evtiheeva_n_n__izmerenie_yelektricheskih _i_neyelektricheskih (1024281), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Второй столбец дает вероятности Р того, что случайная погрешность результата измерения не выходит за границы соответствующих интервалов. В третьем столбце показано, каковы вероятности выхода случайной погрешности за пределы интервалов. Согласно табл. 1.1 вероятности получение значения случайнь1х гюгрешностей в интервале [ — (2/3) о, + (2/3) о) и за его пределами одинаковы, в то время как в среднем только 0,3% измерений имеют погрешности, абсолютное значение которых превышает Зо.
Значение погрешности (2/3)о называется вероятной погрешностью, а значение Зо часто считают практически наибольшей возлюжной поерешностью. Однако при большом числе измерений (п > 20+ 30) максимальная погрешность нередко может превьппать Зо. Как уже указывалось, часто распределение погрешностей можно принять равномерным: ь ь 0 у(ь) = при таз > Ь > /хг, ь о 1/(тат — гьь) при ьт, ~ ьь ~ ььз. 'Такой закон распределенияхарактерен, например, для погрешностей отсчета по шкале прибора, погрешностей дискретности в цифровых измерительных приборах, погрешностей квантовании в аналого-цифровых преобразователях (АЦП) . Рассмотрим далее оценки параметров распределения случайных погрешностей прямых измерений.
Напомним, что случайная абсолютная погрешность определяется формулой тт = х — х„, где х — результат измерения; х„— истинное значение измеряемой величины. Если было проведено и прямых измерений одной и той же величины, то в общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной: Ь,.
= х. — х, где Ь. — погрешность г-го измерения; х — результат 1 л' г 1 г-го измерения. 13 Поскольку истинное значение измеряемой величины х„неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. Прн практических расчетах приходится вместо х„использовать его оценку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифметическому значению ряда измерений: х (х1 + хэ + ..+ хя)/и (1.7) И Х хг/и, где х; — результаты отдельных измерений; и — число измерений. Теперь аналогично д. можно определить отклонение результата каж- 1 дога измерения от среднего значения х как (1.8) э.
= х. — х, 1 г а затем по формуле (1.9) ь вычислить оценку о значения среднеквадратнческой погрешности данного ряда измерений. Согласно теории вероятностей при дос*аточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка о сходится по вероятности к о. Таким образом, а ря о а ~Х ээ1/(и 1) ,.) (1.10) л Л о = а/ь/й= о/э/й= Х т~/и(и — 1) . ср 1= 1 Значение о характеризует степень разброса х. Как указывалось выср ше, х выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е.
является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому а называют также средней квадратической погрешностью результата ср измерений. На практике значением о, вычисляемым по (1.10), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдель- 14 Ввиду того что среднее арифметическое значение х также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического значения х. Эту величину обозначим символом а .
Можно показать, что для независимых погрешностей ср' ных измерений мал, т.е. мало значение о. Значение же о, вычисляемое ср' по (1.11), используется для характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений. Введем важные понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое значение х„полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения х„и, конечно, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности.
Пусть Р„есть вероятносп того, что х отличается от х„не более чем на Ь, т.е. Р( — й < х„— х < 2Г) = Р Р (х — Ь < х„< х + 11) = Р Вероятность Р называется доверительной вероятносзью„а интервал й значений измеряемой величин5л от х — Ь до х + Ь вЂ” доверигельлыы плгервалойс Приведенные выше неравенства означает, что с вероятностью Рй доверительный интервал от х — Ь до х + Ь заключает в себе истинное значение х„. Таким образом„чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами — доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал.
В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормалыюго закона, в то время как при небольшом числе измерений (л < 20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьащента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совп.щающую с нормальной прн больших и, но значительно отличающуюся от нормальной при малых и. В табл.
1.2 приведены так называемые квантнли распределения Стьюдента 1Г(л) 1р длЯ числа измеРений и = 2 В 30 и довеРительных веРоатй ностей Р = 0,8 + 0,99. Более полную таблицу можно найти, например, в [2). 1чксажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений и и Р, а лля значений т = и —. 1 и а = 1 — Р й' й' что следует учитывать при пользовании ими.
Чтобы определить доверительный интервал, надо для данных и и Р найти квантнль 1г(п) 1р и й вычислить величины ( л ) 1 р и х х + о ) г ( и ) 1 р й й 15 Таблица 1.2. Кнэтнняи распределения Стмоаеятя дояврнталаиая яероятяооть Р я Число изме- раний л О.а 0.95 0,9а 0,99 0,9 которые будут являться верхней и нижней границами доверительного интервала. Примеры нахождения доверительных интервалов для зацанной доверительной вероятности приведены ниже. Там же показана одна из наиболее употребительных форм записи результата измерения в виде а; Ьн!3я+аьп; Р где а — результат измерения в единицах измеряемой величины; а3— погрешность измерения; Ь и !1я — верхняя н нижняя границы погрешности измерения; Р— доверительная вероятность. и Пример 1. Произведено 17 отсчетов значений измеряемой велнчины— напряженна !ем. ниже).
