Шептунов М. В. - Теория множеств (1023559), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

33. Приведите примеры однонаправленной функции и однонаправленной функции с потайным ходом.

3. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

3.1. Ограниченные, открытые и замкнутые множества

В многомерном пространстве можно рассматривать геометрические образы, которые аналогичны геометрическим фигурам в двумерном пространстве.

Определение 3.1. Метрическим пространством называется такое множество M произвольных элементов, что каждому кортежу (a, b) элементов множества M соответствует неотрицательное действительное число (a, b), выражающее расстояние между элементами a и b.

При этом способ, посредством которого осуществляется упомянутое соответствие, роли не играет.

Определение 3.2. Множество X называется ограниченным, если ограничено расстояние между двумя точками этого множества, т. е. если

существует такое число М, что для любых имеет место

.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием ограниченности множества X является существование точки a и

числа r, таких, что

.

Определение 3.3. Точка x называется внутренней точкой

множества X, если существует окрестность , все точки которой принадлежат X.

Определение 3.4. Точка x называется граничной точкой множества X, если любая её окрестность содержит как точки,

принадлежащие X, так и точки, не принадлежащие X.

Таким образом, множество всех граничных точек образует границу множества X.

Определение 3.5. Множество называется открытым, если все его

точки внутренние; и замкнутым, если наряду с внутренними оно

содержит и все свои граничные точки.

3.2. Гиперплоскости и полупространства

Для упомянутого в предыдущем п. 3.1 расстояния  между элементами, очевидно необходимо выполнение трёх следующих условий:

1) лишь если a=b;

2) для любых элементов a и b множества M (свойство симметричности);

3) для любых элементов a, b, c множества M (т. н. аксиома треугольника).

Определение 3.6. Точки x₁,…, x_n линейного пространства называют

линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁,…,_n, не все тождественно равные нулю, что справедливо равенство

.

Определение 3.7. Гиперплоскостями в линейном пространстве Rⁿ размерности n называются линейные подпространства размерности n-1.

Уравнение гиперплоскости L(S) можно получить, задавая в

линейном пространстве Rⁿ множество S, содержащее n-1 линейно независимых точек x₁,…, x_n-1.

Любая точка гиперплоскости может быть записана в виде

.

Уравнение гиперплоскости L(S) обычно записывают в виде:

px=0.

Данное уравнение определяет гиперплоскость, проходящую через начало координат перпендикулярно вектору p. В более общем виде

px=c,

где c – смещение от начала координат.

Определение 3.8. Открытыми полупространствами называются два

множества точек линейного пространства Rⁿ, определяемые условиями

L⁺={x| px>с}, L^-={x| px<c}.

3.3. Средневзвешенное по элементам множества

Как известно, уравнение

при фиксированном x₁ и переменном  есть уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через фиксированные точки x₁, x₂, получим из предыдущего, заменив x и x₁ на x-x₂ и x₁-x₂:

.

Теперь начало координат смещено в точку x₂.

Другая, более удобная форма записи:

.

Значения x=x₁ и x=x₂ получаются соответственно при =1 и =0.

Далее, ограничив изменение  пределами и обозначив

, , получим следующее уравнение отрезка:

.

Определение 3.9. Величину x, определяемую из выражения

,

причём , , называют средневзвешенным по элементам x₁, x₂ множества X с весами ₁, ₂.

Физический смысл данного названия следующий: если в точки x₁, x₂ поместить грузы с весами ₁, ₂, то точка x определит центр тяжести системы (см. рис. 3.1).

x₂

x₁

Рис. 3.1. Физический смысл средневзвешенного по элементам множества

3.4. Выпуклые множества

Определение 3.10. Множество S называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком принадлежит этому множеству.

На рис. 3.2 приведены примеры выпуклых (а, б) и невыпуклых (в, г) множеств плоскости.

а) б) в) г)

Рис. 3.2. Выпуклые и невыпуклые множества

Теорема 3.1. / Пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть p и q – произвольные точки, принадлежащие

пересечению выпуклых множеств X, Y. Соединяющий их отрезок будет принадлежать как множеству X, так и множеству Y, а значит, и их пересечению.

3.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какие множества называют ограниченными, какие замкнутыми

и какие открытыми ?

1. Что представляют собой гиперплоскости и полупространства ?

2. Что называют средневзвешенным по элементам множества ?

3. Каков физический смысл средневзвешенного по элементам

множества ?

1. Какие множества называются выпуклыми ?

2. Приведите примеры выпуклых и невыпуклых множеств.

3. Сформулируйте теорему о пересечении выпуклых множеств.

4. Докажите теорему о пересечении выпуклых множеств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Судоплатов C. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной

математики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 280 c.

1. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. – СПб.:

Питер, 2001. – 304 с.

1. Редькин Н. П. Дискретная математика: Курс лекций для

студентов-механиков. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2003. – 96 с.

4. Брассар Ж. Современная криптология: Пер. с англ. – М.: Полимед,

1999. – 176 с.

5. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика: Пер. с англ. – М.:

Наука, 1990. – 384 с.

1. Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы:

Учеб. пособие. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003. – 288 с.

Характеристики

Список файлов книги