Теория случайных процессов (1042226), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В заключительной лекции изучаются стационарныеи взаимно стационарные процессы.Лекция 1. Определение, классификацияи основные характеристикиВсе экономические процессы производства, снабжения, эксплуатации, потребления и т. п. протекают во времени и пространстве и носят случайный характер, поэтому естественнов качестве их математических моделей рассматривать случайныефункции (процессы).Случайным процессом (СП) называют семейство случайныхвеличин (СВ), зависящих от параметра t, пробегающего произвольное множество T . Параметр t называют аргументом СП,T -областью или множеством значений аргумента t.
Понятие СПпредставляет собой обобщение понятия СВ ξ и обозначаетсяξt , чаще ξ (t) или в более полном виде ξ (t, ω), где ω ∈ Ω —элементарное событие из пространства элементарных событий Ω.Если зафиксировать ЭС ω = ω0 , то мы получим неслучайную10Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовфункцию x (t, ω0 ), которая называется реализацией, или траекторией СП (рис. 1).x(t, ω0 )tx(t, ω1 )Рис.
1При фиксированном значении аргумента t = t0 ∈ T получаем СВ ξ (t0 ) = ξ (t0 , ω), называемую сечением СП. Множествовозможных значений СП называется пространством состоянийи обозначается S .В прикладных исследованиях при анализе экономических,физических, технических и т. п. систем переходы из состоянияξ (t1 ) в состояние ξ (t2 ) обычно описываются в терминах СП,в частности, в терминах элементарных случайных функций(ЭСФ). Под ЭСФ понимают неслучайную функцию от аргумента t, в которой параметры — это СВ, не зависящие от t.Пример 1.1.
Пусть ξ (t) = 1 + R (0, 1) t, t > 0; η (t) == R (−1, 1) e−t , t > 0.Семейства реализаций этих ЭСФ приведены на рис. 2 и 3соответственно.1x3 (t) = 1 + 0,7ty1 (t) = e−tx2 (t) = 1 + 0,3ty0 (t) = 0tx1 (t) = 1tРис. 2−1y2 (t) = −e−tРис. 3Лекция 1. Определение, классификация и основные характеристики11Классификация случайных процессовОсновными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются структура пространства состояний S , структура множества значений аргумента T , характерзависимости между СВ — сечениями СП.Если S конечно или счетно, т.
е. сечение СП есть дискретнаяСВ, то СП называют процессом с дискретными состояниями.Если любое сечение СП есть непрерывная СВ, то говорят о процессе с непрерывными состояниями. Если T = {t0 , t1 , ... } —дискретное множество, т. е. СП меняет свои состояния тольков фиксированные моменты времени, то речь идет о процессес дискретным временем. Моменты времени tn в этом случаеобозначают просто n и называют øàãàìè, СП обозначают ξn ,n = 0, 1, ... . Если T = [0, ∞), т. е.
СП меняет свои состоянияв любой момент времени t > 0, то говорят о СП с непрерывнымвременем.В нашем курсе основное внимание уделяется СП с дискретным временем и конечным пространством состояний, а также СПс непрерывным временем и счетным (или конечным) пространством состояний.Важнейшей характеристикой СП является характер взаимнойзависимости сечений ξ (t0 ) , ξ (t1 ) , ... , ξ (tn ) , ... , который определяется заданием совместных законов распределения для любыхмоментов 0 6 t0 < t1 < ... . Приведем несколько примеров. Еслисовместный ЗР для любых ti является нормальным, то СП называют гауссовским.
Если СВ ξ (t0 ) , ξ (ti ) − ξ (ti−1 ), i = 1, 2, ... , n,независимы, то говорят о СП с независимыми приращениями.В частности, если для любых i приращение ξ (ti ) − ξ (ti−1 ) ∈∈ N (0, a (ti − ti−1 )), a > 0 — константа, то СП называют винеровским, если же ξ (ti ) − ξ (ti−1 ) ∈ Ïóàñ (λ (ti − ti−1 )), λ > 0 —константа, то СП называют пуассоновским. Особое практическое значение имеют марковские СП (МСП), называемые так поимени нашего выдающегося соотечественника академика АндреяАндреевича Маркова (1856–1922).Марковским называют СП, для которого выполняется такназываемое марковское свойство (свойство марковости):P {a < ξ (t) < b | ξ(t0 ) = x0 , ξ (t1 ) = x1 , ... , ξ (s) = x} == P {a < ξ (t) < b | ξ (s) = x},для любых 0 6 t0 < t1 < ...
< s < t и любых a < b.(1.1)12Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовЕсли считать:• состояния ξ (t) в момент t > s «будущим» СП,• состояния ξ (t) в момент t = s «настоящим» CП,• состояния ξ (t) в момент t < s «прошлым» СП,где s — фиксированный момент времени, то марковское свойство означает, что будущее МСП зависит от прошлого черезнастоящее. МСП с дискретным временем и дискретными состояниями называют дискретной цепью Маркова (ДЦМ). МСПс непрерывным временем и дискретными состояниями называютнепрерывной цепью Маркова (НЦМ).Законы распределения и числовые характеристикиИсчерпывающей характеристикой СП является совместныйЗР сеченийξ (t0 ) , ξ (t1 ) , ...
