Континуум и бесконечности (1033148), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Потенциальную бесконечность можно сравнить с пассажирами метро в часы пик. На каждую станцию непрерывно втекает поток пассажиров и непрерывно вытекает. Сколько пассажиров в данный момент на данной станции метро неизвестно, так как их невозможно сосчитать. Сосчитать их как таковых всех вместе возможно только в том случае, если перекрыть станцию, остановить эскалаторы и самих пассажиров. Аналогично происходит и с числовым рядом. Типичным примером бесконечно больших чисел являются так называемые большие числа. Большое число 10⁴⁰ является потенциальной бесконечностью по отношению к числу 1.

Рене Декарт признавал бесконечным только Бога и считал полной нелепицей постичь бесконечное при помощи конечных величин или мышления. Все остальные типы бесконечностей, выражаемые при помощи больших или малых величин, всему тому, чему мы не находим границ, он полагал считать неопределёнными. «Всё это мы скорее назовём неопределённым, а не бесконечным или беспредельным, чтобы название «бесконечный» сохранить для одного Бога, столь же потому, что в нём одном мы не видим никаких пределов его совершенствам, сколь и потому, что знаем твёрдо, что их не может быть»[53, c. 438]. О понятии бесконечности Даламбер пишет: «Бесконечность, рассматриваемая в анализе, есть собственно предел конечного, т. е. граница, к которой всегда стремится конечное, никогда к ней не приходя, но о которой можно предположить, что конечное приближается к ней все ближе и ближе, хотя и никогда не достигает»[54, c. 232]. Понятия неопределённого Декарта и предел конечного Даламбера можно целиком и полностью отнести к понятию потенциальной бесконечности. В примечании к тезису первой космологической антиномии И. Кант отвергает завершённость потенциальной бесконечности: «Согласно обыденному понятию бесконечна та величина, больше которой… невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не может быть большим, так как ко всякому множеству можно прибавить ещё одну или несколько единиц»[55, с. 270].

Бесконечная последовательность натуральных чисел бесконечна, так как за числом n следует число n +1. Если бы всё человечество начало считать каждую секунду числа на протяжении 5000 лет, то оно с трудом бы добралось до числа 10²⁰. Натуральный ряд чисел по своей сути несчётен! Вот эту несчётность, из-за конечного времени существования человечества, очень часто путают с понятием бесконечности, хотя на самом деле это совершенно разные понятия. Поэтому потенциальная бесконечность не есть бесконечность по объектам и числам как таковым, а конечная бесконечность. Потенциальная бесконечность начинается с конечной величины, заканчивается конечными величинами и числами и состоит только из одних конечных величин и чисел. Недаром Вейерштрасс называл этот тип ограниченным бесконечным, а Гегель конечным бесконечным и её следует отнести к финитной бесконечности и обозначить:

ПБ = _f¥_f (1.1)

1.2.1.2.Бесконечно малая потенциальная бесконечность

Бесконечно малые величины известны с древнейших времён. Под бесконечно малым подразумевалось, либо некое неделимое, не имеющее частей, но обладающее некой величиной, либо некое неделимое мыслилось как точка, имеющая величину равную нулю[56, 57]. Прежде чем рассматривать бесконечно малую потенциальную бесконечность необходимо кратко рассмотреть понятие нуля.

Если в математике и философии некоторые математики до сих пор раздумывают, является ли бесконечность числом или нет, то понятие нуля ни у кого-либо не вызывает сомнения. Нуль есть число ¾ констатирует любая энциклопедия. «Самая важная цифра есть нуль. Эта была гениальная идея ¾ сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.» ¾ пишет Ван дер Варден[58, c. 77]. «Самое важное число в математике есть нуль… Нуль является единственным числом, обладающей хартией ¾ одной из королевских привилегий. В то время как любое другое число может быть подвергнуто любой из элементарных операций, запрещено делить на нуль, ¾ точно так же, как, например, во многих парламентах может обсуждаться любой предмет, за исключением персоны суверена», ¾ вторит ему Е. Шрёдингер[59, с. 19]. На самом же деле нуль впервые был введён вавилонскими математиками приблизительно после 500г. до н. э. Никамах ставит правило: нуль сложенный с нулём, даёт нуль. Нуль в человеческом понимании это отсутствие чего-либо, отрицание или отсутствие всякого количества и является чистой условностью. Если нет денег, мы говорим: в кармане нуль. Но нуль ещё не число. Нуль есть цифра, указывающая в каком-либо исчислении отсутствие единиц данного разряда. Нуль не отвечает на вопрос: сколько? Он только выражает отрицание и не указывает, сколько единиц в числе. Нуль как число « …символизирует бесконечность, Бесконечное безграничное Бытие, fons et origo² всех вещей, Брахманду или космическое яйцо, солнечную систему в её совокупности; или же универсальность, космополитизм, преодоление расстояний и препятствий, странствия. Но также и отрицание, объём, ограничение, отсутствие»[60, с. 6]. Средневековые схоласты оставили после себя возражения против признания нуля числом:

• не существует такого числа, от прибавления которого к А получалось бы А, но таков нуль, поэтому нуль не число;

• в области качества нуль ведёт к признанию некоторой величины, непосредственно стоящей за нулём, так как возрастание с нуля даёт противоречие: нуль является отрицанием качества и его началом[61, с. 293].

По мере развития математики нуль постепенно превращается в число, причём в число, имеющее довольно странные свойства: сложение и вычитание с нулём оставляют сумму без изменения; умножение числа на нуль даёт результат равный нуль; при делении любого числа на нуль получаем бесконечность; при делении нуля на нуль получаем абракадабру.