Требуется произвести обработку результатов измерений (предполагая их нормальное распределение). Для этого выбрать доверительную вероятность Р = 0,95. Сисгематической погрешл постыл пренебречь. 1 х. 1 х. ! ! 705 !685 !697 1690 1690 1685 168! 1701 1693 1678 1686 ! 674 13 14 15 16 !7 1682 ! 690 1687 1680 1692 7 8 9 10 11 !2 1 — номер измерения, х; — результат измерения. 16 2 3 4 5 6 7 В 9 10 11 12 13 14 15 И 20 30 3,08 1.89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38 1,37 1,36': 1.36 1,35 1,34 1,34 1,33 1,31 2.35 2,13 2.02 1,94 1,90 1,86 1,84 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,73 1.70 12,7 4,30 3,18 2,77 257 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,12 2,09 2,04 31,8 6.96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,58 2,64 2,47 63,7 9,92 5,84 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,92 2,87 2,76 Обработку результатов измерений будем вести в следующей последовательности.
1, Определим среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений по формуле (1.7) .' х = (1681 + 1701 + 1693 + 1678 + 1686+ 1674+ 1705 + 1685 + 1697 + + 1690+ 1690+ 1685 + 1682+ 1690+ 1687+ 1680+ 1692)717 = = 1688,0 мВ. Значение х будем считать оценкой истинного значения измеряемого напряжения К т.е. (7 = х = 1688,0 мВ. 2. Вычислим отклонения результатов отдельных измерений от среднего значения х по формуле (1.8): 3.
Вычислим оценку о значения средней квадратической погрешности ряда измерений о формуле (1.9): л о= .+ + (17) + (-3) + (9) + (2) + (2) + (-3) + + (-6) + (2) + (-1) + (-8) + (4) ' "Ф вЂ” 8,1 мВ. Левее по (1.11) определим о = 8,Цл,/Т7 м 2,0 мВ. 17 -7 13 5 -10 -2 -14 Согласно (1.10) о о = 8,1мВ. 7 8 9 10 !1 12 17 — 3 9 г 2 — 3 13 14 15 16 17 — 6 2 — 1 -8 4 Для вычисления доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности Р = 0,95 и числу измерений и = 17, следует вос. пользоваться табл. 1.2. Находим значение квантиля: «~Р = 0,95 и Поскольку а = 2 мВ, то нижняя граница доверительного интервала хн = х — ~Г(пйрос = 1688 — 2,12.2,0 = = 1688,0 — 4,2 = 1683,8 — 1684 мВ, а верхняя граница х = х + !г(п)~Р а = 1688,0 + 2,12 2,0 = 1688,0 + 4,2 = 1692,2 м 1692 мВ.
Нижняя и верхняя границы погрешности измерения Ь„= — 17 (и) 1Р а — — 4,0 мВ Р ср Ь = + П(п)! а +4,0мВ Р ср соответственно, Результат измерения может быль записан в виде У= 1688мВ; Ь=З4мВ; Р = 0,95. Пример 2. Произведено 10 отсчетов значений измеряемой величать ны — напряжения (см. ниже). Задание то же, что и в примере 1.
х,. х = 1689„0 мВ, т.е. У = х = 1689,0 мВ; а 1ОмВ, т.е. а — а = 10мВ; а =3,2 мВ. ср 18 1681 4 1678 1701 5 1686 1693 б 1674 Следуя той же последовательности лучим 7 8 9 10 действий, 1705 1685 1697 1690 что и в примере 1, по- Паходнм из табл. 1.2 значение 1т(10) ~Р О 95 = 2,26. Следова- л тельно, границы доверительного интервала х„= 1689,0 — 2,26 ° 3,2 = 1681,8 ч 1682 мВ; х = 1689,0 + 2,26 3,2 = 1696,2 " 169бмВ.
результат измерения записывается в виде У= 1689мВ; Ь = +7мВ; Р = 0,95. Сравнение результатов измерения в примерах 1 н 2 показывает, что прн уменьшении числа измерений с 17 до 10 происходит увеличение доверительного интервала, соответствующего одной и той же доверительной вероятности Р = 0,95. л Случайные погрешности косвенных измерений. Если величина А является функцией величин Х, 1;..., Я 1А =ДХ, т,...,71 н определяется на основании прямых измерений этих величин, то средняя квадратическая погрешность измерения величины А может быть вычислена по формуле (1.12) о,т где о „о,,..., о — средние квадратические погрешности измерения величин Х, у,..., с соответственно.
Производные вычисляются в точке (Х, 1;..., Е). Формула (1.12) справедлива в том случае, если величины Х, У,..., Л независимы 1или некоррелированы) . Суммирование погрешностей. При измерениях может быть несколько источников как систематических, так н случайных погрешностей. Поэтому практически важным является вопрос о правилах нахояьцения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины.
Если известны границы О. составляющих неисключенной систематической погрешности, т а распределение этих составляюшнх в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляется по формуле 0=8 Х Оз т=1 т где й — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероят- 19 пастью. При доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 (ГОСТ 8.207-76) . При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при двух составляющих может быть вычислена по формуле (1.13) где а, и оз — средние квадратические погрешности отдельных составляющих; р — коэффициент корреляции. Поскольку на практике трудно получить удовлетворительную оценку коэффициента р, приходится ограничиваться крайними случаями, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
