КГ_2глава (1024102), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Приведем в виде формулы:

где А, В,..., N —константы.

Рассмотрим частные случаи трехмерного аффинного преобразования объектов, |

1. Сдвиг на dx, dy, dz.

2. Растяжение-сжатие на к_х, ку, к_z:

3. Повороты.

• Поворот вокруг оси х на угол φ (рис. 2.10):

• Поворот вокруг оси у на угол ψ (рис. 2.11):

• Поворот вокруг оси z на угол γ (рис. 2.12):

Формулы для обратных преобразований не приведены, но их несложно полу­чить по аналогии с преобразованиями, которые рассмотрены выше.

2.3. Связь преобразований объектов с преобразованиями координат

Когда пользователь графической системы видит на экране перемещающийся объект, то, как вы считаете, что на самом деле происходит — перемещаются объекты или система координат в обратном направлении? Например, если в кино вы видите объекты, вращающиеся на экране по часовой стрелке, то мо­жет в действительности это камера поворачивается против часовой стрелки?

Преобразование объектов и преобразование систем координат тесно связаны между собой. Движение объектов можно рассматривать как движение в об­ратном направлении соответствующей системы координат.

Такая относительность для объектов отображения и систем координат дает разработчикам компьютерных систем дополнительные возможности для моделирования и визуализации пространственных объектов. С каждым объект том можно связывать как собственную локальную систему координат, так и единую для нескольких объектов. Это можно использовать, например, для моделирования подвижных объектов.

Обычно, того же самого эффекта можно добиться, если использовать различные подходы. Однако в одних случаях удобнее использовать преобразование координат, а в других — преобразование объектов. Не последнюю роль иг­рает сложность обоснования какого-то способа, его понятность.

Рассмотрим пример комбинированного подхода. Пусть нам нужно получить функцию расчета координат (X У) для поворота вокруг центра с координата­ми (х_о,у_о) (рис. 2.13).

Выше мы рассмотрели поворот относительно центра координат (0, 0). Для решения нашей задачи введем новую систему координат (х',0',у') с центром в точке (х₀, у₀):

Для такой системы поворот точек происходит вокруг ее центра:

(Преобразуем координаты (X', У') в (X,Y) сдвигом системы координат в точку (0,0):

Если объединить формулы преобразований, то получим результат:

Решение этой задачи можно было бы осуществить и в матричной форме:

Рассмотрим второй пример. Нашей задачей будет вывод формул параметри­ческого описания поверхности тора. Изобразим тор следующим образом (рис. 2.14).

Для произвольной точки Р, лежащей на поверхности тора, требуется выра­зить координаты (х, у, z) через константы, описывающие размеры фигуры, а также через некоторые параметры. Для поверхности в трехмерном простран­стве необходимо использовать два параметра. В качестве таковых выберем угловые величины: φ (широта) и ω (долгота).

Непосредственное определение координат точки Р представляется сложным, поэтому искомые координаты будем искать несколькими шагами преобразо­ваний. Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости zOy, центр этой ок­ружности совпадает с центром координат. Координаты точки Р" с широтой у составляют

где r — малый радиус тора.

Теперь перенесем окружность на расстояние R (большой радиус тора) по оси у в той же плоскости zOy. Получим точку Р'. Ее координаты:

Окружность, которой принадлежит точка Р', является геометрическим ме­стом точек тора с нулевой долготой ω. Если точку Р' повернуть на угол ω, то получим искомую точку Р поверхности тора с координатами

Подставляя значения (x′, у′, z′) получим искомые формулы

Эту задачу можно было бы решить, используя преобразование координат. Подобный случай мы рассмотрим ниже (пример studex8 в разделе програм­мирования). Однако, как представляется, более ясным здесь выглядит ис­пользование операций перемещения точки (из положения Р" в Р′, а за­тем в Р).

2.4. Проекции

В настоящее время наиболее распространены устройства отображения, кото­рые синтезируют изображения на плоскости — экране дисплея или бумаге. Устройства, которые создают истинно объемные изображения, пока доста­точно редки. Но все чаще появляются сведения о таких разработках, напри­мер, об объемных дисплеях [37] или даже о трехмерных принтерах [45].

