Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения) (1044117), страница 24
Текст из файла (страница 24)
118Ы апг( 1п(оппайоп, зп Ргойгевэ ш Орбсз, ес(. В. )й/о11, но1. 1, )йог!)з-Но11апг), 1961, рр. 109 — 153. (Свет и информация в сб. «Прогресс в оптике»)2 непосредственно восходит к закону Хартли, ко~орый заключает в себе открытие, а именно: количество информации, передаваемой по линии телефонной связи, пропорционально произведению полосы пропускания канала связи на длительность передачи. В настоящее время представляется очевидным, что этот закон заложил основы закона Шеннона, который дополнен вероятностью появления символа. Это в конечном счете привело к мере Габора для количества ннформацин, содержащейся в световом луче. Целесообразность преобразования Хартли в оптике За исключением общих аспектов применения преобразования Хартли для вычислений, в явном виде неочевидны его роль и место среди методов аналоговой обработки.
Все же именно преобразование Фурье, а не другие типы преобразований является инструментом анализа многих явлений природы, например действия линзы в обеих !2! ее фокальных плоскостях. Объект, расположенный в передней фокальной плоскости и облучаемый когерентным источником, формирует в другой фокальной плоскости преобразование Фурье, а не преобразование Хартли. Таким образом, для любого вещественного сигнала «на входе» его изображение в фокальной плоскости обладает двойной сопряженной аксиальной симметрией (т.е. поле в любой точке является комплексно сопряженным полю по другую сторону оптической оси на таком же расстоянии).
Преобразование Хартли в общем случае не обладает такими особыми свойствами. Разумеется, линзы не формируют, строго говоря, преобразование Фурье, так как комплексные числа — изобретение человеческого разума, а не свойство физического мира. Точнее следовало бы принять допущение о том, что поля в так называемой плоскости Фурье являются вещественными.
В любом случае, когда для описания реальной ситуации используются комплексные числа, при математическом предстанлении соответствующего физического состояния мы приходим именно к преобразованию Фурье. Несмотря на то что преобразование Фурье является удачным средством описания операций, реайнзуемых линзами, тем не менее некоторые свойства этого преобразования, являются причиной ряда неудобств. Например, существенная доля информации заключена в фазе поля, однако существующие оптические датчики восприимчивы только к интенсивности поля оптического излучения, но не к его фазе. Таким образом, результаты фоторегистрации в плоскости преобразования Фурье не содержат информации о фазе, что может оказаться очень важным.
С другой стороны, непосредственная регистрация квадрата модуля преобразования Хартли обеспечила бы гораздо более ценную информацию. Когда преобразование неотрицательно, знания функции ~ Н1 и, с) ! достаточно для полного восстановления ((х, у); в других ситуациях в плоскости (и„е) имеются области, в пределах которых Н(и, е) отрицательно, и знание величины |Н(и, п) ) ' само по себе не определяет знак.
Однако неопределенность в знаке — гораздо менее серьезный недостаток, чем отсутствие ннформации о фазе, и этот изъян часто можно устранить простым способом. Так как оперирование понятием вещественного поля имеет преимущества, целесообразно поставить вопрос: каким образом можно построить оптическую систему, формирующую преобразование Хартли данного объекта? Свойства симметрии Преобразование Хартли Н(и, е) равно разности вещественной и мнимой частей преобразования Фурье Г(и, е). Пусть Г(и, с) = Г;(и, с) + гГ г(и, с) .
