Главная » Просмотр файлов » Теория случайных процессов

Теория случайных процессов (1042226), страница 2

Файл №1042226 Теория случайных процессов (Теория случайных процессов) 2 страницаТеория случайных процессов (1042226) страница 22017-12-27СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В заключительной лекции изучаются стационарныеи взаимно стационарные процессы.Лекция 1. Определение, классификацияи основные характеристикиВсе экономические процессы производства, снабжения, эксплуатации, потребления и т. п. протекают во времени и пространстве и носят случайный характер, поэтому естественнов качестве их математических моделей рассматривать случайныефункции (процессы).Случайным процессом (СП) называют семейство случайныхвеличин (СВ), зависящих от параметра t, пробегающего произвольное множество T . Параметр t называют аргументом СП,T -областью или множеством значений аргумента t.

Понятие СПпредставляет собой обобщение понятия СВ ξ и обозначаетсяξt , чаще ξ (t) или в более полном виде ξ (t, ω), где ω ∈ Ω —элементарное событие из пространства элементарных событий Ω.Если зафиксировать ЭС ω = ω0 , то мы получим неслучайную10Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовфункцию x (t, ω0 ), которая называется реализацией, или траекторией СП (рис. 1).x(t, ω0 )tx(t, ω1 )Рис.

1При фиксированном значении аргумента t = t0 ∈ T получаем СВ ξ (t0 ) = ξ (t0 , ω), называемую сечением СП. Множествовозможных значений СП называется пространством состоянийи обозначается S .В прикладных исследованиях при анализе экономических,физических, технических и т. п. систем переходы из состоянияξ (t1 ) в состояние ξ (t2 ) обычно описываются в терминах СП,в частности, в терминах элементарных случайных функций(ЭСФ). Под ЭСФ понимают неслучайную функцию от аргумента t, в которой параметры — это СВ, не зависящие от t.Пример 1.1.

Пусть ξ (t) = 1 + R (0, 1) t, t > 0; η (t) == R (−1, 1) e−t , t > 0.Семейства реализаций этих ЭСФ приведены на рис. 2 и 3соответственно.1x3 (t) = 1 + 0,7ty1 (t) = e−tx2 (t) = 1 + 0,3ty0 (t) = 0tx1 (t) = 1tРис. 2−1y2 (t) = −e−tРис. 3Лекция 1. Определение, классификация и основные характеристики11Классификация случайных процессовОсновными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются структура пространства состояний S , структура множества значений аргумента T , характерзависимости между СВ — сечениями СП.Если S конечно или счетно, т.

е. сечение СП есть дискретнаяСВ, то СП называют процессом с дискретными состояниями.Если любое сечение СП есть непрерывная СВ, то говорят о процессе с непрерывными состояниями. Если T = {t0 , t1 , ... } —дискретное множество, т. е. СП меняет свои состояния тольков фиксированные моменты времени, то речь идет о процессес дискретным временем. Моменты времени tn в этом случаеобозначают просто n и называют øàãàìè, СП обозначают ξn ,n = 0, 1, ... . Если T = [0, ∞), т. е.

СП меняет свои состоянияв любой момент времени t > 0, то говорят о СП с непрерывнымвременем.В нашем курсе основное внимание уделяется СП с дискретным временем и конечным пространством состояний, а также СПс непрерывным временем и счетным (или конечным) пространством состояний.Важнейшей характеристикой СП является характер взаимнойзависимости сечений ξ (t0 ) , ξ (t1 ) , ... , ξ (tn ) , ... , который определяется заданием совместных законов распределения для любыхмоментов 0 6 t0 < t1 < ... . Приведем несколько примеров. Еслисовместный ЗР для любых ti является нормальным, то СП называют гауссовским.

Если СВ ξ (t0 ) , ξ (ti ) − ξ (ti−1 ), i = 1, 2, ... , n,независимы, то говорят о СП с независимыми приращениями.В частности, если для любых i приращение ξ (ti ) − ξ (ti−1 ) ∈∈ N (0, a (ti − ti−1 )), a > 0 — константа, то СП называют винеровским, если же ξ (ti ) − ξ (ti−1 ) ∈ Ïóàñ (λ (ti − ti−1 )), λ > 0 —константа, то СП называют пуассоновским. Особое практическое значение имеют марковские СП (МСП), называемые так поимени нашего выдающегося соотечественника академика АндреяАндреевича Маркова (1856–1922).Марковским называют СП, для которого выполняется такназываемое марковское свойство (свойство марковости):P {a < ξ (t) < b | ξ(t0 ) = x0 , ξ (t1 ) = x1 , ... , ξ (s) = x} == P {a < ξ (t) < b | ξ (s) = x},для любых 0 6 t0 < t1 < ...

< s < t и любых a < b.(1.1)12Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовЕсли считать:• состояния ξ (t) в момент t > s «будущим» СП,• состояния ξ (t) в момент t = s «настоящим» CП,• состояния ξ (t) в момент t < s «прошлым» СП,где s — фиксированный момент времени, то марковское свойство означает, что будущее МСП зависит от прошлого черезнастоящее. МСП с дискретным временем и дискретными состояниями называют дискретной цепью Маркова (ДЦМ). МСПс непрерывным временем и дискретными состояниями называютнепрерывной цепью Маркова (НЦМ).Законы распределения и числовые характеристикиИсчерпывающей характеристикой СП является совместныйЗР сеченийξ (t0 ) , ξ (t1 ) , ...

