Хорошев А.Н. - Основы системного проектирования технических объектов (1037544), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Разработка методов выбора оптимального принципа действия пока относится к задачам перспективных исследований: еще не известны такие методы и критерии, которые бы позволили на основе ограниченного числа данных, которое соответствует этому уровню описания объекта, дать полную и точную картину его поведения в реальных условиях и позволить выбрать предпочтительный принцип действия.

Решение задачи структурной оптимизации более реально. В ее основе могут лежать представление структуры в виде графов, сравнительный анализ структур на основе ограниченного числа структурных параметров, объединение исследуемых структур в одну, обобщенную. Но неполнота учитываемых данных не позволяет однозначно указать на лучший вариант, и выводы носят рекомендательно-оценочный характер.

Наиболее разработаны математические методы параметрической оптимизации, т.е. методы поиска оптимальных параметров объекта в рамках заданных его принципа действия и структуры.

Основой для поиска оптимального варианта служат правила (критерии) оптимальности, а мерой предпочтения — показатели качества. Показатели могут иметь либо количественную оценку (формализованные показатели), либо качественную характеристику (неформализованные показатели). В задачах параметрической оптимизации используют формализованные показатели, которые также называют критериями оптимизации (критериями эффективности объекта). Но стоит помнить, что назначение количества и типов критериев осуществляется человеком, что придает им эвристический характер. А с другой стороны, критерии определяют конечный вид проектируемого объекта, и, следовательно, случайный их выбор ведет к случайным и неэффективным результатам (хотя эти результаты могут быть получены на основе многократно проверенных и общепринятых методик).

Для удобства и однозначности восприятия критерии К_i (где i=1,..., m и m — число критериев) нормируют, т.е. обычно приводят к следующему виду:

• К_i ≥ 0;

• критерии К_i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование);

• предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду;

• наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые (К_i = 0), соответствует ИКР.

Диапазон изменения параметров {х} объекта всегда ограничен их физическим смыслом, материальными ресурсами, условиями задачи (например, положительность величин геометрических размеров, изменение КПД от 0 до 1, стандартные значения шага резьбы и т.п.). Поэтому реальные варианты решений P_j (где j=1,..., n и n — число возможных решений) занимают некоторую конечную допустимую область в пространстве их параметров Мд(х). Однако огромное число параметров, которое характеризует любой объект, делает сложной для восприятия и ненаглядной работу в таком пространстве. Чаще анализ и принятие решений ведут в пространстве критериев Мд(к), являющемся частным случаем пространства параметров.

На рис. 7а показан пример множества из пяти допустимых решений Мд(к)= { P_A, P_B, P_C, P_D, Pe }= {P_j} в пространстве двух критериев {К₁ , К₂} (вектора решений, за исключением P_B , на рисунке не показаны). Каждому решению P_j соответствует свой набор критериев, т.е. P_j={К_ij}. Множество допустимых решений может быть дискретным (рис. 7а), либо непрерывным (рис. 7б).

Рис.7. Множество допустимых решений Мд (к) в пространстве критериев: а — дискретное, б — непрерывное

Характеризуя объект, сложно выбрать такой один критерий, который бы обеспечил всю полноту требований. А стремление к всеобъемлющему решению и назначение большого числа критериев сильно усложняет задачу. Поэтому в разных задачах количество критериев может быть различным. Задачи однокритериальной оптимизации называют скалярными, а многокритериальной — векторной оптимизации. Последнее название объясняется тем, что решение можно изобразить как бы вектором P в пространстве критериев.

Распространен принцип сведения решения задачи оптимального проектирования объекта-системы к оптимизации его подсистем. Однако наличие нелинейных связей между подсистемами не гарантирует оптимальности всей системы.

Рассмотрим основные методы принятия решений в задачах параметрической оптимизации.

3.3.4.2. Однокритериальные задачи

Поиск решений в однокритериальных задачах (задачах скалярной оптимизации) зависит от вида математической модели и описывающих ее выражений. Это могут быть задачи:

• поиска экстремума алгебраической функции-зависимости критерия от параметров объекта К = f(х). Для задачи с плавным изменением функции экстремум находится дифференцированием. Решение — конкретное численное значение;

• вариационного исчисления, если критерий описывается функционалом, т.е. интегралом от выражения, зависящего от параметров, их функции и производных. Решение имеет вид функциональной зависимости (аналитического уравнения), например, уравнения формы поверхности равнопрочного вала, закона нагружения;

• линейного программирования, когда критерий и условия, накладываемые на решение задачи, являются линейными функциями параметров (равенства или неравенства). Решение — численное значение;

• нелинейного программирования;

• полного или частичного перебора.

