Хорошев А.Н. - Основы системного проектирования технических объектов (1037544), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

В качестве целевой функции f часто используют:

• аддитивную функцию, т.е. функцию, подсчитываемую для каждого варианта (j = 1, ... , n) решения как сумму отдельных критериев (i = 1 , ... , m) с учетом их относительной важности λ_i, т.е. fj = Σλ_i·К_ij . Коэффициент &lambda_i называется весовым. Обычно принимают Σλ_i = 1;

• мультипликативную функцию, т.е. функцию, подсчитываемую как произведение отдельных критериев с соответствующими степенями λ_i , т.е. f_j = П(К_ij) ^λi.

В пределах решения одной задачи должен соблюдаться единый подход к подсчету целевой функции.

Рассмотрим такой показатель качества как компактность. Под ним обычно понимается совокупность минимизируемых критериев — габаритных размеров, допустим x,y,z . Тогда целевой функции компактности в аддитивной формулировке f_a=x+y+z будет соответствовать периметр, а в мультипликативной — f_м=xyz, т.е. объем.

Чаще используется аддитивная целевая функция, поскольку ее применение позволяет применять более простой и хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования.

Входящие в целевую функцию отдельные критерии обязательно нормируют, т.е. приводят к безразмерному виду и устанавливают интервалы изменения от 0 до 1. Назначение величин весовых коэффициентов обычно проводят методом экспертных оценок. Для этого суммируют (с учетом опыта и квалификации) индивидуальные оценки каждого из группы экспертов. Учет многих мнений позволяет снизить влияние эвристичности решений и волевого подхода отдельных экспертов.

Применение различных подходов (что видно из примера) может приводить к разным результатам. Это еще раз подчеркивает важность в задачах многокритериальной оптимизации тщательности формулировок и подготовки данных, строгого обоснования вводимых предположений.

Графически в пространстве показателей качества применение целевой функции означает поиск точки касания N границы множества допустимых решений с линией, задаваемой этой функцией, при параллельном ее смещении от начала координат (если функция цели минимизируется) или из бесконечности к началу координат (если функция максимизируется). На рис. 8 сказанное поясняется на примере двухкритериальной задачи с непрерывным множеством допустимых решений М_д(к).

Рис. 8. Положение оптимального решения N при свертке векторного критерия

Аддитивной целевой функции соответствует прямая линия (рис. 8а), угол наклона которой определяется соотношением величин весовых коэффициентов и способом нормирования критериев. Оптимальному решению соответствует точка касания N, если функция цели минимизируется, и точка N' — если максимизируется. Положение точки касания при изменении угла наклона может меняться в пределах дуги АD множества Парето, т.е. оптимальное решение является одним из решений из множества Парето.

Мультипликативной целевой функции соответствует кривая линия (рис.8б, принято, что функция цели минимизируется), форма которой определяется соотношением величин весовых коэффициентов и способом нормирования критериев.

Решения, соответствующие точкам A и D, получаются в случае ранжирования критериев и последующего рассмотрения только одного из них.

В некоторых случаях, если область нехудших решений ограничена извилистой линией, поиск с помощью функции цели может дать нескольких оптимальных решений (рис.8в).

Недопустима свертка показателей безопасности или их отбрасывание при ранжировании.

3.3.4.4. Принятие решений в условиях неопределенности

Условия неопределенности могут быть следствием недостаточности сведений о задаче (например, на начальном этапе проектирования) или качественного представления показателей, т.е. когда неизвестно их точное значение. При принятии решения в таких ситуациях применяют следующие методы приближенной оценки вариантов с последующим выбором лучшего (на примере четырех изделий Р₁ ... Р₄ по показателям качества стоимость, масса, потери энергии и надежность).

1. Оценка вариантов решений в случае отсутствия численных значений критериев (качественное представление показателей). Составляют таблицу и по каждому показателю качества (в столбце) «плюсом» отмечают решения, имеющие явные достоинства. Ячейки непомеченных решений остаются свободными или же в них заносится «минус». При колебаниях, сомнениях или нерешительности при оценке какого-либо решения в соответствующей ячейке можно поставить «плюс-минус». Далее, по каждому варианту (строке) суммируются все плюсы, и по их количеству дается заключение о его качестве. Для данных, приведенных в таблице, лучшим будет признан третий вариант.

2. Уточненная оценка вариантов решений (численные значения критериев отсутствуют). По каждому показателю (в столбце) всем вариантам проставляются баллы, начисляемые, например, по пятибалльной системе:

• 0 баллов ставится, если вариант совершенно неудовлетворительный,

• 1 балл, если вариант допустим,

• 2 балла, если вариант обычный, удовлетворительный,

• 3 балла, если вариант хороший,

• 4 балла, если вариант отличный.

Для учета дополнительных оттенков можно ввести систему с увеличенным числом баллов. Далее, по каждому варианту (строке) баллы суммируются. Лучшим принимается тот, у которого сумма баллов будет наибольшей. В следующем примере таким является третий и четвертый варианты.

Возможен учет степени значимости каждого показателя качества: к таблице снизу добавляется строка, куда заносятся их весовые коэффициенты X _i , а при суммировании баллы учитываются со своими весами (способ оценки весовых коэффициентов показан в п.4). Результаты соответствующего подхода представлены в таблице. Здесь лучший — второй вариант.

3. Оценка вариантов решений на основе их ранжирования. В таблице по столбцам указывают места, которые варианты занимают в ранжированном ряду при рассмотрении по каждому показателю отдельно (первое место — наилучшее). Если варианты равнозначны, то места назначают одинаковыми. Далее, по каждому варианту (строке) суммируют занимаемые ими места. Лучшим принимается тот, у которого сумма мест будет наименьшей. В следующем примере таким является третий вариант.

4. Формализация качественных показателей или оценок. С целью повышения достоверности субъективных выводов предлагают различные методы, в большинстве основанные на использовании экспертных оценок. Приведем описание одного из них, достаточно простого и распространенного, — метода бинарных сравнений. Метод основан на том, что сравнить между собой два варианта и выбрать из них предпочтительный проще, чем одновременно сравнивать три и более варианта.

4.1. Оценка вариантов решений. Составляется матрица сравнений, своя для каждого свойства или показателя качества. Названия сравниваемых вариантов Р₇ — располагаются в левом столбце и верхней строке таблицы. Затем заполняются ячейки таблицы, пользуясь следующим правилом: если вариант, расположенный в строке, предпочтительнее варианта, расположенного в столбце, то в соответствующей ячейке (пересечении строки и столбца) записывается 2 (например, если вариант-строка Р₂ предпочтительнее варианта-столбца Р₁). Если же наоборот, вариант, расположенный в столбце, предпочтительнее варианта, расположенного в строке, — записывается 0. Для равноценных вариантов в ячейку вносят 1.

Очевидно, что главную диагональ матрицы будут составлять единицы, поскольку это ячейки сравнения вариантов самих с собой (Р₁ и Р₁, Р₂ и Р₂ и т.д.). Также достаточно заполнить только одну из частей матрицы, отделенной главной диагональю: решения в симметричных ячейках (12–21, 13–31 и т.д.) противоположны (2–0 либо 0–2).

Характеристики

Список файлов книги