Континуум и бесконечности (1033148), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

- на бесконечную математическую величину, трансфинитное число или порядковый тип, которое наше мышление может постигнуть как абстракцию;

- это бесконечное существует не только в ноуменальном мире, но и в материальном;

- абсолютную бесконечность, воплощённую в не мировом бытии, т. е. в Боге.

В двух первых категориях он представляет бесконечное родственное конечному.

Затем он пытается построить актуальную бесконечность через потенциальную бесконечность: «Между тем, бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков »[66, с. 263]. Ни логически, ни математически не вытекает существование в потенциальной бесконечности нового вида чисел. Бесконечные числа как раз и образуют предмет исследования от нашего произвола и зависят от нашего предрассудка. Поэтому

³- актуальная бесконечность не дана (лат.).

⁴ - категорематическая (актуальная) или простейшая бесконечность есть количественно беспредельное множество (лат.) (перевод мой  Е. Ч.).

5 - во внемировом вечном и всемогущем Боге или в творящем начале (лат.)

⁶ - в конкретном или в сотворенной природе (лат.)

многие выдающиеся математики: Ж. Л. Лагранж, Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Г. Л. Ф. Гельмгольц, А. Пуанкаре и др. не приняли построение актуальной бесконечности при помощи потенциального числового ряда.

Ещё до Г. Кантора учение о бесконечных множествах (гомеомерия) впервые ввёл Анаксагор[69]. Исходя из тезиса «каждый элемент бесконечно делим в своём собственном качестве», он создал гомеомерическую бесконечность:

w^w,

где:

w - бесконечное число разнокачественных элементов,

^w - бесконечное число качеств единичного элемента.

Гомеомерия есть бесконечность элементов данного типа, содержащих в себе бесконечность частичных элементов, тоже сохраняющих свой собственный тип[69, с. 297].

Если гомеомерическая бесконечность Анаксагора относится не только к количеству, но к качеству элементов, то Г. Кантор попытался сосчитать несчетный количественный континуум пространства чистого качества при помощи счетного пространства чисел. В основе его учения лежат два постулата:

- бесконечное есть бесконечное количество;

- бесконечное количество есть бесконечное множество.

Кроме того, он стремился дать математическое обоснование философского учения о бесконечности. Для этого он ввёл в науку так называемое трансфинитное число w, которое является «пределом, к которому стремятся числа n, если понимать под этим лишь то, что w должно быть первым числом, которое следует за всеми числами n, т. е. которое можно назвать большим, чем любое из чисел n »[66, c. 92]. Единственным «доказательством» существования такого числа есть следующие рассуждения: «Количество чисел n класса (1), которое можно образовать таким образом, бесконечно, и между ними нет вовсе наибольшего числа. Поэтому, как не противоречиво было бы говорить о наибольшем числе класса (1), с другой стороны, нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить (курсив мой ¾ Е. Ч.) себе некоторое новое число ¾ обозначим его w, ¾ которое должно быть выражением того, что нам дана согласно своему закону в своей естественной последовательности вся совокупность (1)... Можно даже вообразить (курсив мой ¾ Е. Ч.) себе новосозданное число w пределом, к которому стремятся числа n, если понимать под этим лишь то, что w должно быть первым целым числом, которое следует за всеми числами n, т. е. которое можно назвать большим, чем любое из чисел n »[66, c. 92].

w = lim{1, 2, 3, ... , n, ...}.

Это воображение Г. Кантор и др. математики приняли за реальную истинность и построили теорию бесконечных множеств. Вышеприведённая цитата есть не доказательство, а аксиоматическое положение. Это аксиоматическое положение противоречит всему понятию числа и логических законов ¾ существование целого числа w, которое больше всех натуральных чисел, среди которых не существует наибольшего целого числа.

Число w можно трактовать следующим образом. Представим актуальную бесконечность как бездонный мешок, открытый с обеих сторон, в который сыплются действительные числа. В определенный момент, когда мы достигаем какого-то числа n или следующего за ним, конец мешка завязывается и декларируется, что полученное число w есть наибольшее первое число. Свойства этого числа любопытны. Несмотря на то, что один конец мешка завязан, в открытый конец можно неограниченно сыпать числа, не изменяя само число w:

n + w = w

С закрытого же конца начинается новый счет:

