Диссертация (1025207), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому врасчёте имеет смысл учитывать только процесс расширения газа.Известно, что процесс изменения объёма парной полости в зависимостиот угла поворота вала описывается прямой линией. Линия остаётся близкой кпрямой при любых значениях e и r0 при положительной толщине спиралей.Данный факт наталкивает на мысль о том, что возможно существует гораздоболеепростое,аналитическое,нетребующеечисленноговычисленияинтегралов решение. Причём зависимость должна быть линейной, раз награфике она близка к прямой линии.
Даже небольшое отклонение от прямойлинии может быть не критично, если укладывается в погрешность инженерногорасчёта.Попытки прямого, аналитического вычисления интеграла ни к чему непривели, потому что после подстановки параметров подынтегральноевыражение становится чрезвычайно сложным. Перевод в полярную систему82координат также затруднён из-за наличия слагаемых, отвечающих запеременную толщину спиралей. Попытка упрощения спирали с заменой её напростую спираль Архимеда может привести к ошибкам, особенно при малойтолщине спирали, когда вклад слагаемых, отражающих переменную толщину ипрофилирование начального участка, особенно велик. В связи с этим началисьпоиски альтернативного решения данной задачи.Было принято решение попытаться для начала найти зависимости объёмаот остальных параметров для какой-либо фиксированной точки угла поворотаспирали, затем для другой точки.
А, уже зная выражения для этих двух точек,определить закон изменения объёма, проведя прямую линию через них.Для начала поделим уравнение (2.11) на h/2, получив, таким образом,площадь полости:( ) = BCC$( ( ) −( − , ) )D(3.13)Для вывода уравнения введём параметр спирали:©=&(3.14)Для фиксированного значения θ, например, 2π, а также, приняв ξ=const,составим таблицу зависимости площади полости S от эксцентриситета e.Конкретное значение ξ не принципиально, главным должно быть постоянствозначения для всех e. Для расчёта будем использовать формулу (3.13).Интегрирование при этом будет происходить численно на ЭВМ.Таблица 13.e0,0040,0050,0060,0070,0080,0090,010,0110,0120,0130,014S(2π) 0,00027 0,00042 0,00061 0,00083 0,00108 0,00137 0,00169 0,00205 0,00244 0,00286 0,00332По графику (Рисунок 3.3) видно, что зависимость близка к квадратичной.Предположим, что она соответствует уравнению:S(2π)=ke²(3.15)83Sh, м20,00350,0030,00250,0020,00150,0010,0005000,0020,0040,0060,0080,010,0120,0140,016e, м2Рисунок 3.3.
Зависимость площади полости от эксцентриситетаПредположим, что k=f(ξ) при e=const, составим таблицу и построимграфик. В данном случае конкретное значение e не принципиально, оно можетбыть практически любым. При этом расчёт будем производить исходя из того,что:ξkª=0,20,3170110«( $)&(3.16)Таблица 14.0,50,70,91,11,31,51,71,9614029211612972,33,62,980По графику на Рисунке 3.4 можно предположить, что это гипербола,смещённая по вертикальной оси, соответствует зависимости:k=C1/ξ+C2(3.17)84k0,00018000,00016000,00014000,00012000,00010000,00008000,00006000,00004000,00002000,000000000,511,522,533,5ξРисунок 3.4.
Зависимость коэффициента k от коэффициента ξПо графику видно, что функция пересекает ось абсцисс при значенииξ=2,98. Таким образом, можно выразить C2 из уравнения (2.17):2=−~,j•(3.18)Для определения обеих констант нужно задать вторую точку. Возьмёмдля простоты ξ=1 и k=24,4449, подставив (2.18) в (2.17):Вынесем C1 за скобки:1−~,j•1 š1 −= 24,4449(3.19)› = 24,4449(3.20),j•Посчитаем выражение в скобках, тогда:Отсюда:1(0,664455) = 24,44491=,Q,QQQj(3.21)= 36,7292(3.22)= −12,3244(3.23)QQkkПодставим полученное значение C1 в (2.18):2=−,x j,j•Таким образом, мы получили константы C1 и С2 для данного случая:C1=36,7292C2=-12,3244Подставив константы C1 и С2 в (2.17), а полученное выражение k в85уравнение для определения Sh(2π), получим выражение для определенияплощади для θ=2π. Умножим на высоту спирали и поделим на 2, получимобъём полости при θ=2π:(2 ) = (36,7292 5 − 12,32445 )A(3.24)Те же действия можно повторить для угла θ, равного, например, 4π.
Дляэтого угла уравнение объёма полости будет иметь вид:(4 ) = (117,74 5 − 12,5015 )A(3.25)Зная, что процесс изменения объёма полости линейный, можноприменить формулу линейной интерполяции, т.е. провести прямую через 2полученные точки. После подстановки функция будет иметь вид:( )=A36,729 5 − 12,3245 + (12.893 5 − 0.02815 ) ∙ ( − 2 )! (3.26)Данная формула достоверна для любых значений e, r0, h, θ и даётпогрешность в диапазоне 2π ≤ θ ≤ 4π не более ±2 %. Построив процессизменения объёма по первому и второму методу, видим, что графикипрактически совпадают (Рисунок 3.5).Рисунок 3.5.
