Теория случайных процессов (1042226), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Последовательностьξ0 , ξ1 , ... , ξn , ... образует ДЦМ. Действительно, по определениюветвящегося СП вероятности pk не зависят от номера порождающего индивидуума, следовательно, любые приращения ξn+1 − ξnи ξm+1 − ξm , m 6= n, суть независимые СВ, то есть ветвящиесяСП относятся к классу СП с независимыми приращениями и,как следствие (пример 1.3), являются марковскими.Лекция 2.
Свойства характеристикстохастической связиОсновные свойства ковариационной функцииKξ t, t′ = M ξ˙ (t) ξ̇ t′ :(2.1)Свойство 1. При равенстве аргументов (t = t′ ) КВФ равнадисперсии СП (см. (1.3)).Свойство 2. КВФ симметрична относительно своих аргументов (см. (1.4)):Kξ t, t′ = Kξ t′ , t .(2.2)Свойство 3. Если η (t) = ξ (t) + ϕ (t) , тоKη t, t′ = Kξ t, t′ ,(2.3)где ϕ (t) — неслучайная функция.Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируя t и t′ и используя свойстваковариации СВ, получим16Разд.
1. Введение в теорию случайных процессовKη t, t′ = Cov (η (t) , η t′ ) = Cov ξ (t) + ϕ (t) , ξ t′ + ϕ t′ == Cov ξ (t) , ξ t′ = Kξ t, t′ .Свойство 4. Если η (t) = ξ (t) ϕ (t) , тоKη t, t′ = Kξ t, t′ ϕ (t) ϕ t′ .(2.4)Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируя t и t′ и используя свойстваковариации СВ, получимKη t, t′ = Cov η (t) , η t′ = Cov ξ (t) ϕ (t) , ξ t′ ϕ t′ ==ϕ (t) ϕ (t′ ) Cov (ξ (t) , ξ (t′ )) = ϕ (t) ϕ (t′ ) Kξ (t, t′ ).Свойство 5.p|Kξ t, t′ | 6 Dξ (t) Dξ (t′ ) .(2.5)Это свойство является аналогом неравенства ковариации изтеории СВ.График ковариационной функции представлен на рис.
4.Kξ (t, t′ )t′t′ = ttРис. 4Основные свойства корреляционной функцииKξ (t, t′ )rξ t, t′ = qσξ2 (t) σξ2 (t′ )Лекция 2. Свойства характеристик стохастической связи17являются следствием свойств ковариационной функции и определения КРФ:Свойство 6.Свойство 7.Свойство 8.rξ (t, t) = 1.rξ (t, t′ ) = rξ (t′ , t) .(2.6)|rξ (t, t′ ) | 6 1.3. Основные свойства взаимной ковариационной функцииKξη (t, t′ ) = M ξ (t) η t′ :Свойство 9. При одновременной перестановке индексови аргументов ВКВФ не изменяется:Kξη t, t′ = Kηξ t′ , t .(2.7)Д о к а з а т е л ь с т в о.˙ξ (t) η̇ t′ = η̇ t′ ξ˙ (t) ⇒ Kξη t, t′ = M [ξ˙ (t) η̇ t′ ] == M [η̇ t′ ξ̇ (t)] = Kηξ t′ , t .Свойство 10.Kξξ t, t′ = Kξ t, t′ .Свойство 11.
Прибавление к СП ξ (t) и η (t) неслучайныхслагаемых ϕ (t) и ψ (t) соответственно не изменяет их ВКВФ:если γ (t) = ξ (t) + ϕ (t) и δ (t) = η (t) + ψ (t), тоKγδ t, t′ = Kξη t, t′ .(2.8)Д о к а з а т е л ь с т в о практически повторяет доказательствосвойств 1–5:Kγδ t, t′ = Cov[ξ (t) + ϕ (t) , η t′ + ψ t′ ] == Cov[ξ (t) , η t′ = Kξη t, t′ .Свойство 12.
Если СП ξ (t) и η (t) умножаются на неслучайные множители ϕ (t) и ψ (t) соответственно, то ВКВФумножается на произведение ϕ (t) ψ (t′ ): если γ (t) = ξ (t) ϕ (t)и δ (t) = η (t) ψ (t), тоKγδ t, t′ = Kξη t, t′ ϕ (t) ψ t′ .(2.9)18Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовСвойство 13.p|Kξη t, t′ | 6 Dξ (t) Dη (t′ )(2.10)— аналог неравенства ковариации.СП ξ (t) и η (t) называются некоррелированными, еслиKξη (t, t′ ) = 0 при любых значениях t и t′ , и коррелированнымив противном случае.Продолжим изучение свойств КВФ:Свойство 14. Ковариационная функция суммы γ (t) == ξ (t) + η(t) двух коррелированных СП равнаKγ t, t′ = Kξ t, t′ + Kη t, t′ + Kξη t, t′ + Kξη t′ , t . (2.11)Д о к а з а т е л ь с т в о.Kγ t, t′ = Cov[γ t), γ(t′ ] = Cov[ξ (t) + η (t) , ξ t′ + η t′ ] == Cov ξ (t) , ξ t′ + Cov η (t) , η t′ ++ Cov ξ (t) , η t′ + Cov η (t) , ξ t′ == Kξ t, t′ + Kη t, t′ + Kξη t, t′ + Kηξ t, t′ == Kξ t, t′ + Kη t, t′ + Kξη t, t′ + Kξη t′ , t .Следствие 1.
