Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Найти, какой компонент пространственного спектра плоского рассеивателя, описанного в задаче 9.4.2, ответствен за рассеяние назад плоской нормально падаюшей волны. Решение. Ответ иа вопрос содержится в (3.3): за рассеяние назад ответствен компонент с(2й ). Этот результат непосред. ственио следует из волнового уравнения (см. задачу 9.4.2), где источником рассеянного поля является член -С(х) д Р/д( . 2 2 Полагая в зтом выражении Ех) = ~ г(К) е 'д" дК, Р = Ро = Роехр(- йвоу' 'йох) 325 получаем — г.
— Е = и Р ехр(-(ы () ~ г(К) ехр[-((А -К) к] дК, д2 2 д(2 О О О О -и Отсюда видно, что необходимая фаза рассеянной назад волны ехр(- йв г — Й х) создается тем компонентом пространствен- О О ного спектра, для которого К вЂ” и = й, т.е. К = 2й . 9.4.5. В задаче 9.4.4 показано, что за рассеяние назад ответствен спектральный компонент неоднородности Е(2й), где и = и/с — волновое число падавшей волны.
Если в среде имеет- О ся слабая периодическая неоднородность г(х) = Р соз(2(гх), о слабые отраженные возмушеиия от каждого из слоев складываются в фазе и волна, рассеянная от всей "резонансной" неоднородности, может иметь значительную амплитуду. Иначе говоря, две волны, бегушие в положительном и отрицательном направлениях оси х, из-за многократных переотражений в слоях связаны между собой. Получить уравнения для комплексных амплитуд связанных волн. (2) Р . сР (О)-'-"~ф'=~~и Р..
Р и~-' — гй-т(п (и Решение. В условиях этой задачи уравнение Гельмгольца за. пишется так; л й й2 1 ~ ы2 [ и 2ьх + -1 ии~ 2 (1) ~х2 Р 2 В Ищем решение в виде суммы двух встречных волн: р = Р (х =(зх) е' " Р (х;-)зх) е ~в~, где Р, Р -амплитуды прямой (падающей) н обратной (рассеян- ной назад) волн, медленно изменяющиеся на расстояниях поряд- ка длины волны л = 2пй. Наличие малого параметра )г < 1, учи- тывающего медленность, связано с тем, что неоднородность предполагается слабой.
Подставляя (2) в (1), пренебрежем членами (з; собирая после этого члены прн двух экспонентах г ехр(+?ях), получаем искомую пару уравнений: 2 и'Р у + х~йче Р, у:" = т~йье Р (3) Заметим, что в (3) величина ч может предполагаться медленно зависящей от х; этот случай соответствует квазипериоднче- ской, локализованной в пространстве неоднородности. 9.4.6. Используя уравнение (5.3) для амплитуд связанных волн, найти коэффициенты отражения волны от периодически слоистой среды толщиной (.. Затем провести сравнение получен- ного результата с решением этой задачи в борновском прибли- жении.
Можно ли решить обратную задачу — определить (. по из- меренному коэффициенту отражения? Решение. Система (5.3) сводится к одному уравнению ЫР/АР— а Р =О, а=~~ой~о. Отсюда находим Р . Подставляя полученное решение в исходную систему, определим Р . Выражения для комплексных амплитуд: (2) Пусть участок неоднородной среды расположен между к = О н х ь (см. рисунок). Поставим граничные условия: Р (х = 0) Р (О) (задана амплитуда падающей волны) и Р (х = Ц = О (отраженная волна начинает формироваться толь- ко в неоднородной среде).
Этих условий достаточно для опре- деления констант С, С . Поведение амплитуд встречных волн, описываемое решением 326 К задаче 9.4.6 показано на рисунке. Коэффициент отражения и = ) Р 7Р ! - (й [' .',й~,ф (4) По измеренному (7 толшину (. периодически слоистого участка можно определить, если известна ~ -глубина модуляции неод- О нородности среды. Для решения задачи в борновском приближении подставим в правую часть (см. (5.1)) поле падаюшей волны Р (О) ехр((йх).
Отраженная волна найдется в этом случае нз уравнения второго приближения а2 (2) 1 ~ ы2 р (О) е-мх 2 (2) Г О" Решение уравнения, отвечаюшее граничному условию р )(х=Ц (2) = О, имеет вил р() = Р(х) = — (ар(0)((.— х)е'". Коэффициент отражения в борновском приближении однократного рассеяния равен (7 )Р IР ) 4-с й~ (.. (5) Сравнивая (5) с результатом (4), учитываюшим многократное рассеяние в слоистой неоднородности, видим, что борновское приближение справедливо при (7 « 1.