w + n = w + n

При достижении n = n образуется опять-таки число w

w + w = 2w

Процесс образования новых чисел идет до образования числа w^w. Г. Кантор далее пишет: «Мы видим, таким образом, что образование новых чисел не имеет конца: следуя обоими принципами порождения, мы получаем все новые и новые числа и числовые ряды, имеющие вполне определенную последовательность» [66, c. 93]. Даже при допущении, что w есть наибольшее число всех действительных чисел, оно все равно (коли оно число) начинает подчиняться правилу потенциальной бесконечности, и чтобы выйти из этого порочного круга Г. Кантор вводит «принцип стеснения или ограничения». Однако какие бы ухищрения ни вводились, если трансфинитное число есть именно число, а не что-либо другое, то оно все равно должно подчиняться правилам потенциальной бесконечности и к любому большому числу (простому, трансфинитному, кардинальному) всегда можно прибавить еще одно число. Поэтому выражение актуальной бесконечности через потенциальную бесконечность невозможно, и канторовские трансфинитные числа есть числа, подчиняющиеся всем правилам пространства чисел, т. е. потенциальной бесконечности и

w ¹ lim{1, 2, 3, ... , n, ...}.

Почему Г. Кантор, который везде и всюду утверждал, что в основе математики должны лежать непротиворечивость положений и высказываний, взял за основу такую алогичность? Ответ довольно прост. Он был религиозным человеком и находился под влиянием учения Бл. Августина. В книге «О граде Божием» Бл. Августин высказывает следующую мысль о познании Богом чисел: «Итак, неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности и неужели ведение Божие простирается лишь на некоторую сумму, а остальные числа не знает? Кто даже из самых безрассудных людей скажет это?»[70, с. 596]. И далее: «Поэтому бесконечность числа, хотя бы и не было числа бесконечным числам, не может быть необъемлемой для Того, у Кого нет числа разуму. Всё, что объемлется знанием, ограничивается сознанием познающего; так же точно и всякая бесконечность бывает всяким неизречённым образом ограниченною в Боге, потому что она не необъятна для Его ведения»[70, с. 597]. Эти высказывания Бл. Августина пересилили положение о непротиворечивости, и были положены в основу теории трансфинитных чисел: «Нельзя более энергично требовать, более совершенно обосновывать и защищать трансфинитное, чем это сделано св. Августином. А что в случае бесконечного множества () всех конечных чисел  речь идёт не об абсолютно бесконечным, то в этом вряд ли кто-нибудь сомневался. Тем же, что св. Августин утверждает общее интуитивное восприятие множества () «quodam ineffabili modo», a parte Dei⁷, он одновременно признаёт это множество более формальным, чем некое

⁷ «Некоторым неизречённом образом» со стороны Бога. (лат.)

актуальное бесконечное целое, как некое трансфинитное целое, и мы вынуждены следовать в этом за ним»[66, прим. 19, с. 290].

Знает ли Бог все эти числа это ещё вопрос, т. к. для того чтобы знать необходимо пространство мышления. Существует ли оно у Бога это то же вопрос. Бог творит эти самые числа, и они находятся в его собственном поле. Эти числа движутся, непрерывно возникают и исчезают, взаимодействуют сами с собой по собственному механизму[4], но предела этим числам нет никакого. Никто не вынуждал Г. Кантора идти по пути Бл. Августина, но он предпочёл его непротиворечивые высказывания для существования чисел в Абсолюте, перенести на дискретную почву чисел, где эти высказывания становятся противоречивыми.

Положение Г. Кантора есть типичная логическая мнимость, логический казус, который невозможно опровергнуть. Эти положения привели к логическим парадоксам и антиномиям, т. к. сами являются антиномиями. Числовая последовательность {1, 2, 3, ... , n, ...} обладает следующими свойствами: «Все члены неограниченной последовательности конечных кардинальных чисел отличны друг от друга. Каждое из этих чисел n больше, чем предшествующее ему, и меньше, чем следующее за ним»[66, с. 181]. Всё-таки число n подчиняется законам чисел. Цитирую далее: «Совокупность всех конечных кардинальных чисел n даёт нам первоочередной пример трансфинитного множества; назовём соответствующее число «алеф-нуль»[66, с. 183]. Совокупность конечных кардинальных чисел даёт трансфинитное или бесконечное число, не подчиняющееся законам чисел. Одним росчерком пера Г. Кантор конечное превратил в бесконечное. Как понять «совокупность конечных кардинальных чисел»?. Совокупность всех кардинальных чисел может быть только в том случае, когда они все построены и являются неподвижными. Неподвижность же кардинальных чисел может быть только для чётных чисел, имеющих неподвижный знак[4]. Весь натуральный ряд чисел имеет положительный знак и движется в пространстве AS, встречаясь с отрицательными числами и единицами, они взаимодействуют друг с другом, и их совокупное количество ежечасно и ежесекундно меняется. Поэтому абстрактное понятие «совокупность конечных кардинальных чисел» есть ошибочная аксиома, которая не несёт в себе никаких ни философских, ни математических, ни физических реалий.