Поведение параметров реального объекта достаточно сложно: часть может принимать только целые (например, число зубьев) или дискретные (например, стандартные величины шага резьбы) значения, связи между параметрами выражаться нелинейными или кусочно-нелинейными зависимостями, оптимизируемые функции иметь один или несколько экстремумом или вид террасных функций (например, при плавном увеличении нагрузки, растягивающей болт, величина его диаметра, определяемая из условия прочности, возрастает скачками, от одного стандартного значения к другому) и т.п. В таких случаях используют компьютерные модели, и решение выбирают на основе сравнения величин критерия, полученных для вариантов, рассчитанных с учетом всех или части возможных значений параметров.

3.3.4.3. Задачи многокритериальной оптимизации

В большинстве случаев абсолютно лучшее решение выбрать невозможно, так как при переходе от одного варианта к другому (например, от P_A к P_B ) улучшаются одни критерии (на рис.7а — К₂), но ухудшаются другие (К₁). Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным.

Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.

В задачах многокритериальной оптимизации поиск решений возможен рядом способов.

Выделение области компромиссов и отбрасывание заведомо неудовлетворительных решений.

Множество допустимых решений М_д(к) разделяется на множество худших М_х(к) и множество нехудших М_нх(к) решений. Худшим считается такое решение, если можно найти другое решение, значения критериев у которого не хуже (такие же) или лучше, чем у рассматриваемого. Решение, для которого из множества допустимых решений нельзя найти ни одного лучшего по всем критериям, называется нехудшим. Так, для множества, представленного на рис. 7а: множество худших решений М_х(к)={ P_D, P_E } и множество нехудших решений М_нх(к)={P_A, P_B, P_C }, поскольку, например, у решения P_B ={К_1В , К_2в} значения всех критериев лучше, чем у решения P_D ={К_1D, К_2D}. С другой стороны, решение P_А по сравнению с решением P_В лучше по критерию К₁, но хуже по критерию К₂ .

Пусть К₁ — стоимость изделия в рублях, К₂ — масса этого же изделия в килограммах.

Имеется три варианта решений: P ₁={4, 4}, P₂={8, 1}, P ₃={7, 6}. Очевидно, что решение

P₁ лучше решения P₃ по всем критериям и без ущерба решение P₃ можно отбросить.

Выбрать лучшее из решений P₁ и P₂ затруднительно: по стоимости выгоднее первое решение, а по массе — второе.

Графически множество нехудших решений соответствует части граничных точек множества допустимых решений, которые находятся между точками касания линий, параллельных осям координат (при условии, что критерии убывают с улучшением решения). На рис.7б — это точки отрезка АВСБ границы области Мд(к). В пространстве параметров множество нехудших решений уже не обязательно будет лежать на границе множества допустимых решений М_х(к), а распределяется по всему пространству.

Множество нехудших решений еще называют неулучшаемым: замена одного решения из этого множества на другое ведет к улучшению одних критериев и обязательному ухудшению других.

Математический алгоритм выбора нехудших решений основан на использовании бинарных отношений предпочтения теории принятия решений. Смысл бинарных отношений заключается в последовательном попарном сравнении элементов в соответствии с установленным правилом предпочтения. Так, предпочтительность решения P_D по отношению к решению P_E (рис.7а) условно записывается как P_D R P_E или P_D > P_E. Обычно для поиска множества нехудших решений используют отношения предпочтения Слейтера или Парето, последние — чаще. Математическая запись отношений предпочтения Парето (фамилия итальянского ученого-экономиста, введшего в начале 20-х годов 20-го века это понятие) имеет вид: P_D P P_E , т.е. решение P_D ={К_1D,..., К_mD} лучше решения P_E ={К_1Е,..., К_mЕ} только тогда, когда К_iD ≤ К_iЕ (i=1,...,m), причем хотя бы для одной сравниваемой пары критериев (например, при i=l) имеет место строгое неравенство К_1D < К_1Е. Множеству Слейтера (области Слейтера) графически соответствует отрезок ABCD на рис.7б, в состав которого входит горизонтальный участок BC, а множеству Парето (области Парето) — участки AB и CD.