В частности, при (. ~ м из (5) следует неограниченный рост коэффициента отражения, хотя очевидно, что (7 — 1. Этого недостатка лишен результат (4), для которого (7((.-зез) з 1. 9.4.7. Рассеиватель — периодическая неоднородность скорости звука Ч = с — с (х) = е сов(7(х), локализованная при 327 (2) приведеы ураВнение к виду пыа О р = 2ид(Ь-й )+ — (р(НК)+ р(й-К)1. О й2 22 (8) О В борновском приближении 2я и~о р = 2но(й+йо) + 2 2 гб(й+й ьК) + Ь(й-я -К)) (4) А -я О Проинтегрировав (4) по малой окрестности точек +)го, получим выражения для амплитуд плоских волн частотой ы, бегущих и прямом и обратном направлениях внутри рассеивателя. 9.4.8.
Борновский рассеиватель представляет собой слабое возмущение скорости звука, с(г) = ы (с — с (г)1. Пока- 2 -2 -2 зать, что при облучении его плоской волной Ро Ро ехй ( йвог бк «»' ~ к ) ыо/со' рассеянное поле в дальней зоне пропорционально фурье-образу ь. (К, -к ), где и — волновой вектор рассеянной плоской волны. Решение. Пусть )( — расстояние между началом координат, 0 расположенным внутри рассеивателя, и удаленной приемной апертурой У (см.
рисунок). В дальней зоне расстояние между текущей точкой объема и точкой наблюдения (у- '("(у(-Ут'/)у( = г — 'й,/й, -Е < х ~ (.. Он облучается монохроматической нормально падающей волной р = Ро ехр (- йа г ~ й х). Применив к уравнению а Липпмана-Швиигера преобразование Фурье, исследовать поведение пространственного спектра поля внутри рассеивателя (при С .+ м) в двух случаях: а) точного решения уравнения рассеяния; б) решения в борновском приближении. Решенье. Исходное уравнение имеет внд ехр ((яо)х-х' )) хч .
Ч*) ° ( — т)г — (*') и ') а'. (1) 2 где с = и с. Устремляя (. к бесконечности и применяя к (1) преобразование Фурье, получаем 2 2 Рю(~)'(~с ~) )с(~ й )Р(~ )~" -м Здесь использовано выражение (1.3.1) (й — й ) для фурье- 2 2 — 1 образа функции Грина. Подставляя в (2) значения Р = 2яб("~до)' с = яыачо(б(й'К)'б(й К)) К задаче 9.4 а Фудкция Грина при этом имеет вид -р«йо)19) тесз=.т " — знг; — '"П- '"...") Для рассеянного поля в дальней зоне получим р(у,аО) — ро(у,еэо) - ~ехр(- ай г') Е(г') ехр(й г') Иг' = с(к -к ). (1) 9.4.9.
Рассмотреть двумерный вариант предыдущей задачи прн следующих схемах интроскопического эксперимента: 1) облучение производится единственной плоской волной, а рассеянные волны регистрируются в дальней зоне по всем направлениям (волновые векторы описывают окружность радиусом рас - ы /с ); х) облучение производится волнами со всех направо О' лений (векторы падающих волн описывают окружность радиусом = ы /с ), а рассеянное поле измеряется только по одпад П О' ному направлению.
Какова информация о рассеивателе, получаемая в обоих случаях? Решение. Несложно показать, что связь Г8.1) между расСеяииым полем и пространственным спектром неоднородности справедлива и в двумерном случае. В результате экспериментов первого типа удается получить информацию о пространственном спектре рассеивателя с(й) на окружности радиусом ы /с~, сдвинутой иа — (г относительно начала координат в импульспад ном пространстве (см. рисунок а). В экспериментах второго типа, "закрепив" вектор й и вращая вектор облучающего порас ля й, получаем информацию об е(й) на окружности такого же пад' радиуса, но сдвинутой на й относительно начала координат рас 329 а К задаче 9.4.9 (см. рисунок б).
Эти окружности совпадают в двух точках, одна из которых †нача координат. 9.4.10. Облучение борновского рассеивателя производится плоскими волнами фиксированной частоты со всевозможных направлений. Дальнее рассеянное поле также фиксируется по всем направлениям. Какую информацию о пространственном спектре рассеивателя можно получить в таком эксперименте? Какова степень избыточности этой информации? Решение. Из задачи 9.4.9 следует, что при фиксированном и всевозможных направлениях (с спектр рекоиструируетпаа рас ся на окружности (см.
рисунок а к задаче 9.4.9). Варьируя затем направление волнового вектора (с зондирующей волны, паа получим круг удвоенного радиуса ((с) — 2ы /с . Для всех внутри круга избыточность информации двукратная; избыточность отсутствует для значений (к( = 2ы /с и равна беско- О' О вечности для ( к ) = О. 9.4.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
