КГ_2глава (1024102), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В матричной форме преобразования координат можно записать так:

Рис. 2.17. Перспективная проекция

Обратите внимание на то, что здесь коэффициенты матрицы зависят от коор­динаты z (в знаменателе дробей). Это означает, что преобразование коор­динат является нелинейным (а точнее, дробно-линейным), оно относится к классу проективных преобразований.

Теперь рассмотрим общий случай — для произвольных углов наклона каме­ры (а и р) так же, как и для параллельной аксонометрической проекции. Пусть (х', у', z¹) — координаты для системы координат, повернутой относи­тельно начальной системы (х, у, z) на углы α и β.

Тогда

Запишем преобразования координат перспективной проекции в виде:

Последовательность преобразования координат можно описать так :

Преобразование в целом нелинейное. Его нельзя описать одной матрицей коэффициентов-констант для всех объектов сцены (хотя для преобразования координат можно использовать и матричную форму).

Для такой перспективной проекции плоскость проецирования перпендику­лярна лучу, исходящему из центра (х, у, z)=(0, 0, 0) и наклоненному под углом α, β. Если камеру отдалять от центра координат, то центральная проек­ция видоизменяется. Когда камера в бесконечности, центральная проекция вырождается в параллельную проекцию.

Укажем основные свойства перспективного преобразования. В центральной

проекции:

□ не сохраняется отношение длин и площадей;

□ прямые линии изображаются прямыми линиями;

□ параллельные прямые изображаются сходящимися в одной точке.

Последнее свойство широко используется в начертательной геометрии для ручного рисования на бумаге. Проиллюстрируем это на примере каркаса до­мика (рис. 2.18).

Существуют и другие перспективные проекции, которые различаются поло­жением плоскости проецирования и местом точки схождения лучей проеци­рования. Кроме того, проецирование может осуществляться не на плоскость, а, например, на сферическую или цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим косоугольную проекцию, для которой лучи проецирования не перпендикулярны плоскости проецирования. Основная идея такой проекции — камера поднята на высоту h с сохранением вертикального положения плоскости проектирования (рис. 2.19).

Рис. 2.18. Параллельные линии изображаются в центральной проекции сходящимися в одной точке

Рис. 2.19. Косоугольная проекция

Получить такую проекцию можно следующим способом:

1. Выполняем поворот вокруг оси z на угол а .

2. Заменяем z' на -у', а .у' на z'.

3. Выполняем сдвиг системы координат вверх на высоту камеры h

4. В плоскости (х', у', 0) строим перспективную проекцию уже рассмотрен­ным выше способом (точка схода лучей на оси z).

Преобразование координат может быть описано таким образом. Сначала оп­ределяются (x', у', z′).

А потом выполняется перспективное преобразование

Преимущество такой проекции заключается в сохранении параллельности вертикальных линий, что иногда полезно при изображении домов в архитек­турных компьютерных системах.

Примеры изображений в различных проекциях. Приведем примеры изо­бражений одинаковых объектов в различных проекциях. В качестве объектов будут кубы одинакового размера. Положение камеры определим углами на­клона α = 27°, β = 70°.

Пример аксонометрической проекции приведен на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Аксонометрическая проекция

Теперь рассмотрим примеры для перспективной проекции. В отличие от параллельной проекции, изображение в перспективной проекции существенно зависит от положения плоскости проецирования и расстояния до камеры.

В оптических системах известно понятие фокусного расстояния. Чем больше фокусное расстояние объектива, тем меньше восприятие перспективы (рис. 2.21' и наоборот, для короткофокусных объективов перспектива наибольший (рис. 2.22). Данный эффект вы, наверное, уже замечали, если занимались съемками видеокамерой или фотоаппаратом. В наших примерах можно наблюдать некоторое соответствие величины расстояния от камеры до плоскости проецирования {z_k – z_пл) и фокусного расстояния объектива. Это соответствие, однако, условно, аналогия с оптическими системами здесь неполная.

Для приведенных Ниже примеров (рис. 2.21, 2.22) z_пл = 700. Углы наклона камеры α = 27°, β = 70°.

Рис. 2.21. Перспективная проекция для длиннофокусной камеры (z_K = 2000)

Рис. 2.22. Перспективная проекция для короткофокусной камеры (z_K = 1200)

В случае короткофокусной камеры (z_K = 1200) восприятие перспективы наиболее заметно для кубов, которые расположены ближе всего к камере. Вертикальные линии объектов не являются вертикалями на проекции (объекты разваливаются").

Усмотрим примеры косоугольной проекции (рис. 2.23, 2.24). Для нее вер­тикальные линии объектов сохраняют вертикальное расположение на проекции. Положение камеры (точки схождения лучей проецирования) описывается углом поворота α = 27° и высотой подъема h = 500. Плоскость проециро­вания параллельна плоскости (х'Оу') и располагается на расстоянии z_пл = 700.