При использовании любых графических устройств обычно используют про­екции. Проекция задает способ отображения объектов на графическом уст­ройстве. Мы будем рассматривать только проекции на плоскость.

Мировые и экранные координаты

При отображении пространственных объектов на экране или на листе бумаги с помощью принтера необходимо знать координаты объектов. Мы рассмот­рим две системы координат. Первая — мировые координаты, которые опи­сывают истинное положение объектов в пространстве с заданной точностью. Другая — система координат устройства изображения, в котором осуществ­ляется вывод изображения объектов в заданной проекции.

Пусть мировые координаты будут трехмерными декартовыми координатами. Где должен размещаться центр координат, и какими будут единицы измерения вдоль каждой оси, пока для нас не очень важно. Важно то, что для изображения мы будем знать какие-то числовые значения координат отображаемых объектов.

Для получения изображения в определенной проекции необходимо рассчитать координаты проекции. Из них можно получить координаты для графического устройства— назовем их экранными координатами. Для синтеза изображения на плоскости достаточно двумерной системы координат. Одна­ко в некоторых алгоритмах визуализации используются трехмерные экранные координаты, например, в алгоритме Z-буфера.

Основные типы проекций

В компьютерной графике наиболее распространены параллельная и цент­ральная проекции (рис. 2.15).

Для центральной проекции (также называемой перспективной) лучи проеци­рования исходят из одной точки, размещенной на конечном расстоянии от объектов и плоскости проецирования. Для параллельной проекции лучи про­ецирования параллельны.

Аксонометрическая проекция

Аксонометрическая проекция — разновидность параллельной проекции. Для нее все лучи проецирования располагаются под прямым углом к плоскости проецирования (рис. 2.16).

[Зададим положения плоскости проецирования с помощью двух углов — α и β, Расположим камеру так, чтобы проекция оси z на плоскости проецирова|ния Х0Y была бы вертикальной линией (параллельной оси ОУ).

Рис. 2.16. Аксонометрическая проекция

Для того чтобы найти соотношения между координатами (х, у, z) и (X, Y, Z) для любой точки в трехмерном пространстве, рассмотрим преобразования системы координат (х, у, z) в систему (X, Y, Z). Зададим такое преобразование двумя шагами.

1-й шаг. Поворот системы координат относительно оси z на угол α. Такой поворот осей описывается матрицей

2-й шаг. Поворачиваем систему координат (x′, у', z') относительно оси х' на угол β — получаем координаты (X, Y, Z). Матрица поворота

Преобразования координат выражаем произведением матриц В * А:

Запишем преобразование для координат проекции в виде формул:

Как вы считаете, будет ли получена та же проекция, если описывать преобра­зования координат теми же двумя шагами, но в другой последовательности — сначала поворот системы координат относительно оси х на угол β, а потом поворот системы координат относительно оси z' на угол α? И будут ли вер­тикальные линии в системе координат (x,y,z) рисоваться также вертикалями в системе координат (X, У, Z)? Иначе говоря, выполняется ли А*В - В*А? Обратное преобразование координат аксонометрической проекции. Для того, чтобы координаты проекции (X, Y, Z) преобразовать в мировые коорди­наты (х, у, z), нужно проделать обратную последовательность поворотов. Вначале выполнить поворот на угол - β а затем — поворот на угол — α. Запи­шем обратное преобразование в матричном виде

Матрицы поворотов:

Перемножив матрицы А^-1 и В^-1, получим матрицу обратного преобразования:

Запишем обратное преобразование также и в виде формул

Перспективная проекция

Перспективную проекцию (рис. 2.17) сначала рассмотрим при вертикальном расположении камеры, когда а=β = 0. Такую проекцию можно себе пред­ставить как изображение на стекле, через которое смотрит наблюдатель, рас­положенный сверху в точке (х, у, z) = (0, 0, z_k). Здесь плоскость проецирова­ния параллельна плоскости (хОу).

Исходя из подобия треугольников, запишем такие пропорции:

Учитывая также координату Z:

Характеристики

Список файлов книги