Тогда Н(и, с) = Г,(и, с) — Г,(и, п), 122 Рнс. 9.1. Интерфероыетр Майкельсона, я котороы осуществляется поаорот одного пучка на угол я с помощью призмы а форме тетраэдра с его последующей интерференцией с походным пучком. О-плоскость объекта, Е-линза, В - расщепнтель пучка,М-плоское зеркало а виде четвертьвопноаой ппастнньъ ! -плоскость изображения. Рнс. 9.2. Интерфероыетр с трехгранными призмами, обеспечивающий рекомбинацию компонент расщепленного лучка с поворотом относательно друг друга. где Г;(и, и) = (1/2)[Г(и, с) + Г( — и, — с)2, (Гг(и, с) = (1/2)[Г(и, е) — Г( — и, — с)1. Сначала возникает вопрос: каким образом можно сформировать Г,(и, и)? Один из методов решения заключается в расщеплении поля в плоскости преобразования Фурье на две равные компоненты, одна из которых повернута вокруг оптической оси относительно другой компоненты на угол л (в результате чего формируется Г( — и, — и), и последующем объединении этих компонент.
Соответствующая процедура может быть реализована с помощью интерферометра Майкельсона„в одном плече которого установлена призма в форме тетраэдра, а в другом — плоское зеркало на расстоянии, равном расстоянию до вершины призмы (рис. 9.!). В другом варианте в каждом плече интерферометра можно установить трехгранные призмы, ребра которых образуют с оптической осью ортогональную систему (рис. 9.2). Одна призма инвертирует поле относительно оси, параллельной ребрам, а другая -относительно перпендикулярной ей оси, чем достигается требуемый поворот на угол л, 123 Рнс. 9.3.
Интерферометр, использующий вращение пучка, имеющее место а телескопе. Призма в форме тетраэдра осуществляет этот поворот в одном плече в результате трех отражений. Результирующее совокупное изображение окажется обратным, т. е, перевернутым по отношению к изображению, получаемому с помощью системы трехгранных призм, и эта характерная черта должна приниматься во внимание при построении оптических систем. Оптическая система третьего типа, показанная на рис. 9.3, может использовать вращение пучка, имеющее место в телескопе.
Для формирования компоненты г, (и, е) могут быть использованы те же устройства с той лишь разницей, что в одном плече интерферометра должно осуществляться изменение знака на обратный. Применяемый для этого монохроматический метод заключается в получении разности хода волн в полволны с помощью установленных в каждом плече фазосдвигающих пластин с фазовым сдвигом к12, в результате чего полный сдвиг фазы равен я, а значит, имеет место изменение знака на обратный. Может использоваться покрытие отражающей поверхности оптического элемента слоем, реализующим фазовый сдвиг я12, что осуществляется только для одного плеча. Еще один способ — изменение геометрического положения одного из отражателей на четверть длины волны.
Осуществление преобразования Хартли, использующее поляризацию Вышеприведенный анализ был посвящен раздельному формированию Г, или Г, с помощью разных оптических систем. Для того чтобы одновременно получить компоненты г"„и г"ь разность которых используется для непосредственного определения преобразования Хартли, можно осуществлять облучение объекта линейно-поляризованным светом, для которого направление вектора напряженности электрического поля совпадает, с диагональю плоскости х, у.
Тогда горизонтально- и вертикально-поляризованные компоненты поля будут изменяться идентичным образом при прохождении через равноплечую систему трехгранных призм, и в результате этого, как н ранее, сформируются одинаковые компоненты Ве Тогда если в одном нз плеч установить соответствующим образом ориентированную четвертьволновую пластину, то для компонент с ортотональной поляризацией возникает разность хопа, равная половине длины волны излучения (с учетом прохождения волны в прямом и обратном направлениях). В результате в выходной плоскости, т.
е. в плоскости преобразования будет сформирована компонента г, для составляющей с одной поляризацией и г, для другой поляризации. Колебание, соответствутощее диагональному направлению в плоскости (и, е), будет представлять собой либо преобразование Хартли У„ — гь либо (в зависимости от условий) г', + гн которое представляет то же преобразование, повернутое на пол-оборота в плоскости и,щ Преобразование может быть отображено с помощью соответствующим образом ориентированного анализатора.
