Гурбатов С.Н., Руденко О.В. - Акустика в задачах (1040518), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вместе с тем внутреннее поле (2) никогда в нуль не обращается. 9.2.5. Уравнение Даламбера С1р(г, 1) = 0 в трехмерном про- странстве описывает поле заданных источников единственным образом (предполагается, что выполнено условие излучения). 11 Следуя логике задачи 9.2.3, указать способ построения "неизлучающего излучателя", локализованного в ограниченном трехмерном объеме 9.2.6. В области ненулевого объема (на приемной апертупе), удаленной от области распределенных источников, акустическое поле измерено с идеальной точностью (отсутствуют как шумы, так и ошибки измерения). Можно ли создать алгоритм, инавртдрующий измеренное поле, т.е, осуществляющий сколь угодно точное его продление.
6) зд пределы приемной апертуры, б) в области локализапии источников? Ответ. а) Да В точке, не принадлежащей области локализации источников, поле описывается однородным уравнением Даламбера, Зная поле внутри приемной апертуры, его можно продолжить за ее пределы, например, с помощью разложения в степенной ряд. б) Нет. Если бы такое продление было возможным, то, применив к полю внутри области источников оператор С1, можно было бы однозначно восстановить источник. А это, как следует из задач 9.2.1-9.2.5, невозможно. Дело в том, что на прием ной апертуре и в области источников поле описывается двумя разными уравнениями (однородным и неоднородным).
Переходя гранину раздела, поле теряет свойство аналитичности †производныс терпят разрыв. 9.2.7. Для решения обратной задачи излучения было осуществлено аналитическое продление измеренного поля яа все пространство. Затем в области, где, по предположению, должен находиться излучатель, к продленному полю применен оператор Даламбера. Тем самым был определен источник Г с1 р.
Как о .соотносится Г с истинным источником измеренного поля? Ответ. Никак. Аналитическое продолжение поля подчиняется всюду однородному уравнению Даламбера. Следовательно, Р— = О, о а все отличия от нуля связаны с ошибками измерения и обра,ботки результатов. 9.2.8. Пусть Е (г,()-"неизлучающий излучатель", локалио зованный в области )(. Показать, что поле внутри Я тождественно обращается в нуль, только если Е нО. о Ответ. Если бы существовал источник г" и О, создающий нулевое поле р = О в области )? своей локализапии, то в области 7? было бы невозможно удовлетворить уравнению пр = Р . о' 9.2.9. Показать, что следствием интегральной формулы р(г,ы) = й — ) (р(г',ы) в — — С й-„-р(г',ы)~ И5' (1) 5 Кирхгофа для уравнения Гельмгольца является неединственность решения обратной задачи излучения (5 — поверхность, охватывающая источники и отделяющая их от точки наблюдения г, и— внешняя нормаль к поверхности, 6(ы, г-г') — функция Грина).
Ответ. Смысл формулы (1): если на поверхности 5 разместить монопольные источники с плотностью др/да и дипольиые источники с плотностью р, то поле в точке г совпадет с полем истинных источников. Таким образом, комбинация (1) монопольных и дипольных излучателей создает внешнее поле, неотличимое от поля истинного источника. 9.2.10. Можно ли сделать излучающую систему, которая создает монохроматическое поле во всем пространстве, за исключением области У конечного объема, в которой р м О? Ответ.
Можно. В соответствии с задачей 9.2.9 система может состоять из объемного излучателя, а также поверхности 5, охватывающей ту область У пространства, в которой следует обнулить поле. Взяв в формуле (9.1) обратный знак, получим гашение поля всюду внутри 5. Таким образом, для гашения потребовалось окружить область У источниками. Примером такой ситуации в одномерном случае служит задача 9.2.2. 9.2.11. Имеются две области конечного объема: )? (в которой локализованы источники) и У (непрерывная приемная апертура).
Можно ли в )? создать распределение источников, создающих ненулевое поле во всем пространстве, за исключением области У, где р и О? Ответ. Нет. Лоле внутри У подчиняется однородному уравнению Даламбера и, следовательно, аналитично. Коль скоро р и 0 в конечной области У, оно должно быть тождественным нулем во всем пространстве (за исключением области Р, на границе которой аналитичность нарушается). Отсюда важное следствие: нельзя создать излучатель, зондирующий избранные области среды и ие облучаюший иные, не интересуюшие нас участки пространства.
9.2.12. Существуют лн излучатели, создающие поле в трехмерном пространстве, за исключением двумерных поверхностей, поле на которых обнуляется? Ответ. Да: диполь, поле которого на плоскости, перпенди- кулярной оси диполя и проходящей через его центр, равно нулю. 9.2.13. Объяснить, почему похожие задачи 9.2.11 и 9.2.12 имеют противоположные по смыслу ответы.
Огаег. Обнуление поля в области у ненулевого объема фак- тически означает, что в любой точке внутри У в нуль обраща- ется не только поле, но и все его производные. В задаче 9.2.12 требование менее жестко: поле может равняться нулю на поверхности, обладая на ней ненулевыми производными, что позволяет продолжить его на остальное пространство. 9.2.14. Показать, что в пространственном спектре "неизлу- чающего излучателя" отсутствуют плоские волны с волновыми векторами к, модуль которых я = )г = и lс о о о.
Решение. Исходя из задачи 9.2.3 легко показать, что любой неизлучаюшнй источник можно представить как Р = Ор, где Р— о гладкая локализованная в области )? функция. Имея это ввиду и переходя в волновом уравнении (1,1.2) к спектру по плоским волнам с Р(г г) 1) 1 Г Г Р(к ы) — 1ехр(-!Ш+ Гйг) Йэ йй, получим Р = ()г -я ) р. Отсюда следует, что Р = 0 при х 2 = й .
