ЛЕКЦИЯ 06 (1032436), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим сначала фиксированную точку z = 0 («остановленный» волновой пакет). Волновая функция , имеющая смысл комплексной амплитуды, может быть записана в виде интеграла Фурье:

(6.17)

с пространственным спектром:

(6.18)

Функции (опустим пока зависимость от z) должны удовлетворять общим условиям сходимости ряда Фурье, т.е. не имеют права не убывать на бесконечности, причем достаточно быстро. В соответствии с принципами функционального анализа можно записать:

(6.19)

(6.20)

Упростим выражения (6.19) и (6.20). Выбором системы координат всегда можно сделать , а знаменатели обоих выражений (6.19) и (6.20) представляют собой условия нормировки как волновой функции, так и ее спектра:

(6.21)

Запишем поэтому (5.19) и (5.20) в виде:

(6.22)

(6.23)

Перейдем в (6.22) к интегрированию по К. Это можно сделать с помощью формулы:

(6.24),

следующей из (6.17) и (6.18).

Используя (6.24), запишем:

(6.25)

Любые две функции в пространстве волновых функций подчиняются неравенству Коши :

(6.26)

причем равенство достигается только при пропорциональности функций  и  или их линейной зависимости как векторов функционального пространства. Это значит, что (6.25) можно переписать в виде:

(6.27)

Неравенство (6.27) превращается в равенство, т.е. минимизируется при условии:

(6.28)

т.е. пропорциональности подынтегральных функций. В (6.28) знак "–" поставлен в силу того, что функция S(K) не имеет права возрастать на бесконечности. Само условие (6.28) представляет собой, как видно, дифференциальное уравнение, дающее как возрастающую (не имеющую физического смысла), так и убывающую экспоненты. Для S, тем самым, имеем:

(6.29)

и соответственно:

(6.30)

Константа с₁ характеризует ширину получившихся гауссовых функций, а S₀ и ₀ легко найти из условия нормировки.

Итак, волновая функция, обеспечивающая минимум соотношению неопределенностей, является гауссовой, а распределение поля в пространстве, описываемое такой функцией, естественно назвать гауссовым пучком. Для уточнения смысла с₁ оценим произведение численно. Интеграл

можно взять по частям, в результате получим:

(6.31)

Проинтегрированная часть, очевидно, обращается в 0, поскольку S²(K) на бесконечности убывает быстрее, чем K, а оставшийся интеграл в (5.31) представляет собой условие нормировки для S(K). Поэтому:

(6.32)

и

(6.33)

При условии равенства (5.33) дает:

(6.34)

Обозначим:

(6.35)

К
ак видно, W₀ , определяемая константой с₁, имеет вполне реальный смысл (рисунок 6.3): 2W₀ — ширина функции ₀(x) на уровне . Эта величина является существенной характеристикой волнового пакета.

Если теперь разрешить волне распространяться (отказаться от условия z = 0), то волновая функция примет вид:

(6.36)

где — волновое число.

Полагая, что расходимость пучка мала, запишем:

^{(6.37 )}

Тогда (x, z) преобразуется к виду:

( 6.38)

Интеграл в (6.38) вычисляется аналитически. После интегрирования получаем:

(6.39)

В (6.39) введена величина:

(6.40)

называемая волновым параметром пучка.

Представим (x, z) в виде квазиплоской волны, т.е. выделим амплитудный и фазовый множители . При этом избавимся от комплексных величин в знаменателе. Получим:

(6.41)

Хотя формула (6.41) представляется несколько тяжеловесной, все ее члены имеют ясный физический смысл. Именно, множитель при экспоненте характеризует изменение амплитуды вдоль оси z. В показателе экспоненты выделяется мнимый член, где дает поправку к регулярному набегу фазы за счет того, что волна не плоская. В отличие от неограниченно возрастающего kz, поправка ограничена: , поэтому при очень больших z волна все более должна походить на плоскую. Однако в каждой конкретной точке рассматривать ее как плоскую нельзя. Это полностью соответствует выводам Фокса и Ли и других исследователей полей в резонаторах, хотя мы еще ни словом не упомянули о зеркалах. Действительный член в показателе экспоненты характеризует зависимость ширины волнового пакета в зависимости от z:

(6.42)

Как видно, введенный волновой параметр g(z) характеризует «расплывание» волнового пакета по мере его распространения. Если g>>1, то наблюдается рост W(x,z) по закону, близкому к линейному, т.е. зависимость W(x,z) имеет асимптоту, наклоненную под углом к оси z:

(6.43)

Величина называется асимптотическим углом расходимости пучка.