Изначально представленное именно в таком виде устройство, формирующее преобразование Хартли, имеет более простую форму реализации, описанную в литературе (й. М. Вгасеме11, Н. Вагте!0 А. И! Г.оЬтапп, АГ. 8!ген, Орпса! аунг)тез!з оГ Нагйеу ТгапзГопп, Аррйед Орбсз, 24, рр. 1401 — 1402, 1985.— (Р. Брейсуэлл и др. Оптический синтез преобразования Хартли)). Практическое осуществление Вместо двумертгого преобразования Хартли, представляемого в виде разности вещественной и комплексной составляющих преобразования Фурье, можно манипулировать этим определением несколько иным способом, который приводит к упрощенным оптическим системам, что выполняется следующим образом. Вспоминая о том, что 2 соз (х — (л14)1 = сок х + з!их = сазх, можно записать преобразование Хартли в виде Н(и, е) = т2 Ц Г'(х, у) соз г2я(их + оу) — я/4] ЫхВу.
125 Полагая эту форму записи отправной точкой дальнейших рассуждений, следует заметить, что преобразование Хартли может быть синтезировано из двух преобразований Фурье с соответствующими фазовыми множителями: Н(и о) = ъ/2 )) /'(х, уК1/2) (ехр [2п/(их + оу) — !я/4) + + ехр[ — 2я!(их+ оу) + !я/4))Ахи = (!/ /2)ехр[ — !я/4)Г( — и, — о) + + (1/ /2)ехр [!я/4з )о(и, о) = (ехр [!л/4)/ /2) (Г(и, о) + + ехр [ — !к/22 Р( — и, — о)) .
Однако появление постоянного фазового множителя ехр[!я/42 связано только с выбором начала отсчета времени. Следовательно, комбинацию вышеприведенных преобразований Фуръе можно получить с помощью ннтерферометра Майкельсона, в одном плече которого устанавливается призма в форме тетраэдра, осуществляющая «поворот» поля Р(и, о) на угол к с целью формирования г ( — и, — о). В другом плече интерферометра может быть установлено плоское зерхало на расстоянии от расщепителя пучка, равном расстоянию до вершины призмы в форме тетраэдра, как на рис. 9.1. С другой стороны, могут применяться системы двух трехгранных призм (рис. 9.2), телескопические системы (рис.
9.3), а также другие структуры, включающие призмы Довс или интерферометр типа Маха — Цендера. В результате формирования комбинации волновых полей с относительным поворотом к в одно плечо интерферометра должен быть введен фазовый множитель ехр[ — !к/22. Один из способов реализации этой процедуры заключается в использовании фазосдвигаюгцей пластины, а другой — в геометрическом смещении одного из зеркал на расстояние, равное одной восьмой длины волны. Казалось бы, ни один из способов регулировки не влияет на характер этих процедур, но получаемый эффект характеризуется глубокими различиямн. Если источник, расположенный в плоскости объекта, является когерентным, то соответствующее устройство реализует требуемое преобразование Хартли, а фотопластинка обеспечивает регистрацию квадрата модуля преобразования Хартли. Источник некогерентного излучении На практике источники когерентного излучения далеко не являются единственными, и поэтому представляет интерес возможность построения преобразования Хартли в случае некогерентного источника, при котором происходит наложение распределений интенсивностей и устойчивое смещение.
Рассмотрим элемент некоторого некогерентного источника с координатами х у на плоскости х, у. Этот элемент обусловливает формирование в плоскости преобразо- !26 ванин интерференционной картины с интенсивностью, пропорцио- нальной 1 + соз [4я(хо и + у„о) — <р), где ~р — разность фаз в двух плечах интерферометра. Так как для некогерентного источника выполняется условие аддитивности интенсивностей, можно сложить все ннтерференционные картины от различных элементов этого источника для получения полной интенсивности 1,„„ определяемой интегралом О 1«и = Ц 1м(х, у)Ихт(у + — й + О 1ы(х, у) сох [4л(их + оу) — ср) ЫхИу. При правильном выборе ср вновь получается преобразование Хартли, причем в этом случае имеет место наложение распределения интенсивностей объекта и устойчивое смешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
