Том 2. Технология (1041447), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Образно можно представить, что стороны треугольника й, Ц и 11 являются жесткими балками, ко- 308 горые прикреплены к телу треугольника. Тогда действие сил дь г/2, д; может быть заменено действием сосредоточенных сил, приложенных по концам этих балок. Я;», Яи~ Яд~, Ри», Я»»ь Я»м (рис. 23.1,в). Если силы Я в каждом узле сложить, а затем разложить по осям х и у, то получим систему сил Р (рис. 23.1,г). Силы Р и напряжения сь„, о„, т е при условии, что толщина треугольного элемента равна единице, связаны между собой следующими зависимостями: [(д,' — у ).'(2Р)[ .
+ [(х —,х;)/(2Р)1,„; " Р;„= Р;„"= [(х» — х.) /(2Р)[ ое+ [(д,. — д»)/(2Р)[ ~,„; Р,.;=- [(д» вЂ” у,)/(2Р)1 ох+ [(х, — х,) (2Р)[ е,е, Ри =[(х; — ' )l(2Р)1 ъ„+ [(д» вЂ” у )/(2Р)1 ..„; Р»„= [(д, — у,.)/(2Р)] а, + [(х~ — х,)/(2Р)[ е„,; Р, „= [(х,. — х;)/(2Р)[ ее +[(у, — у,)/(2Р)1 е (23.1) где х;, д;, хь у,, х», д» вЂ” координаты точек 1, /, А; 'Р=[(х; — хг) )( )< (д» вЂ” д;) — (х» — х;) (у,— д;) ~/2 — площадь треугольника 1/й.
При нагружении тела внешними силами, например Рь Р2, ... ..., Ре (рис. 23.1,а), треугольные элементы деформируются, а их узловые точки перемещаются. Тогда 1 имеет перемещение и; в направлении оси х и перемещение и; в направлении оси у, Соответственно узлы / и й имеют перемещения иь оь и», и».
Зная перемещения узловых точек, можно вычислить деформации е„, ае, 7,„ треугольного элемента: е, = [(у,. — у») и; + (у, — у,.) и,. + (у; — д,.) и»[/(2Р); ее = [(х» — х~) и; + (х; — х») Оу + Гх — х;) О»[/(2Р); Т,„= [(х» — х,.) и; + (х; — х,) и,. + (х,. — х,) и» + + (д. — у») ос + (у» — у;) оу + (у; — у,) о»1/(2Р). (23.2) По деформациям з„е„, у,„можно вычислить также напряже- ния а„о„, тщ. В стадии упругой деформации для плоского напря- женного состояния, когда о,=О, "=2~ 1" + [р/(1 — р)[("+,)1; <~„= 20 [е„+ [1»/(1 — р)[ (е + е„)); ~~~ — — ОТ „, 6=Е/[2 (1+ц) 1, где Š— модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона. Если известны перемещения всех узловых точек, то можно по формулам (23.2) и (23.3) определить деформации и напряжения во всех элементах (треугольниках) тела.
Векторная сумма снл в каждой узловой точке равна нулю. Суммы внутренних сил в узловых точках 1, ..., б (рис. 23.1,а), к которым приложены внешние силы, равны соответственно силам Рь ..., Р5. Есличисло узловых точек У, то число неизвестных компонентов перемещений и и и будет 2М. Можно составить 2У уравнений равновесия для 309 (23.3) У узлов, проецируя силы на оси х и у. Для узловых точек без внешних сил правая часть уравнений будет равна нулю; для точек 1, 2, 3, 4, о в правой части уравнений равновесия будут внешние силы, Если в формулы (23.1) вместо ст„сгу, т,„и вместо е, е„, у „ подставить их значения из формул (23.1) и (23.2), то силы Р могут быть выражены через перемещения узлов и координаты их точек.
Для Л/ узлов имеем систему 2У уравнений равновесия для определения неизвестных перемещений. При решении практических задач число неизвестных и число уравнений могут оказаться большими. Решение таких систем уравнений выполняют методом Гаусса на мощных ЭВМ. При решении упругопластических задач методом конечных элементов процедура получения решений значительно удлиняется »(1 5 б. — л б сЬх = 20 [с1ех + [Р.,/(1 — 2)х)[ (с1е, + с1еу + с1е,)— — [(ох — оо/»Е)! [(ох — оо) с1е, + (оу — оо) с1еу — о,с1е, + +,„с1т.Л; с(оу — — 20 (с1еу+ [р((1 — 2р)1 (с1е, + с1еу+ с(е,)— — [(о, — о,)~Е[ [(о — о,) с1е +(оу — о,) с1е„— о,с1е + + еху 1т.уВ с1'оху =2»-» Ис(1(ху/2) (~худ Е) [(ох — оо) с1ех+ (оу — оо) с(еу— ос(ег + тхус1~ху]) (23.4) 310 Рис.