Поведение спектров источников и полей на "сфере Эвальо' да" й = й в (г-пространстве играет очень важную роль в зада- О чах излучения и рассеяния воли. Оно связано с такими поняти- ями, как диаграмма направленности, дальняя или волновая зона. 9.2.15. В разделе 9.1 найден ряд интегральных операторов, обратных дифференциальным волновым: гельмгольциану, даламбе- риану, дифференциально-матричному оператору уравнений линей- ной акустики По построению эти операции эквиваленты: диффе- ренциальные операторы переводят поля в источники, интеграль ные — источники в поля.
Взанмнооднозначны ли эти преобразова- ния? Как понимать неединственность решения обратной задачи излучения в терминах операторных преобразований "поля-источ- ники" н "источннкн-поляГ? Решение. Если поле известно во всем пространстве, для оп- ределения источников (единственным образом) к полю нужно применить дифференциальный оператор. Справедливо и обратное. Если заданы источники, для вычисления поля к ним нужно при- 310 менить соответствующий интегральный оператор. При этом условия излучения выполняются автоматически введением функции Грина с волновым числом, обладающим малой положительной мнимой частью, отвечающей слабому затуханию волн в среде.
Преобразования полей в источники н обратно взаимно однозначны. Неоднозначность решения обратной задачи излучения возникает из-за того, что поле измеряется не во всем пространстве, а лишь на ограниченной приемной апертуре, удаленной от области локализации источников (см задачи 9.2 3, 9.2.5 — 9.2.13).
9.2.16. Излучающая пластина толщиной г(, рассмотренная в задаче 9.2.1, возбуждает гармонические сигналы многих частот и = лы с неизвестными амплитудами А(ы ), и = 1, 2, 3, „. л О л' (см. рисунок). Предполагается, что спектральные линии распо- К задаче 9.9 16 ложены близко друг от друга н ы к пс Ы Можно ли опреде 0 лить толщину пластины и амплитуды гармоник по измерениям излучаемого поля) Решение.
Эта задача †прост пример диагностики механизмов, работа которых сопровождается излучением звука. Как следует из формулы (1 1), амплитудно-частотная характеристика излученного поля В(ы ) есть амплитудно-частотная характе- л рнстика источников А(ы ), промодулированная функцией л' 311 (з( п(ли г(/с ) )/(пы /с, ) . Поэтому амплитудно-частотцая ха- 2 рактернстика поля, нзмеренного за пределами пластнны, содержит провалы в окрестностях частот ппсо/г( (отмечены скобками на рисунке). Интервал между провалами связан с толщиной пластины г( и может быть оценен в результате статистической обработки амплитудно-частотной характеристики В(и ).
Определив а' можно оценить н А(ы ) для любой и, не совпадающей нн с Л П' одной из частот провала. Единственность решения данной задачи обеспечивается апрнорной информацней (заведомо известно, что излучатель-пластина) и тем фактом, что излучается множество частот. Интересно, что именно наличие "нензлучаюгдих излучателей", ответственных за провалы в амплитудно-частотной характеристике, позволяет оценить 0. 9.2.17. Лазерный импульс падает из воздуха на водную поверхность, вблизи которой сосредоточены плоскопараллельные слои примесей, поглощающих свет. Тепловое расширение слоев возбуждает акустический нмпульс.
Процесс его распространения описывается одномерным уравнением Даламбера (см. (1.1.2)) с граничным условием р(х-О, 1) О (свободная поверхность воды). Правая часть Р (х,() = Х'(х) Т(1), где Т вЂ” форма лазера ного импульса, а Х' — распределение источников по глубине. Изучнть возможность реконструкпии Х'(х) по измерению формы акустического импульса (Х' есть производная Х(х) — зависимости коэффициента поглощения света от глубины, которой характеризуют, например, загрязненность верхних слоев акватории). Решение. Задачу со свободной границей можно свести к задаче в безграннчной среде, продолжив Х'(х) на область хчО нечетным образом. С учетом мнимых источников, излучающих в противофазе с действительными, пространственное распределение Р'(х) = (26(х)-1) Х'(х), где Π— единичная "ступенька" Хевнсайда.
Далее совершим преобразование Фурье по времени н перейдем от (1.1.2) к одномерному уравнению Гельмгольца ~(2 — р(х,ы) + lг р(х,ы) = Т(ьз) Р'(х). (1) ,1 2 Здесь р, Т-спектральные амплитуды функций р, Т; А = ы/с . о' Решение (1) можно записать с использованием функции Грина: 4 р . г)гж~(екпг[*') ь, (2) -в' 312 где и' — суммарная толщина излучающих приповерхностных слоев; при к» И функции Е'(х) и Е(к) обращается в нуль (см. (1.2.1)). В области х» г( решение (2) приобретает вид и 4 р = ' " ~ ' " <(Е(х') = е' ' )гЕ(х') е '"" т(х' — 2-Д е -4 Последний интеграл, полученный интегрированием по частям, представляет собой 2пЕ(л) — фурье-образ функции Е(х).
Итак, найдена спектральная амплитуда давления за пределами излучающих слоев: р = и Т(и) Е(л) ехр((лх). Выполняя теперь обратное преобразование Фурье, получим р(х,() = 2 ~ Т(ы) Е[ — ~ ехр~ — йд)Гг — — "~~ г(ы = = 2 ~ Т(1') Е~ о(1- Н - — ")~ ж'. (3) Результат (3) принимает наиболее простой внд, когда лазерный импульс имеет очень малую длительность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