Ковариационная функция суммы двух некоррелированных СП равна сумме их ковариационных функций:Kγ t, t′ = Kξ t, t′ + Kη t, t′ .(2.12)Следствие 2. Дисперсия суммы двух некоррелированных СПравна сумме их дисперсий.Следствие 3. КВФ суммы СП и некоррелированной с нимСВ равна сумме КВФ СП и дисперсии СВ (предлагается доказать читателю).Основные свойства взаимной корреляционной функцииKξη (t, t′ )rξη t, t′ = qσξ2 (t) ση2 (t′ )19Лекция 3. Стационарностьявляются следствием свойств ВКВФ и определения ВКРФ:Свойство 15.rξη (t, t′ ) = rηξ (t′ , t) .Свойство 16.rξξ (t, t′ ) = rξ (t, t′ ) .Свойство 17.(2.13)|rξη (t, t′ ) | 6 1.Лекция 3. СтационарностьСП называется стационарным в узком смысле, если его nмерная плотность распределения не изменяется при сдвиге всехего временны́х аргументов на произвольную величину ∆:pn (t1 , t2 , ..., tn , x1 , x2 , ..., xn ) == pn (t1 + ∆, t2 + ∆, ..., tn + ∆, x1 , x2 , ..., xn ).В частности,а) одномерная ПР ССП p1 (t, x) не зависит от t, т.
е. p1 (t, x) == p (x).Отсюда следует, что математическое ожидание и дисперсияССП являются постоянными величинами, не зависящими от времени:∞ZM ξ (t) =Dξ (t) =xp1 (x) dx = mξ = const (t) ,−∞∞Z−∞(x − mξ )2 p1 (x) dx = σξ2 = const (t) ;б) двумерная ПР ССП p2 (t1 , t2 , x1 , x2 ) будет зависеть не отаргументов t1 и t2 , а от их разности τ = t2 − t1 : действительно,p2 (t1 , t2 , x1 , x2 ) = p2 (t1 + ∆, t2 + ∆, x1 , x2 ) |∆=−t1 == p2 (0, t2 − t1 , x1 , x2 ) = p2 (τ , x1 , x2 ) .Отсюда, интегрируя от −∞ до ∞, получимZZKξ (t1 , t2 ) =(x1 − mξ ) (x2 − mξ ) p2 (t1 , t2 , x1 , x2 ) dx1 dx2 ==ZZ(x1 − mξ ) (x2 − mξ ) p2 (τ , x1 , x2 ) dx1 dx2 = Kξ (τ ) ,20Разд.
1. Введение в теорию случайных процессовт. е. КВФ ССП зависит от сдвига аргументов τ .Cогласно свойству 2 КВФ — симметричная функция, следовательно, для ССПKξ (t1 , t2 ) ⇒ Kξ (t1 − t2 ) = Kξ (−τ ) ;Kξ (t2 , t1 ) ⇒ Kξ (t2 − t1 ) = Kξ (τ ) ,гдеτ = t2 − t1 .Из равенства Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t2 , t1 ) следует Kξ (τ ) = Kξ (−τ ),т. е. для ССП ковариационная функция есть четная функциясдвига между двумя сечениями этого процесса.Так как дисперсия равна КВФ при равенстве аргументов, тодля ССПσξ2 (t) = Kξ (t, t) = Kξ (t − t) = Kξ (0) > 0,т. е.
дисперсия ССП равна значению его КВФ в начале координат(τ = 0).Наконец, из неравенства ковариации (2.5) следует, что дляССПq|Kξ (τ ) | 6 Kξ (0) Kξ (0) = Kξ (0) ,т. е. абсолютная величина КВФ ССП не превышает ее значенияв начале координат.Подведем итог — КВФ ССП обладает следующими свойствами:•Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (τ ) ;•Kξ (τ ) = Kξ (−τ ) ;•Kξ (0) = σξ2 (t) ∀ t;•|Kξ (τ ) | 6 Kξ (0) ,где τ = t2 − t1 .Перейдем к анализу свойств корреляционной функции ССП.ИмеемKξ (t, t′ )Kξ (τ )rξ t, t′ = q== rξ (τ ) .Kξ (0)σξ2 (t) σξ2 (t′ )21Лекция 3.
СтационарностьСогласно свойствам КВФ основные свойства КРФ имеют вид•rξ (τ ) = rξ (−τ ) ;•rξ (0) = 1;•|rξ (τ ) | 6 1.СП называется стационарным в широком смысле, еслиM ξ (t) = const,Dξ (t) = const,Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t2 − t1 ) .Из стационарности СП в узком смысле следует стационарностьв широком смысле, но обратное утверждение в общем случаеневерно.ССП ξ (t) и η (t) называются взаимно стационарными(ВСП), если ВКВФ зависит только от разности аргументов τ == t′ − tKξη t, t′ = Kξη (τ ).(3.1)ВКВФ ВСП обладает свойствомKξη (τ ) = Kηξ (−τ ) .(3.2)Действительно, согласно (2.7) и (3.1)Kξη t, t′ = Kηξ t′ , t ⇒ Kξη t′ − t = Kηξ t − t′ ⇒⇒ Kξη (τ ) = Kηξ (−τ ) .Из стационарности каждого СП ξ (t) и η (t) не следует взаимнаястационарность.Аналогичным свойством обладает и взаимная корреляционная функция, т.
е.rξη (τ ) = rηξ (−τ ) .(3.3)Действительно, по определению КРФKξη (τ )rξη (τ ) = q;Kξ (0) Kη (0)rηξ (−τ ) = qKηξ (−τ )Kξ (0) Kη (0)⇒ (3.2) ⇒ (3.3) .22Разд. 1. Введение в теорию случайных процессовПример 3.1. Рассматриваются два СП ξ (t) = a, η (t) = γ ,где a — неслучайная величина, γ — СВ с M γ = mγ , Dγ == σγ2 > 0. Найти числовые характеристики этих СП. Являютсяли они стационарными, взаимно стационарными?Решение.KξKηM ξ (t) = a, Dξ (t) = 0,t, t = M ξ˙ (t) ξ˙ t′ = M 0 = 0 ⇒ ξ (t) − CCП;′M η (t) = mγ , Dη (t) = σγ2 ,t, t′ = M η̇ (t) η̇ t′ = M (γ − mγ )2 = σγ2 ⇒ η (t) − CCП;Kξη t, t′ = M ξ˙ (t) η̇ t′ = M 0 (γ − mγ ) = 0 ⇒⇒ ξ(t), η (t) − ВСП.Пример 3.2.
Рассматриваются два СП: ξ (t) = cos (t + ϕ),η (t) = sin (t + ϕ), где ϕ ∈ R (0, 2π) . Найти числовые характеристики этих СП. Являются ли они стационарными, взаимностационарными?Решение.1M ξ (t) =2π2Zπcos (t + x) dx = 0,0Kξ t, t′ = M ξ˙ (t) ξ˙ t′ = M cos (t + ϕ) cos t′ + ϕ ==1M cos t′ − t + cos t′ − t + 2ϕ =2 11= cos t′ − t = cos τ = Kξ (τ ) ⇒ ξ (t) − ССП;221σξ2 (t) = Kξ (t, t) = Kξ (0) = ,21M η (t) =2π2Zπ0r (τ ) =Kξ (τ )=Kξ (0)sin (t + x) dx = 0,12cos τ12= cos τ ,23ЛитератураKη t, t′ = M η̇ (t) η̇ (t) = M sin (t + ϕ) sin t′ + ϕ =1M [cos t − t′ − cos t + t′ + 2ϕ =2 11= cos t′ − t = cos (τ ) ≡ Kη (τ ) ⇒ η (t) − ССП;22=ση2 (t) = Kη (0) =1,2r (τ ) =Kη (τ )=Kη (0)12cos (τ )12= cos (τ ) .Kξη t, t′ = M ξ˙ (t) η̇ t′ = M [cos (t + ϕ) sin t′ + ϕ ] ==1M [sin t + t′ + 2ϕ + sin t′ − t ] =2=1sin τ ≡ Kξη (τ ) ⇒ ξ (t) ,2η (t) − ВСП.Литература1.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов иеё инженерные приложения. — М.: Наука, 1991.2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. — М.:Мир, 1975.3. Карлин С. Основы теории случайных процессов. — М.: Мир,1971.4. Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Теория вероятностей. — М.:Экзамен, 2005.5. Володин Б.Г., Ганин М.П., Динер И.Я.
и др. Руководстводля инженеров по решению задач теории вероятностей. — Л.:Судпромгиз, 1962.6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1979.7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа,1979.РАЗДЕЛ 2ДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВАВторой раздел посвящен изучению случайных процессовМаркова с дискретным временем и конечным пространством состояний. Он состоит из двух частей. В первой рассматриваютсяосновные свойства ДЦМ: на базе анализа структуры пространства состояний дается классификация цепей с последующимизучением законов эволюции цепей различных классов. Во второй части (на базе первой) изучаются свойства неуправляемыхцепей с доходами.
Знание этих свойств позволяет сформулировать задачи построения оптимального управления и изложитьметоды их решения. В заключение приводятся примеры решенияпрактических задач двух классов.Лекция 4. Основные понятияВ первой лекции было дано общее определение марковскихслучайных процессов и их частных случаев — дискретных цепей.Тем не менее настоящую лекцию мы начнем с определенияконечной цепи Маркова, изучению которой мы посвятим ближайшие лекции.Рассмотрим экономическую или техническую систему, которая может находиться в одном из несовместных состояний iпространства состояний S = {1, 2, ... , N }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