² - исток и начало (лат).

Несмотря на то, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он имеет весьма определенное содержание в математике и физике конечномерных пространств, а именно:

- отсутствие каких-либо числовых размерных физических объектов в рассматриваемом относительном пространстве (пустое множество);

- начало системы отсчета (например, граница между всеми положительными и отрицательными величинами; граница между жидким и твёрдым состоянием воды);

- тождественность чисел и размерных физических объектов самим себе: А º А, откуда А – А = 0;

- как предел бесконечной прогрессии или неисчислимое в числе: ¥ ^—1 = 0.

Следуя Р. Курант и Г. Роббинсу, которые считают понятие «бесконечность» не числом, нуль, как противоположность бесконечному, также не является числом, а только символ, цифра, обозначающая отсутствие чего-либо. Он становится числом только в совместной цифровой записи с другими цифрами: 10; 0,1 и др. Нуль как предел бесконечной прогрессии, как и бесконечность, является финитным и относится к понятию потенциальной бесконечности малых чисел:

_f¥_f^—1 = _f0_f (1.2)

Потенциальная бесконечность бесконечно малых чисел начинается с конечной величины и состоит только из одних конечных величин. Бесконечная последовательность малых натуральных чисел бесконечна, так как за числом n^n следует число n^{n 1}. Типичным примером бесконечности малых чисел является число 10^-40, которое является также потенциальной обратной бесконечностью по отношению к 1.

В настоящее время бесконечно малые широко используются в дифференциальном и интегральном исчислении, хотя их появление в математике вызвало большую дискуссию. Проблемы дифференциального исчисления были связаны с нерешённым до сих пор вопросом, что понимать под бесконечно малым: некую очень малую протяжённость или точку, не имеющую протяжённости[62-65].

Предел числовой последовательности (lim a_n = a) означает, что некая величина a,

n ® ¥

стремясь к определённому пределу, настолько приближается к этой предельной точке, что, по нашим представлениям, совпадает с ней. На этом принципе построены математические модели дифференциального и интегрального исчисления, заложенные И. Ньютоном и Г. В Лейбницем. На самом же деле lim a_n ¹ a и между lim a_n и a лежит онтологическая пропасть. Для удобства расчётов мы можем принять равенство lim a_n = a, но любой вывод математики, основанный на этом принципе об устройстве онтологического бытия, будет глубоко ошибочен.

Помимо математического понятия бесконечно малая потенциальная бесконечность в философском смысле есть граница бытия и инобытия или внешнего и внутреннего бытия. Согласно А. Ф. Лосеву: «Бесконечность... есть нуль. Нуль есть внешняя сторона бесконечности, а бесконечность  внутреннее его выявление»[62, с. 509].

Суммируя результаты по потенциальной бесконечности, делаем вывод, что существуют два вида потенциальной бесконечности чисел:

- бесконечно большая или внешняя бесконечность ¾ _f¥_f,

- бесконечно малая или внутренняя бесконечность ¾ _f0_f

1.2.2. Актуальная бесконечность.

Актуальная бесконечность была известна с древнейших времён. Вплоть до последней четверти Х1Х в. математики руководствовались знаменитым положением Аристотеля: infinitum actu non datur³. Фома Аквинский в «Сумме теологии» отрицает существование количественной актуальной бесконечности: «Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в каком-либо виде множеств. Но виды множеств соответствуют видам чисел, а не один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению»[66, с. 416].

В противовес ему Г. В. Лейбниц уверен в существовании актуальной бесконечности: «Я настолько убеждён в существовании актуальной бесконечности, что не только допускаю мысли о том, что природа не терпит бесконечного (как обычно выражаются), а, напротив, считаю, что она повсюду высказывает любовь к нему, дабы нагляднее продемонстрировать любовь творца» [67, т. 3, с. 294]. Следует отметить, что Г. В. Лейбниц ни словом не обмолвился, что актуальная бесконечность состоит из чисел.

Т. Брадвардин в трактате «О континууме» дал следующее определение актуальной бесконечности: «Infinitum cathegorematice et simpliciter est tantum quantum sine fine⁴[68, с. 148].

В математику понятие трансфинитной бесконечности ввёл Г. Кантор, мотивируя тем, что для всякого беспредельного изменения (ПБ) необходима область изменения, которая сама по себе не может меняться. В работе по философским вопросам теории множеств он писал: «Актуальную бесконечность можно рассматривать в трех главных отношениях: во-первых, поскольку оно имеет место in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante⁵, и в этом случае оно называется абсолютным; во-вторых, поскольку оно имеет место in concrеtо seu in natura naturata⁶, и в этом случае я называю его transfinitum; в третьих, актуальную бесконечность можно рассматривать in abstracto, т. е. поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием в форме актуального бесконечного или, как я назвал это, в форме трансфинитных чисел, или в еще более общей форме трансфинитных порядковых типов » [66, с. 264]. В двух последних отношениях Кантор представляет бесконечность как ограниченную и доступную увеличению. Такая бесконечность родственна конечному. «Под актуальной бесконечностью следует понимать такое количество, которое с одной стороны не изменчиво, а, скорее, фиксировано и определено во всех своих частях, является подлинной константой, а с другой ¾ в то же время превосходит по величине всякую конечную величину того же рода»[66, с. 289]. Из этого высказывания следует, что г. Кантор разделил бесконечное на три категории:

Характеристики

Список файлов лекций