Область Парето — это область компромиссов: все решения здесь равнозначны, а окончательный выбор решения связан с введением дополнительного условия, часто — субъективного характера. Поиск решений, оптимальных по Парето, позволяет объективно сократить область возможного выбора, причем наибольшее усечение области допустимых решений достигается при назначении двух критериев. При увеличении числа критериев эффективность этого метода падает. Целесообразен одновременный учет 2...5 критериев.

Замена критериев ограничениями и последующий поиск решений в области, задаваемой этими и ранее заданными ограничениями.

Например, задачу минимизации массы и потерь энергии изделия можно свести к задаче проектирования изделия, у которого потери не превысят, допустим, 5% , а масса — 10 кг. Если в полученной области будет находиться несколько решений, то ограничения можно ужесточить (скажем, ограничить предельную массу 6 кг). Если же решений нет, то ограничения смягчают.

Сложность такой задачи — в удачной ее постановке, т.е. в быстром усечении области до одного решения при минимальном влиянии субъективных факторов, связанном с выбором ограничений. Введение ограничений (например, К₁¹ и К₂¹ в пространстве двух показателей качества, рис.7а) соответствует выделению прямоугольной области, и очевидно, что лучшим решением будет оказываться одно из нехудших (из области Парето).

Сведение задачи к однокритериальной и последующее ее решение методами скалярной оптимизации.

Такое сведение осуществляется на основе введения дополнительных предположений о взаимосвязи и взаимозависимости учитываемых в задаче показателей качества. Выбор конкретного способа сведения зависит от многих обстоятельств, таких как квалификация специалистов, объем и достоверность имеющейся в их распоряжении информации, срочность решения, степень ответственности за получаемый результат. При этом следует учитывать, что характер решения меняется и со временем (то, что выгодно сегодня, может быть разорительным завтра).

Сведение задачи к однокритериальной проводится посредством выбора одного критерия из нескольких, введения общей единицы измерения для всех критериев, свертки нескольких критериев в один и другими методами.

- Выбор из рассматриваемого перечня критериев одного, главного, который отражает наиболее существенные свойства исследуемого объекта. Выбор основывается на опыте разработчика или на мнении экспертов. С оставшимися критериями поступают следующими способами:

• заменяют их ограничениями, которые при необходимости ужесточают или смягчают;

• ранжируют критерии, т.е. упорядочено располагают по степени важности характеризуемых свойств. Например, К₁> К₃ >(К₂, К₅) > K₄ ... , что означает, что критерий К₁ важнее всех остальных (главный), из которых более важный — К₃, из оставшихся критериев более важны К₂ , К₅ , в свою очередь, равноценные друг другу, и т.д. Далее выбирают решение при главном критерии, вводя пороговые ограничения на остальные или же вообще их не учитывая. Если решений оказывается несколько, то лучшее из них выбирают на основе второго по важности критерия из ранжированного ряда, и т.д.

- Введение общей единицы измерения критериев. В качестве такой меры часто выбирают стоимость достижения того или иного уровня качества, будь то снижение массы и потерь энергии, современный дизайн и т.д. Т.е. для каждого варианта объекта, характеризуемого своим уровнем качества, подсчитывают (или оценивают), с одной стороны, расходы на производство, эксплуатацию и утилизацию, а с другой стороны — доходы от использования. По величине экономической эффективности (разности доходов и расходов) делают вывод о предпочтительности вариантов.

- Свертка векторного критерия, т.е. замена рассматриваемых критериев одним новым, называемым функцией полезности или целевой функцией. Выбор целевой функции сложная задача:

• нужно числено оценить, а не только ранжировать каждый критерий;

• нужно объединить критерии, которые имеют, как правило, разную размерность (например, рубли, килограммы, проценты и т.д.);

• нужно объединить критерии, величины и диапазоны изменения которых могут существенно разниться (например, потери измеряются сотыми долями, что несравнимо меньше величины, допустим, массы, измеряемой десятками и сотнями килограммов);

• сложно, а иногда и невозможно найти численную меру показателя качества. Например, такие неформализуемые показатели, как степень красоты, удобство работы;

• величины разных критериев могут определяться с различной достоверностью. Так, например, если масса изделия оценивается достаточно точно, то надежность задается заметно грубее.

Грамотное выполнение свертки с получением максимально достоверного результата достигается тщательным проведением предварительных исследований, привлечением знаний и опыта специалистов-экспертов. Методы постановки задач векторной оптимизации подробно изложены в книге Кини Р. Л. и Райфа Х.

Характеристики

Список файлов книги