Рис. 2.23. Косоугольная перспективная проекция для длиннофокусной камеры (z_K = 2000)

Рис. 2.24. Косоугольная перспективная проекция для короткофокусной камеры (z_K = 1200)

Рассмотрим еще один пример изображения в центральной проекции — тега в стиле фильма "Звездные войны":

Отображение в окне

Как мы уже рассмотрели выше, отображение на плоскость проецирования соответствует некоторому преобразованию координат. Это преобразование координат различно для разных типов проекции, но, так или иначе, осущест­вляется переход к новой системе координат — координатам проецирования. Координаты проецирования могут быть использованы для формирования изображения с помощью устройства графического вывода. Однако при этом могут понадобиться дополнительные преобразования, поскольку система ко­ординат в плоскости проецирования может не совпадать с системой коорди­нат устройства отображения. Например, должны отображаться объекты, из­меряемые в километрах, а в растровом дисплее единицей измерения является пиксел. Как выразить километры в пикселах?

Кроме того, вы, наверное, видели, что на экране компьютера можно показы­вать увеличенное, уменьшенное изображение объектов, а также их переме­щать. Как это делается?

Введем обозначения. Пусть (Хэ, Уэ,Zэ) — это экранные координаты объектов в графическом устройстве отображения. Заметим, что не следует восприни­мать слово "экранные" так, будто речь идет только о дисплеях — все ниже­следующее можно отнести и к любым другим устройствам, использующим декартову систему координат. Координаты проецирования обозначим здесь как (X, Y, Z).

Назовем окном прямоугольную область вывода с экранными координатами

Xэmin Уэтп) - (Хэтах Уэтах)- Обычно Приходится Отображать В Окно ИЛИ ВСЮ

сцену, или отдельную ее часть (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Отображение проекции сцены

а — границы сцены в координатах проекции; б— в окне часть сцены, в — вся сцена с сохранением пропорций вписана в окно

Преобразование координат проекции в экранные координаты можно задать как растяжение/сжатие и сдвиг:

Х_Э = КХ + dx, ; Y_Э = KY+dy; Zэ =KZ.

Такое преобразование сохраняет пропорции объектов благодаря одинаково­му коэффициенту растяжения/сжатия (К) для всех координат. Заметим, что для плоского отображения можно отбросить координату Z. Рассмотрим, как можно вычислить К, dx и dy. Например, необходимо впи­сать все изображение сцены в окно заданных размеров. Условие вписывания можно определить так:

Если прибавить (1) к (3), то получим:

Из неравенств (2) и (4) следует:

Решением системы (1)—(4) для K будет: К≤ min {Кх, Ку} = К_min.

Если значение К_х или значение K_Y равно бесконечности, то его необходим отбросить. Если оба — то значение К_min можно задать равным единице. Дга| того чтобы изображение в окне имело наибольший размер, выберем К = К_min Теперь можно найти dx. Из неравенства (1):

Из неравенства (3): I

Поскольку dx1 < dx2, то величину dx можно выбрать из интервала I dx1≤dx≤ dx2. Выберем центральное расположение в окне: I

Аналогично найдем dy:

При таких значениях dx и dy центр сцены будет в центре окна.

В других случаях, когда в окне необходимо показывать с соответствующим масштабом лишь часть сцены, можно прямо задавать числовые значения масштаба (К) и координаты сдвига (dx, dy). При проектировании интерфейса графической системы желательно ограничить выбор К, dx, dy диапазоном допустимых значений.

графических системах используются разнообразные способы задания масйаба отображения и определения границ сцены для показа в окне просмотра. Например, для сдвига часто используют ползунки скроллинга. Также "южно указывать курсором точку на сцене, и затем эта точка становится центральной точкой окна. Или можно очертить прямоугольник, выделяя грани­цы фрагмента сцены, — тогда этот фрагмент затем будет вписан в окно. Й так далее. Все эти способы отображения основываются на растяжении и сжатии (масштабировании), а также сдвиге, и описываются аффинным преобразованием координат.

2.5. Выводы

Представим цепочку преобразований координат от мировых к экранным следующим образом (рис. 2.26):

Рис. 2.26. Этапы преобразований координат

Для аксонометрической (параллельной) проекции координаты проекции сов­падают с видовыми координатами (хотя это и не обязательно). Преобразова­ние координат можно описать одной матрицей, которая получается пере­множением соответствующих матриц.

Важно то, что для аксонометрической проекции коэффициенты матрицы это константы, одинаковые для всех точек трехмерного пространства. 3 дает возможность свести к минимуму вычисления координат в цикле графического вывода. В этом плане можно отметить крайний случай, когда мировые координаты совпадают с экранными — вообще нет никаких преобразований координат. Например, координаты объектов задаются в пикселах экрана. Такое часто встречается, например, в двухмерной графике.

Для перспективной (центральной) проекции коэффициенты матрицы проецирования на плоскость не являются константами — они зависят от Z. Это делает нецелесообразным запись цепочки преобразований в виде одной матрицы и, как следствие этого, усложняется расчет координат в сравнении с параллельной проекцией.

Для центральной проекции иногда используют матричную форму с применением обобщенных однородных нелинейных координат [28, 32].

В качестве мировых и экранных координат нами была использована трехмерная ортогональная система. В компьютерных графических системах так­же используются другие системы координат и иные проекции. В особенности это касается систем, которые моделируют объекты, располагающиеся на по­верхности Земли. С этими вопросами можно ознакомиться в многочисленной литературе по геодезии и картографии, а также в работах, посвященных гео­информационным системам.

Характеристики

Список файлов книги