23,2. Диаграммы зависимости интенсивности напряжений а» от интенсивности деформаций е» (а) и от интеграла интенсивности прира»цений пластических деформаций ~ »(о;„, (6) вследствие нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями. Это не позволяет пользоваться соотношениями (23.3). Связь между перемещениями и деформациями в пластической области, та же, что и в упругой, по формуле (23.2). Соотношения (23.1) также остаются без изменений.
Если состояние какого-либо треугольного элемента соответствует точке А (рис, 23.2,а), то лишь на бесконечно малом участке АВ зависимость между сг» и в» может рассматриваться как линейная. Бесконечно малые приращения напряжений с1»т„, с)оу, с(т „находятся в линейной зависимости от приращений деформаций с(в, с(еу, с)у „: где с1 (р/(1 — 2р И (»1ох+»1'у) + (оо//-) 1(ох — оо)»)ох+ (оу — оо)»1оу+ хху»1тху! ооо/Š— р/(1 — 2р) — 1 Е=(2/3)о',. [ 1+Е,/(50)[; Е, = с(о,/'с1е,.„, — мгновенный касательный модуль упрочнения, содержание которого понятно из рис.
23.2,а, б; »т», оу, т„„ — напряжения в конечном элементе, достигнутые к рассматриваемому моменту времени; »то в среднее напряжение, равное (с» +ау)/3 для плоского напряженного состояния. Процесс нагружения должен быть разбит на большое число шагов приращения нагрузки. Нагрузка прикладывается порциями »1Р, которые вызывают небольшие приращения деформаций Ье, Лву, Лу»у. На каждом шаге задача решается аналогично упругой, по каждый раз с новыми значениями Ет, с»», с»у, т и в отдельных треугольных элементах. Продолжительность решения пластических задач обычно в десятки раз больше, чем упругих. Если рассматривать диаграмму о» вЂ” в» для идеального упругопластического металла, то Ет — — О, а с»»=»т„где с»,— предел текучести металла.
При исследовании напряженно-деформированного состояния пластин при сварке задача усложняется тем, что механические свойства металла зависят от температуры. Это приводит к некоторому видоизменению выражений (23.4). ЭВМ широко используется и для решения других задач, например определения общей и местной устойчивости с учетом и без учета остаточных напряжений, исследования релаксации напряжений при высоких температурах в связи с ползучестью металла, определения упругопластических деформаций элементов сварных конструкций при сложении рабочих и остаточных напряжений, расчетах сварочных напряжений при разнообразных условияхвыполнения сварных соединений.
$2. Задачи оптимизации параметров проектируемых конструкций Задача оптимального проектирования отдельной конструкции включает в себя комплекс различных оптимизационных проблем. Сюда входит проблема выбора конструктивной схемы, определение рациональных геометрических размеров, оптимальный подбор элементов, составляющих конструкцию, и, наконец, подбор сечений, расчет стыков и узлов. Примеры оптимизационных задач: 1.
Оптимизация сечений двутавра, швеллера, уголка. 2. Рациональное распределение материала в конструкциях статически неопределимых ферм. В этих фермах изменение сечений элементов влечет за собой перераспределение усилий между стержнями. Нужно выяснить, как распорядиться сечениями стержней, чтобы при удовлетворении условий прочности и устойчивости масса фермы оказалась минимальной. 3.
Оптимизация основных геометрических размеров конструкций. При заданной нагрузке минимизируется теоретический вес 311 конструкции путем выбора соответствующей структуры конструкций, построенной из стандартных элементов. 4. Оптимизация технико-экономических показателей и выбор параметров конструкции и ее элементов с точки зрения оптимального расхода металла. Для решения любой задачи оптимизации важна типизация элементов конструкции. Простейшими задачами унификации и типизации являются задачи о выборе ряда оптимальных параметров для серии однотипных конструкций. В задаче оптимизации определяется совокупность средств и действий, необходимых для достижения поставленной цели.
Поиск путей достижения цели составляет основную задачу теории исследования операций. Под о п е р а ц и е й понимается совокупность мероприятий, направленных на решение задачи. Одной из особенностей исследования операций является системный подход к рассмотрению предмета исследования, При с и с т е м н о м п о д х о д е элементы системы (изделия) рассматриваются во взаимосвязи друг с другом. При этом выявляются наиболее характерные факторы. Затем намечают план исследования, в частности устанавливаются последовательность и средства для решения задачи. Основной принцип методологии исследования операций состоит в создании модели операции и проведении исследований на этой модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