В учении по трансфинитным числам очень важную роль играет понятие «отрезок», который является изначальным орудием, позволяющим проникнуть в самые сложные отношения между элементами упорядоченного множества. Г. Кантор взял на вооружение бесконечную делимость отрезка, получая бесконечное количество всё новых и новых отрезков, при этом непрерывно упорядочивая эти отрезки и неизвестно откуда получая на концах отрезков точки. При построении трансфинитных чисел Г. Кантор пользовался процессом счёта при помощи порядковых типов (ординальных чисел) и кардинальных чисел. Кардинальные числа по Г. Кантору не имеют размерности (качества) и порядка их задания, а ординальные числа имеют качество и упорядоченность. На самом же деле кардинальные числа есть чистые количественные числа, а ординальные числа, полученные делением отрезка и имеющие размерность, есть качественно-количественные числа, которые в корне отличаются по своим свойствам от кардинальных чисел[4]. Их и сравнивать даже нельзя, т. к. они определяют разные пространства. Кроме тог, порядковые числа являются внутренними числами познающего субъекта, который и упорядочивают предметы и их счёт[4]. Настоящее кардинальное число есть единство внешнего считаемого предмета как числа и внутреннего счёта. Уберите внешний ряд считаемых объектов, и нет предмета счёта. Уберите считающего субъекта, и считать некому. Натуральный ряд действительных чисел находится в нашей памяти как уже сосчитанное нечто, как единство внешних и внутренних чисел. Г. Кантор пользовался процессом счёта уже сосчитанного натурального ряда чисел, отображая его отдельные элементы в пространстве мышления и получая новые порядковые числа. При таком подходе следует ещё один оригинальный вывод: количественная или кардинальная бесконечность меньше порядковой или ординальной бесконечности! Нумеруемых объектов больше, нежели считаемых объектов. На самом же деле это не так. Нумерация производится человеком, а количество безразмерных и размерных чисел творится Абсолютом (Господом Богом)! При этом количество и тех и других чисел эквивалентно друг другу, т. к. ¥_f  _f0.

Самая большая ошибка Г. Кантора заключается в том, что он, беря натуральный ряд чисел как таковой, как совокупность потенциальной бесконечности со всеми её членами, совершенно забыл, что потенциальная бесконечность есть непрерывно изменяющаяся бесконечность, что количество её составляющих (единиц) непрерывно растёт и взять непрерывно изменяющейся ряд чисел целиком совершенно невозможно. Поэтому вся тория множеств, основанная на постулатах и приближениях Г. Кантора не состоятельна.

Поразительное заключается не то, что Г. Кантор очень вольно обращается с потенциально бесконечным рядом, превращая его в актуально бесконечный ряд, каждый может ошибиться. А то, что вся последующая плеяда выдающихся математиков Б. Рассел, А. Н. Уайтхед, Д. Гильберт, О. Брауэр и др., видя эту вопиющую ошибку[78, с. 20], бросились спасать канторовскую теорию множеств. Канторовская теория трансфинитных чисел представляется по Д. Гильберту «наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека»[79, с. 346]. В чём же причина такой патологии? Ответ даёт сам Д. Гильберт: «Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор»[79, с. 350]. Действительно рай, когда одним росчерком пера на бумаге или одной только умственной деятельностью можно конечное превратить в бесконечное. Вот бы и нам химикам также, получив одну тонну продукта, при помощи одной только мыслительной деятельности или росчерком пера превратить её в бесконечное количество, и работать дальше не надо! В связи с невозможностью проверить все эти математические измышления на практике, на протяжении всего ХХ века и по сей день это направление в математике живёт и процветает.

Как было показано, трансфинитное число построено на логической антиномии: трансфинитное число есть наибольшее число среди множества чисел, в которых нет наибольшего числа. С точки зрения логических законов эта аксиома имеет знак ±. Если двузначная логика оперирует двумя знаками + и -, то введение дополнительного знака ± к этим двум знакам переводит логику из двузначной в логику трёхзначную (логику Н. А. Васильева) с законом исключённого четвёртого. Вся же современная теория множеств основана на двузначной логике. Если в основе логики лежит антиномия, то в результате логических операций, происходящих в пространстве мышления человека, мы получаем два противоположных истинных ответа по высказыванию:

+(±В) ® +В

Характеристики

Список файлов лекций