, ξ (tn ) : F (t0 , t1 , ... , tn , x0 , x1 , ... , xn ) == P {ξ (ti ) < xi , i = 0, 1, ... , n}, (1.2)определенный для любых n < ∞ и любых ti . Простейшим из нихявляется одномерный ЗР в форме функции распределения (ФР)F (t, x) = P {ξ (t) < x}или в форме плотности распределения (распределения)p (t, x) ,x ∈ S.На практике более чем двумерные ЗР, как правило, не используются. Знание одномерных ЗР позволяет определить математическое ожидание и дисперсию СП:Zx (t) p (t, x) dx,m (t) = SX(1.3)x (t) p (t, x) ,x∈Sσ 2 (t) = M [ξ̇ (t)]2 ,где ξ˙ (t) = ξ (t) − m (t). Свойства этих характеристик полностьюсовпадают со свойствами их аналогов для СВ.Лекция 1.

Определение, классификация и основные характеристики13Знание двумерных ЗР pξ (t, t′ , x, x′ ) позволяет найти характеристики стохастической связи двух сечений одного СП:Kξ t, t′ = M ξ˙ (t) ξ̇ t′ ;Kξ (t, t′ )rξ t , t ′ = q,σξ2 (t) σξ2 (t′ )(1.4)которые по аналогии с ковариацией и коэффициентом корреляции называются ковариационной (КВФ) и корреляционной(КРФ) функциями соответственно. Наряду со скалярными рассматриваются и векторные СП. Знание двумерного ЗР двух СПξ (t) и η (t′ ) в точках t и t′ позволяет найти характеристикистохастической связи сечений двух СП:˙ η̇ t′ ;Kξη t, t′ = M ξ(t)Kξη (t, t′ )rξη t, t′ = q,σξ2 (t) ση2 (t′ )(1.5)которые называются взаимной ковариационной (ВКВФ) и взаимной корреляционной (ВКРФ) функциями соответственно.Пример 1.2.

Покажем, что исчерпывающей характеристикой МСП является двумерный ЗР, другими словами, любойn-мерный ЗР можно выразить через двумерные.Пусть пространство состояний S является дискретным (дляпростоты), тогда согласно (1.1)p (t0 , t1 , ... , tn , x0 , x1 , ... , xn ) = P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn ) = xn } == P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn−1 ) = xn−1 }×× P {ξ (tn ) = xn | ξ (ti ) = xi , i = 0, 1, ... , n − 1} == P {ξ (t0 ) = x0 , ...

, ξ (tn−1 ) = xn−1 }×× P {ξ (tn ) = xn | ξ (tn−1 ) = xn−1 } == P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn−2 ) = xn−2 }×× P {ξ (tn−1 ) = xn−1 | ξ (tn−2 ) = xn−2 }×× P {ξ(tn ) = xn | ξ (tn−1 ) = xn−1 } = ...... = P {ξ (t0 ) = x0 }n−Y1i=0P {ξ (ti+1 ) = xi+1 | ξ (ti ) = xi }.14Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовПодставим в полученное выражение формулуP {ξ (ti+1 ) = xi+1 | ξ (ti ) = xi } =и продолжим цепочку равенств:P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }P {ξ (ti ) = xi }p(t0 , t1 , ...

, tn | x0 , x1 , ... xn ) == P {ξ (t0 ) = x0 }n−Y1i=0P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }=P {ξ (ti ) = xi }=n−Y1i=0P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }n−Y1i=1.P {ξ (ti ) = xi }Таким образом, исчерпывающей характеристикой МСП является плотность (распределение) вида p (s, t, x, y), где 0 6 s < t;x, y ∈ S , x 6= y .Отсюда, в свою очередь, следует, что исчерпывающей характеристикой ЦМ является пара функцийP {ξ (t0 ) = x0 }, t0 > 0, x0 ∈ S ;(1.6)P {ξ (t) = x | ξ (t0 ) = x0 }, t > 0, x ∈ S.Пример 1.3.

Покажем, что СП с независимыми приращениями является марковским.Пусть 0 6 t0 < t1 < t2 < ... и СВ ξ (t0 ), ξ (t1 ) − ξ (t0 ), ξ (t2 ) −− ξ (t1 ) , ... попарно независимы. Это означает, что любое приращение ξ (tn+1 ) − ξ (tn ) не зависит от прошлого, если известноξ (tn ) = xn , т. е. для всех t > tn выполняется свойствоP {ξ (t) 6 x | ξ (ti ) = xi , i = 0, 1, ... , n} = P {ξ (t) 6 x | ξ (t0 ) = x0 },эквивалентное марковскому свойству.

В частности, винеровский СП является марковским, при этом ξ (tn+1 ) − ξ (tn ) ∈∈ N (0, a (tn+1 − tn )) и СВ ξ (t) при условии ξ (t0 ) = x0 такжеимеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной суммеa (t1 − t0 ) + a (t2 − t1 ) + ... + a (tn − tn−1 ) + a (t − t0 ) = a (t − t0 ) .Лекция 2. Свойства характеристик стохастической связи15Замечание. Предположение о независимости приращений более ограничительно, чем марковское свойство.Пример 1.4. Ветвящийся случайный процесс.Пусть ξ0 = x0 — заданный размер исходной популяции (например, число мужчин, образующих исходную семью).

Каждыйиндивидуум независимо от других порождает новые индивидуу∞Pмы с распределением pk > 0, k = 0, 1, 2, ... ,pk = 1.k=0Общее количество всех прямых потомков индивидуумов изисходной популяции образует первое поколение размера ξ1 . Индивидуум первого поколения порождает второе размера ξ2 и т. д.Вообще, n-е поколение складывается из потомков индивидуумов (n − 1)-го поколения, порожденных с вероятностями pk ,k = 0, 1, 2, ... , размер его обозначим ξn .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее