Том 2. Технология (1041447), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Математические модели описывают структуру изучаемой системы в количественных терминах. При разработке модели всегда возникают два противоречивых требования: как можно точнее описать в модели исследуемый объект и одновременно получить модель достаточно простую, позволяющую решить задач~ до конца. Обычно операционные модели имеют вид уравнения, выражающего общий критерий функционирования системы. Количественно критерий зависит от учитываемых факторов, которые принято делить на две группы: н е у п р а в л я е м ы е, иначе их называют параметрами системы, — они обычно известны, и уп р а вл я е м ы е — переменные факторы, регулируя значения которых можно улучшить значение общего критерия функционирования системы.
Иногда в системе учитывают случайные и не полностью определенные факторы. Задача исследования состоит в установлении значений управляемых факторов таким образом, чтобы общий критерий функционирования достиг наилучшего значения. В модель операции могут входить ограничения на управляемые переменные. Очень часто, если в задаче оптимизируется несколько критериев, требуется получить решение, не безупречно оптимальное по каждому критерию, а приемлемое сразу по нескольким критериям. Существенной частью исследования операций является поиск и принятие решения, разработка программных алгоритмов, реализующих группу численных методов решения оптимизационных задач, Оптимизационная задача представляется как задача минимизации целевой функции многих переменных. Пусть дана непрерывная и дважды дифференцируемая в некоЗ12 Математическая модель этой задачи записывается в следующей форме: х' = агя пи'и р (х„..., х„); (23.8) Р;(х„..., х„) =О Ц=1, ..., и).
Если из и рассматриваемых переменных и — пг переменных., обозначенных вектоРом п=1и,=х +ь ..., и„,„=х,Дт, ЯвлЯютсЯ управляемыми, то искомые переменные х*, обеспечивающие минимум функции ~ (хь...,х„), могут быть найдены из совместного решения т уравнений (23.8) и и — т уравнений: 9 — 9 — Г~ — 1 =О (23.9) 21 — 201 торой области функция и переменных ~р (хь...,х ).
Требуется найти значения аргументов х*ь..., х'„, при которых функция принимает минимальное значение. Предполагается, что искомый минимум существует и достигается внутри рассматриваемой области. Другими словами ищется вектор х*=агдш1пгр(хь ..., х~). Примером такого рода постановки задач может служить задача оптимизации высоты двутавровой балки. Пусть требуется из условия прочности на изгиб от воздействия момента М подобрать сечение балки в виде сварного симметричного двутавра с высотой стенки Й и толщиной листовых элементов б, изготовленного из материала с расчетным сопротивлением Я.
Задается отношение высоты стенки к толщине ЙЯ=п. Ясно, что из условия прочности можно подобрать много таких сечений с различной высотой. Требуется найти такое значение высоты Й, при котором поперечное сечение будет иметь минимальную площадь. Если обозначить через Ргг площадь полки и не делать различия между высотой балки и высотой стенки, то площадь сечения балки можно выразить формулой Р = 2Рп+ЬЙ.
(23.6) Площадь полки Рп определяется из условия прочности по формуле Р =М/(М) — бй/6. (23.6) При заданном п=ЦЬ с учетом формул (23.5) и (23.6) площадь сечения можно выразить через искомый параметр Й: Р=2М/(ЙЯ) +.2Йг/(3п). (23.7) Таким образом, задача сводится к нахождению значения Й минимизирующего функцию Р, заданную формулой (23.7). Суть такого решения сводится к решению уравнения ЙР/ЙЙ=О, результатом которого является равенство Й = ~ЗМп~(2й) Как правило, практика порождает задачи гораздо более сложные, чем рассмотренная выше. Часто возникает необходимость отыскания минимума функции гр (хь...,х„) при дополнительных ограничениях между переменными: ~; (хь..., х„) =О (1=1,..., т<п).
где / д1> д>> ~ х = (х„..., х.); ч = ~ —,..., —, 6 х х ~ х> хп> д1> д1> д1> д1> да,» . дип т '''> дх хЕ:-х д1>п д1>п ди, ' '''' дип д~т дд1п> дх, ' ''' дхп> — обратная матрица. Таким образом, и в этом случае задача хб=х сведена к задаче на безусловный экстремум. Дальнейшее усложнение оптимизационной задачи происходит при введении в нее ограничений-неравенств типа ~, (х„..., хп) ~0 (1= 1, ..., т). (23.10) При этом ограничения-неравенства могут быть, могут и отсутствовать. Задача с ограничениями в форме неравенств являетсяобщей задачей математического программирования. Ее математическая формулировка может быть записана в виде х = атв пнп р (х,...., хп); а, (х„..., хп) =---0 (1= 1, ..., Р); (23.11) и (х„..., хп) = 0 (1 = Я+ 1, ..., т).
Из общей модели задачи математического программирования получаются различные модели частных задач математического программирования. Если целевая функция и ограничения линейны„ то задача (23.11) становится задачей линейного программирования. Если функция цели нелинейна или нелинейно хотя бы одно из ограничений, это задача нелинейного программирования 1151.