Процесс изменения объёма полости в зависимости от углаповорота спирали. Сплошной линией показан метод интегрирования (Vh1),пунктиром — аппроксимации (Vh2)Полученная формула (3.26) требует гораздо меньше ресурсов ЭВМ при86вычислении, чем 3.11. Но основным преимуществом 3.26 является возможностьлегко выразить эксцентриситет, полярный радиус и высоту спирали взависимости от остальных параметров, входящих в формулу. Это чрезвычайноважно, так как при расчёте детандера, как правило, известен объёмный расход,а параметры, отражающие геометрию спирали, напротив, неизвестны.3.5.
Построение зависимости давления от угла поворотаДля многих задач, например, определения газовых сил, действующих наподшипники, необходима зависимость давления в полости от угла поворотавала. Простейший способ получить данную зависимость – использоватьуравнение Пуассона, добавив условия поворота вала для заполнения полости ивыпуска газа.Уравнение Пуассона в данном случае для объёмов парных полостей:z> ( ) = z š - ›# (C)#W(3.27)Нужно отметить, что в данном случае мы рассматриваем идеальныйдетандер, у которого процесс расширения происходит по изоэнтропе.
Уреального детандера нужно вводить поправку для коэффициента k.Для построения зависимости необходимо добавить условия заполнения ивыпуска газа:zпри( ≤ )z( ) = ®z> ( ) при( < < )²zпри( ≤ )(3.28)Формула (3.28) показывает, что при угле поворота вала меньше θ1давление в полости равно P0. При угле поворота вала от θ1 до θ2 –рассчитывается по уравнению Пуассона, а при угле больше θ2 равно P2.Также с помощью (2.28) можно показать режимы, при которых будетнаблюдаться выхлоп или впуск газа.
В этом случае изоэнтропное расширениебудет наблюдаться до давления P1, которое определяется геометрической87степенью расширения.Для более точного построения процесса необходимо все точки процессастроить по реальным свойствам. Для этого требуется разбить диапазонудельных объёмов на n точек, после чего по известным удельному объёму иэнтропии (полученной на одной точке по известным температуре и давлению)получать давление в каждой точке. Алгоритм построения будет следующим:1.
По известному давлению и температуре на входе определим энтропиюи удельный объём:³ = (… , z )(3.29)´ = (… , z )(3.30)2. Предположим, что число точек равно m. Составим массив угловповорота вала в процессе расширения (i – переменная-счётчик):Пока(µ ≤ ¸), повторяем»µ¼ =Конец цикла.µ=1+?½(µ =µ+1−)(2.31)(2.32)3. Составим цикл для определения давления полости в каждой точке.Сначала определим удельный объём в текущей точке, затем – давление в точкепо удельному объёму и энтропии.Пока(µ ≤ ¸)повторяемµ=1³=³#¾#(Cрасш »?¼)z»µ¼ = (³, ´ )Конец цикла.µ =µ+1(2.33)(2.34)(2.35)4.
Теперь, зная массив точек по оси абсцисс и ординат, можно нанеститочки процесса расширения на график. Точки можно соединять прямыми (еслиих количество велико и это не приведёт к большой погрешности), либо можно88использовать полиномиальную интерполяцию или сплайн-функции.Стоит отметить, что указанный выше расчёт предназначен только дляслучая идеального изоэнтропного расширения. Для учёта потерь необходимовводить дополнительные коэффициенты.3.6. Оценка потерь на выхлоп или впуск газаСпиральный детандер является машиной с геометрической степеньюрасширения.
Геометрическая степень расширения является отношениемдавления в начале процесса расширения к давлению конца расширения поизоэнтропе:πг =IIV(3.36)Реальная же степень расширения детандера является отношениемдавления в начале процесса расширения к давлению в момент раскрытияспиралей:д=II(3.37)В случае, если πд=πг, давление P1 становится равным давлению P2, и вэтом случае расширение происходит только по изоэнтропе, процесса выхлопаили впуска газа не наблюдается.
В остальных случаях данные процессы имеютместо быть. Для корректного их использования необходимо знать эффектснижения изоэнтропного КПД.Рассмотрим два детандера: идеальный детандер с только изоэнтропнымрасширениемидетандерсгеометрическойстепеньюрасширениясвозможными процессами выхлопа или впуска газа после изоэнтропногорасширения. Мёртвый объём отсутствует.Индикаторную диаграмму в случае выхлопа можно наблюдать наРисунке 3.6.Так как площади на индикаторной диаграмме пропорциональны работе,можно посчитать работу детандера с выхлопом как сумму работ наполнения,89изоэнтропного расширения и выхлопа.Рисунок 3.6. Индикаторная диаграмма детандера с процессом выхлопаВ детандере происходят следующие процессы:a-0 – наполнение.0-1 – закрытие парной полости и изоэнтропное расширение до P1.1-2 – выхлоп.0-2s – процесс расширения в идеальном изоэнтропном детандере.В случае впуска газа индикаторная диаграмма будет выглядеть как наРисунке 3.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