, ξ (tn ) : F (t0 , t1 , ... , tn , x0 , x1 , ... , xn ) == P {ξ (ti ) < xi , i = 0, 1, ... , n}, (1.2)определенный для любых n < ∞ и любых ti . Простейшим из нихявляется одномерный ЗР в форме функции распределения (ФР)F (t, x) = P {ξ (t) < x}или в форме плотности распределения (распределения)p (t, x) ,x ∈ S.На практике более чем двумерные ЗР, как правило, не используются. Знание одномерных ЗР позволяет определить математическое ожидание и дисперсию СП:Zx (t) p (t, x) dx,m (t) = SX(1.3)x (t) p (t, x) ,x∈Sσ 2 (t) = M [ξ̇ (t)]2 ,где ξ˙ (t) = ξ (t) − m (t). Свойства этих характеристик полностьюсовпадают со свойствами их аналогов для СВ.Лекция 1.
Определение, классификация и основные характеристики13Знание двумерных ЗР pξ (t, t′ , x, x′ ) позволяет найти характеристики стохастической связи двух сечений одного СП:Kξ t, t′ = M ξ˙ (t) ξ̇ t′ ;Kξ (t, t′ )rξ t , t ′ = q,σξ2 (t) σξ2 (t′ )(1.4)которые по аналогии с ковариацией и коэффициентом корреляции называются ковариационной (КВФ) и корреляционной(КРФ) функциями соответственно. Наряду со скалярными рассматриваются и векторные СП. Знание двумерного ЗР двух СПξ (t) и η (t′ ) в точках t и t′ позволяет найти характеристикистохастической связи сечений двух СП:˙ η̇ t′ ;Kξη t, t′ = M ξ(t)Kξη (t, t′ )rξη t, t′ = q,σξ2 (t) ση2 (t′ )(1.5)которые называются взаимной ковариационной (ВКВФ) и взаимной корреляционной (ВКРФ) функциями соответственно.Пример 1.2.
Покажем, что исчерпывающей характеристикой МСП является двумерный ЗР, другими словами, любойn-мерный ЗР можно выразить через двумерные.Пусть пространство состояний S является дискретным (дляпростоты), тогда согласно (1.1)p (t0 , t1 , ... , tn , x0 , x1 , ... , xn ) = P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn ) = xn } == P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn−1 ) = xn−1 }×× P {ξ (tn ) = xn | ξ (ti ) = xi , i = 0, 1, ... , n − 1} == P {ξ (t0 ) = x0 , ...
, ξ (tn−1 ) = xn−1 }×× P {ξ (tn ) = xn | ξ (tn−1 ) = xn−1 } == P {ξ (t0 ) = x0 , ... , ξ (tn−2 ) = xn−2 }×× P {ξ (tn−1 ) = xn−1 | ξ (tn−2 ) = xn−2 }×× P {ξ(tn ) = xn | ξ (tn−1 ) = xn−1 } = ...... = P {ξ (t0 ) = x0 }n−Y1i=0P {ξ (ti+1 ) = xi+1 | ξ (ti ) = xi }.14Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовПодставим в полученное выражение формулуP {ξ (ti+1 ) = xi+1 | ξ (ti ) = xi } =и продолжим цепочку равенств:P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }P {ξ (ti ) = xi }p(t0 , t1 , ...
, tn | x0 , x1 , ... xn ) == P {ξ (t0 ) = x0 }n−Y1i=0P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }=P {ξ (ti ) = xi }=n−Y1i=0P {ξ (ti ) = xi , ξ (ti+1 ) = xi+1 }n−Y1i=1.P {ξ (ti ) = xi }Таким образом, исчерпывающей характеристикой МСП является плотность (распределение) вида p (s, t, x, y), где 0 6 s < t;x, y ∈ S , x 6= y .Отсюда, в свою очередь, следует, что исчерпывающей характеристикой ЦМ является пара функцийP {ξ (t0 ) = x0 }, t0 > 0, x0 ∈ S ;(1.6)P {ξ (t) = x | ξ (t0 ) = x0 }, t > 0, x ∈ S.Пример 1.3.
Покажем, что СП с независимыми приращениями является марковским.Пусть 0 6 t0 < t1 < t2 < ... и СВ ξ (t0 ), ξ (t1 ) − ξ (t0 ), ξ (t2 ) −− ξ (t1 ) , ... попарно независимы. Это означает, что любое приращение ξ (tn+1 ) − ξ (tn ) не зависит от прошлого, если известноξ (tn ) = xn , т. е. для всех t > tn выполняется свойствоP {ξ (t) 6 x | ξ (ti ) = xi , i = 0, 1, ... , n} = P {ξ (t) 6 x | ξ (t0 ) = x0 },эквивалентное марковскому свойству.
В частности, винеровский СП является марковским, при этом ξ (tn+1 ) − ξ (tn ) ∈∈ N (0, a (tn+1 − tn )) и СВ ξ (t) при условии ξ (t0 ) = x0 такжеимеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной суммеa (t1 − t0 ) + a (t2 − t1 ) + ... + a (tn − tn−1 ) + a (t − t0 ) = a (t − t0 ) .Лекция 2. Свойства характеристик стохастической связи15Замечание. Предположение о независимости приращений более ограничительно, чем марковское свойство.Пример 1.4. Ветвящийся случайный процесс.Пусть ξ0 = x0 — заданный размер исходной популяции (например, число мужчин, образующих исходную семью).
Каждыйиндивидуум независимо от других порождает новые индивидуу∞Pмы с распределением pk > 0, k = 0, 1, 2, ... ,pk = 1.k=0Общее количество всех прямых потомков индивидуумов изисходной популяции образует первое поколение размера ξ1 . Индивидуум первого поколения порождает второе размера ξ2 и т. д.Вообще, n-е поколение складывается из потомков индивидуумов (n − 1)-го поколения, порожденных с вероятностями pk ,k = 0, 1, 2, ... , размер его обозначим ξn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
