Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения) (1044117), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, преобразование для основания степени 4 дает заметные преимущества. Программа вычислений РНТйХ 4 представлена в приложении 1. Ранее прнменявшяеся подходы к преобразованию вещественных данных Когда данные вещественные, а не комплексные, что обычно и имеет место, БПФ оказывается неэффективным методом преобразования, так как в принципе оно предназначено для комплексных исходных данных. С другой стороны, если мы находимся в области прямого преобразования, манипулирующего комплекснымн коэффициентами, и хотим выполнить обратный переход в область вещественных данных, то БПФ оказывается идеальным инструментом обработки исходных данных. Однако обращение к БПФ лишь с целью получения вещественных данных, в то время как это преобразование обладает способностьнз формирования комплексной функции, означает использование алгоритма, который «слншком хорош» для данной задачи и поэтому по-прежнему неэффективен, по уже с другой точки зрения. Может быть использован ряд методов с целью усовершенствова- П7 ния БПФ п и р его применении для спектрального анализа ве ных данных.
Если мы налнза вещественли мы предполагаем осуществить переход в область прямого преобразования н остаться в ней, что имеет вычис , что имеет место при ости, реализуемых, налепив и отображении спектров мощности, чения бы о пример, в коммерческих спектрометрах, то один и б н из спосо ов увелиыстродеиствия БПФ состоит в исключении перемен ставляю н ии переменных, предный щих несуществующую мнимую исходную функци . П бн 'ю. одонием Ф ье п " усеченный алгоритм, разумеется, уже не явля об ляется пре разованием урье (поскольку для него не имеет силы свойство дн начности отображения), однако при прочих войство взаимной на его лиза прочих равных условиях реализацию требуется такое же время, как и на ДПХ.
и об аз Если предполагается осуществить переход в обл о ласть прямого е операции, как фильтре разовання, реализовать при этом такие опе а рация, свертка или другие методы обработки сигналов, а затем выполнить обратный переход в область вещест вещественных данных, то усеченныи алгоритм непригоден, так как теперь исходные данныи являются комплексными. Однако может быть п алгоритм, использ " в к ыть предложен другой данные и м ользующин в качестве исходной функции комплексны фор ируюший в результате только вещественные данные. ные Следовательно, осуществляя запись в память ЭВМ этих алгоритмов, каж ~й дый из которых является соответствующим моди- но достичь скорости вычислефицированным вариантом БПФ, можно достич ний, сравнимой со скоростью БПХ.
Этот подход т подход является общепринятым при разработке математического обеспече характера. о печения коммерческого памяти ЭВМ я в По сравнению с БПХ описанная выше процедура еб тре уст ячеек того, олж для двух разных преобразований. Пользовате , д ен следить за тем, какой алгоритм должен б ль, кроме зован, а п оце а за р цедура записи соответствующих массивов должна быть организована с етом ве уч вещественных и мнимых переменных, так как ми величинами.
Резульоба преобразования оперируют комплексными в таты оказываются вполне приемлемыми я для пользователей программ долговременного хранения, но для спепналистов, за ванных в модифик пепналистов, заинтересоф ацни, обслуживании этих программ или включении их в состав более к гх п оказываются неудобными и громоздкими.
Однако были использованы и другие подходы. Последовательность вещественных данных ~аЬсде7дЬ) в компактной форме может б после ов в ет быть представлена в виде комплекс д ательности с меньшим числом элементов нои (а+ !Ь с+ 1Ые+ )уд+ )Ь), к которой может быть применено БПФ с целью получения п б чения прео ра!н у+ 1 а+ 1~ т! + Ю). Теперь можно вычислить четную и нечетную компоненты последовательностей ! а е ) и ! 'рб ьб) и объединить их с учетом соответствующих коэффициентов, преду- 1!8 смотренных теоремой о сдвиге и фигурирующих в искомом БПФ !А В+ !)У С -ь !С' Р + сР' ŠР— !Р' С вЂ” !С'  — !В') .
Из этого представления ясно, что увеличение скорости выполнения преобразования обусловлено применением 4-элементного БПФ вместо неэффективного 8-элементного БПФ. Прн необходимости возврата из области преобразования может быть достигнута такая же зкономия. В данном случае мы осуществляем усечение 8-элементной последовательности, а именно уменьшение числа ее элементов до четырех, что, как очевидно, может быть достаточным для определения 8-элементного преобразования. Все, кроме одного нз оставшихся коэффициентов, можно полагать комплексно сопряженными другим коэффициентам последовательности. Пятый элемент Е можно считать вещественным; поэтому он может быть представлен в совокупности с первым элементом, который также всегда является вещественным. Усеченное представление имеет вид ! А + !Е В+ ГВ' С+ !С')7+ !1)') .
В результате обратного БПФ получается 4-элементная комплексная последовательность, из который после дальнейших манипуляций может быть получена 8-элементная вещественная последовательность. Соответствующие программы в доступной форме приводятся в литературе 1Ргойгашз 1ог 1)!8!га! 8!8па! Ргосеза!п8, 1ЕЕЕ Ргезз, !979.-(Программы вычислений для цифровой обработки сигналов) ).