Последний член в показателе экспоненты характеризует изменение фазы при изменении поперечной координаты:

(6.44)

Вблизи оси можно рассматривать волновой фронт как сферический. Найдем радиус кривизны фронта, считая задачу осесимметричной (рисунок 6.4):

Основной набег для малых (z) равен . Но , тогда . Соответственно набег фазы:

С другой стороны, согласно (5.44):

Приравнивая выражения для , получим:

(6.45)

Из (6.45) следует, что существует z, при котором фронт имеет максимальную кривизну. В самом деле, переписав (6.45) в виде:

(6.46)

видим, что при малых z кривизна неограниченно убывает, обращаясь в 0 при z = 0, а при больших z она стремится к 0 асимптотически.

Дифференцируя (6.46), найдем

(6.47)

и

(6.48)

Фундаментальность гауссова пучка как предельной устойчивой конфигурации поля, «диктующей» выбор конкретной геометрии резонатора, ставит на свои места все формулы типа (6.4) – (6.13), в которых теперь просматривается глубокая логическая взаимосвязь, ускользающая при отсутствии вывода гауссовости пучка из самых общих соображений.

В самом деле, основная мода резонатора с этой точки зрения является не просто собственной функцией с наинизшим номером, а наиболее устойчивым пространственным распределением поля, доставляющим минимум соотношению неопределенностей. Поэтому нет необходимости проверять ее на минимум потерь ― коль скоро она реализуется, остальные типы колебаний могут «отдыхать». В случае же искусственного создания невыгодных для основной моды условий («неправильная» геометрия резонатора) могут возбуждаться моды более высоких порядков, которые можно рассматривать как «возбужденные состояния» внутрирезонаторного квазигармонического осциллятора. И здесь, конечно возникает полный простор для вычисления полиномов Эрмита, Лагерра и т.п., но теперь при этом нет ощущения хаоса, поскольку обращение к таблицам специальных функций полностью выдержано логически. Обратный же ход рассуждений (от собственных функций к Гауссу) неминуемо приводит к рассмотрению гауссовых пучков как некоего частного случая и тем самым нарушает всю стройность и гармонию в поведении устойчивых типов колебаний.

При выводе гауссова пучка из соотношения неопределенностей как инварианта, обеспечивающего минимум этого соотношения, необходимо уточнение пути нахождения конкретной величины перетяжки W_{0 .} Наиболее простым является путь задания желаемой асимптотической расходимости пучка при заданной длине волны излучения. Заметим, что при изменении структуры пространственного спектра волнового пакета (аналогично нарушению состояния «свободного движения» волнового пакета в квантовой механике [9]) возможно изменение значения нижней границы для соотношения неопределенностей. Соответственно изменятся и параметры гауссова пучка, но сама гауссовость сохранится как атрибут устойчивой пространственной конфигурации поля.

6.3. Использование матричных методов при расчете характеристик

гауссовых пучков.

В предыдущих разделах мы установили, что в резонаторах устойчивой конфигурации основная мода (наиболее интересная с точки зрения практических применений) имеет гауссово поперечное распределение, а зеркала резонатора являются синфазными ей поверхностями. Это позволяет использовать простую и эффективную матричную методику для расчета прохождения излучения через оптические системы и исследования характеристик оптических резонаторов [10].

Для начала обратимся к распространению параксиальных пучков лучей, широко используемых в рамках геометрической оптики. Напомним, что параксиальными называются лучи, для которых положение точки в пространстве изображений не зависит от угла, образуемого производящим лучом с оптической осью. Распространение параксиальных лучей через линейную оптическую систему описывается матрицей передачи. Любой луч может быть однозначно задан двумя параметрами в точке его прохождения – расстоянием от оси резонатора z и углом наклона к ней (рисунок 6.5).

Если луч распространяется в среде с показателем преломления n, то можно записать V = n sin α ≈ n α.

Характеристики

Список файлов лекций