероятности х). Пример 1.28. Для случайной последовательности А(лТ) (см. пример 127) ~0 прн А< 2 г— !а = ~ 2" при — 2 г !~~',А ~~2 [О при 2 ' '<А и 1! = Е [х) = О. Величина 1з характеризует среднее значение случайной величины х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