Среди таких задач особую группу составляют задачи квадратичного программирования, у которых функция цели выражается в виде квадратичной функции искомых параметров. а ограничения — линейные функции. Если к некоторому числу искомых параметров предъявлено дополнительное требование целочисленности, то задача такого рода относится к группе задач дискретного программирования 1461. Большинство задач при оптимизации проектирования металлоконструкций сводится, как правило, к форме задач нелинейного и дискретного программирования. Вводимые в задачу ограничения образуют в пространстве искомых параметров так называемую допустимую область Я=(0- ~х;~6>), 1=1, ..., и.
Все конструкции, получаемые при различных значениях параметров, делятся соответственно на допустимые и недопустимые. Для допустимых все ограничения выполняются, для недопустимых выполняются не все ограничения. Та из допустимых конструкций оптимальна, для которой показатель качества имеет 314 экстремальное значение. В задачах оптимизации конструкций, показатели качества которых отличаются от оптимального, существует понятие области решений. Исследование области решений, близких к оптимальному, имеет большое практическое значение. Проектировщик, располагая всеми необходимыми сведениями об этой области, с успехом может выбрать конструкцию, наилучшим образом удовлетворяющую некоторым неформализованным критериям и в то же время почти оптимальную в смысле принятого показателя качества.
В качестве критериев оптимизации в задачах могут быть приняты различные целевые функции: а) минимум массы или объема материала несущих элементов конструкции; б) минимум стоимости материала; в) минимум приведенных затрат на изготовление конструкции; г) максимум эффективности функционирования проектируемой системы.
При линейных целевой функции и ограничениях задачи успешно решаются методами линейного программирования 1401. В современной практике для решения задач линейного программирования применяется широко известный с и м п л е к с - м е т о д. Линейные ограничения выделяются в многомерном пространстве в виде. многогранника с конечным числом вершин, все точки которого (внутри и на поверхности) составляют допустимую область. Симплекс-метод предварительно определяет допустимую точку, лежащую на одной из вершин многогранника (опорное решение).
Для отыскания оптимального решения используют специальное правило перехода к той соседней вершине многогранника, в которой значение «р не больше, чем в предыдущей точке. Этот процесс продолжается„ пока не будет найдена вершина, в которой значение ~р минимально.
Более часто постановка задач при проектировании металлоконструкций сводится к нелинейным (квадратичным) целевым функциям, а ограничения задаются либо в виде неравенства, либо в виде равенств, либо в смешанном виде. Для решения этих задач разработан ряд методов оптимизации. 1. Метод решения задач на безусловный минимум при конечном числе переменных 198]. Идея его сводится к определению дР д'Р необходимого — = 0 (1=1, ..., и) и достаточного а;.
=— дх> '! дх;дх; (ц=1,..., п) условий минимума некоторой штрафной функции Р (х, р), которая представляет собой комбинацию Р(х, и) =<р(х)+5(р)У(х), (23.12) составленную из заданной целевой функции >р(х) и некоторой штрафной добавки 5(р)У(х). Добавка построена из уравнений ограничений, взятых с определенным параметром р, например 1х„'Я у,(х) или р.*„'Я 1~~у,. (х)1. Минимум функции Р(х, р) ищет1=1 !=! ся при различных значениях параметра р, определяющего меру штрафа. Значения штрафных функций, соответствующие безуслов- 21* 315 ным минимумам, полученным при различных значениях параметра 1г, образуют последовательность, сходящуюся к точному решению, определяющему точку минимума исходной целевой функции в допустимой области.
2. Метод математического программирования иа основе частичной или полнойлинеаризации исходнойзадачи [541. Нелинейная целевая функция и нелинейные ограничения заменяются их линейными аппроксимациями в окрестности точки, рассматриваемой на каждом интервале. Наиболее общий способ линеаризации условий задачи состоит в замене нелинейных функций ограничения членами первого порядка в соответствующих разложениях в ряд Тейлора в окрестности рассматриваемой точки. Далее многократно решается линейная задача: минимизировать лг = р (хогг) + — „1 (х — х11) (23.13) при ограничениях ;.
( ггг)+ "'( ) ~ (х — хггг)~0 (г=1, 1, ..., ); — у-" х — хггг ==у. Решение задачи начинается с некоторой исходной точки хО. При заданном х' решается задача линейного программирования по условию (23.13) и определяется вектор значений (х — хО)=згО1. Полученная точка х! — хО+ О, ОзО (23.14) принимается за исходную, и процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Метод имеет ряд модификаций, связанных с правилом выбора длины шага Х в формуле (23.14).
Для ряда нелинейных задач достаточно эффективны метод динамического программирования (метод Ф. Беллмана) 1151, методы вариационного исчисления и принцип максимума Понтрягина 1791. Обычно решение задач на ЦВМ с использованием методов математического программирования проходит в так называемом и нт е р а к т и в н о м р е ж и м е. Человек непосредственно вмешивается в машинный процесс, вносит свои коррективы в решение задачи, а ЦВМ используется для решения конкретных вариантов задач линейного и нелинейного программирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