Эти оригинальные методы и результаты прошлых лет были вытеснены преобразованием Хартли, которое в явном виде исключает применение комплексных процедур и позволяет использовать одну н ту же программу вычислений как прн анализе в области прямого преобразования, так и при обратном переходе в область исходных данных. Когда требуются комплексные числа, они формируются на последнем этапе решения задачи.
Интересно отметить, что вещественная и мнимая части в явном виде требуются только в ряде задач. Они обычно используются на промежуточных этапах получения окончательного результата, так как логика рассуждений оказывается в выигрыше нз-за преимуществ процедур комплексного анализа. В соответствии со сказанным спектр мощности часто понимается как сумма квадратов вещественной и мнимой частей.
Однако если бы в вычислениях мы оперировали вещественными данными с использованием вещественных процедур, то не было бы необходимости перехода к вещественным и комплексным компонентам для получения спектра мощности, так как результат может быть получен вообще без использования комплексной плоскости. Таким образом, исходя из ДПХ НЯ, непосредственно получим спектр мощности РЯ нз соотношения РЯ = гН(ч)зз + [Н(Н вЂ” ч))з. Аналогичный подход применим к фазе ~р(ч), которая обычно определяется как отношение мнимой и вещественной частей, но в равной степени она может быть выражена через четную н нечетную состав- лающие чисто вещественного преобразования Хартли.
Таким образом, зр(н) = агс!8 ((Н(13г — н) — Н(н)3/(Н(н) + Н(Н вЂ” н)3) . Задачи 8.1. Формула секанса. Получить соотношение (!/2) вес 03/2) = (2 + 2/вес (3) из формулы для длины хорды, стягивающей дугу, равную половине исходного центрального угла: сй(0/2) = (2 — гй(я — 8)!из.
8.2. Быстрый алгвршпм определения сека«си. а) Показать, что корень квадратный величины х, близкой к единице, с высокой степенью точности определяется из выражения хцз = (2а 4 !)Д2и — !), где а = = (х -1- 1)/(х — !). б) Применить это правило к величине х = 2, являющейся только грубым приближением к единице, для доказательства того, что при этом достигается !%-ная точность.
в) Показать, что, исходя из приближенного равенства Бьюнемана для секанса (1/2) зес 13/2 = 0,700!— О,!6016004 0,3004 + (1/2) вес (3 . ноправочный коэффициент (1/2) вес)3/2 для 13 < 11,25' может быть вычислен с точностью до восьмого десятичного знака. 8.3. Тождество для поворота система координат.
Показать, что тождество 180/2 = (! — 0)/э1п 0 может иметь геометрическую интерпретацию. 8.4. А .. Алгоритм паварагпа Бьюпвмаиа. Получить алгоритм Бьюнемана непосредственно из формулы преобразования координат х = х' сов 0 — у' пп 0. 8.5, Теорема Птолемея. Доказать теорему Птолемея. 8.6.
Формула для разности аргументов. Вывести тригонометрическую формулу нп(и — (3) = пи а сок 0 — соха эш 13 из теоремы Птолемея. 8.7. Д .. Деление аргумента на три равные части. ИСпользовать тождЕСтво для величины сй(а ч- 8) при ее представлении в виде сй(2а+ а) для локазательства того, что величина сй(1/2)' может быть получена нз значения гй(з/з)' для утроенного аргумента по формуле сй(1/2)' = (1/3)сй(3/2)'+ (4/8!)с)з'(3/2)'.
8,8. Обратная перггтапввка. Какой вид имеет матрица размерности 8 х 8, обратная матрице перестановки р„з 8.9. О .. О применении систем счисления. Покаэаггч каким образом Клавдий Птолемей мог составить тригонометрические таблшзы с !очностью ло пятого десятичного знака более тысячелетия тому навал, прежде чем нашла применение десятичная система счислении. Глава 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ В ОПТИКЕ Если вы разрушите Логополис, то полностью раскроете причинную связь.
Доктор Ху Изображения могут быть подвергнуты цифровой обработке на ЭВМ, однако существуют и аналоговые методы обработки. Действительно, прежде чем изображение внешнего объекта поступит в ЭВМ. оно подвергнется обработке аналоговымн оптическими системами, которые могут выполнять такие функции, как низкочастотная фильтрация и улучшение четкости и контрастности.
Обычно эти операции оптической обработки рассматриваются с использованием двумерного преобразования Фурье, однако теперь мы знаем, что каждому применению преобразования Фурье соответствует применение преобразования Хартли, поэтому представляет интерес вопрос: применимо ли двумерное преобразование Хартли к оптической обработке сигнала? В этой главе мы покажем, что ответ на данный вопрос однозначно утвердителен. В качестве комментария исторического характера можно отметить, что, хотя работы Хартли были опубликованы в связи с исследованием систем телефонной связи, сам автор выполнил ряд исследований в области оптики. В самом деле, концепдия Габора относительно измерения информации в световых лучах ()). 6а(зог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
