Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Отметим одно отличие теории множеств от алгебры чисел. Так,

если a и b – два числа, то между ними должно выполняться одно из соотношений:

a<b, a=b, b<a.

Что же касается двух множеств X и Y, то для них может не

выполняться ни одно из соотношений

XY, X=Y, YX.

На практике между двумя множествами X и Y возможны ещё два

соотношения:

XY=;

пребывание X и Y в общем положении.

Нетрудно заметить, что пересечение множеств обладает

коммутативным свойством, а именно

XY=YX,

а также ассоциативным:

(XY) Z=XYZ.

Имеет место и соотношение

X=,

что аналогично соотношению a0=0 в обычной алгебре.

Последнее соотношение показывает, что пустое множество в

алгебре множеств играет роль нуля.

В отличие от операций объединения и пересечения множеств, разность множеств определяется всегда только для двух множеств.

Определение 1.20. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y, что обозначается так:

X \ Y;

на рис. 1.5 разность множеств – это заштрихованная фигура. Т. о., формальное определение:

X \ Y={x | xX и xY}.

Пример 1.6. Для множеств X и Y примера 1.2 их разности:

X \ Y={1, 3, 5}, Y \ X={6, 7}.

X

Y

X

Y

Рис. 1.5. Разность множеств Рис. 1.6. Симметрическая разность

множеств

Симметрической разностью множеств X и Y называется множество

;

симметрическая разность двух множеств проиллюстрирована на рис. 1.6.

Т. о., её формальное определение есть

.

Пример 1.7. Для множеств X и Y из примера 1.2:

{1, 3, 5, 6, 7}.

Более подробно остановимся на понятии универсального множества, определение которому было дано в п. 1.1.

Подобно тому, как пустое множество играет роль нуля в алгебре множеств, универсальное множество U играет роль единицы, т. е. удовлетворяет условию:

XU=X,

аналогичное условию

a1 = a

в обычной алгебре.

Указанное соотношение означает, что пересечение или “общая

часть” множества U и множества X совпадает с самим этим множеством. Это возможно лишь в том случае, если множество U содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве U.

Если U есть совокупность всех натуральных чисел, то X, скажем,

может обозначать множество всех чётных чисел; если U обозначает совокупность всех точек на плоскости, то X может быть множеством точек какого-то круга и проч.

В алгебре множеств существуют также операции дополнения и разбиения множеств.

Определение 1.21. Множество X, определяемое из соотношения

X=U \X,

называется дополнением множества X (до универсального).

На рис. 1.1 множество X представляет собой незаштрихованную

область. Формальное определение имеет вид:

X={x | xU и xX}.

Пример 1.8. Если U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} и X={3, 5, 7}, то X={1, 2, 4, 6}.

Из определения множества X следует, что X и X не имеют общих элементов, т. е.

XX=.

Кроме того, не имеется элементов множества U, которые не принадлежали бы ни X, ни X, поскольку элементы, не принадлежащие X, принадлежат X. Следовательно,

XX=U.

Другой часто встречающейся операцией над множествами является разбиение множества на систему подмножеств.

Определение 1.22. Разбиением непустого множества A называется совокупность подмножеств, объединение которых даёт A, причём

упомянутые подмножества взаимно не пересекаются.

Если же последнее условие не выполняется, то говорят не о разбиении, а о покрытии.

Из сказанного о разбиении следует, что каждый элемент разбиваемого множества A может содержаться только в одном подмножестве разбиения.

Например, система курсов (с первого по пятый) данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса.

Если N – множество натуральных чисел, а A₀ и A₁ – множество чётных и нечётных чисел, то система {A₀, A₁} будет разбиением множества N.

1.4. Тождества алгебры множеств

Примечательно, что тождества алгебры множеств могут быть переведены на язык математической логики и обратно. Это видно из табл. 1.1.

Табл. 1.1

Кроме того, в терминах теории множеств силлогизм “если всякое A есть B и всякое B есть C, то всякое A есть C”, принимает простой вид:

если AB и BC, то AC.

Аналогично “закон противоречия”, утверждающий, что “объект не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством, записывается в виде:

AA’=,

и “принцип исключённого третьего”, говорящий, что “объект должен или обладать, или не обладать некоторым свойством”, записывается:

A+A’=U.

На основе слияния логического анализа математики и математического анализа логики создалась новая дисциплина –

математическая логика.

Установление тождеств алгебры множеств посредством рассматривавшейся диаграммы Эйлера-Венна не всегда оказывается удобным. Существует более общий способ установления тождественности двух алгебраических выражений.

Пусть этими выражениями являются следующие:

 (X, Y, Z) и  (X, Y, Z).

Пусть также они получены путём применения операций объединения, пересечения и дополнения к множествам X, Y, Z. Чтобы доказать справедливость того, что

 =,

необходимо и достаточно будет показать, что

  и что  .

Далее, чтобы показать, что  , следует убедиться, что из x следует x. Аналогичным образом, чтобы показать, что  , следует убедиться в том, что из x следует x.

Докажем таким способом следующее тождество, называемое в литературе тождеством де-Моргана:

.

Предположим, что x , т. е. что x . Это означает, что xX и xY, т. е. и . Следовательно, .

Предположим теперь, что , т. е. что и . Это

значит, что yX и yY, т. е. что y XY. Отсюда следует: .

Наряду с введённым понятием множества лишь как совокупности его элементов, другим важным понятием является также понятие упорядоченного множества. Упорядоченное множество обычно называют кортежем. Дадим его определение.

Определение 1.22. Кортежем называется последовательность элементов, т. е. такая их совокупность, в которой каждый элемент занимает определённое место.

Сами элементы при этом называются компонентами кортежа (первая компонента, вторая компонента и т. д.).

Примеры кортежей:

1. множество людей, стоящих в очереди;

2. множество слов во фразе;

3. числа, характеризующие долготу и широту какой-либо

географической точки и т. д.

Во всех перечисленных множествах место каждого элемента множества является вполне определённым и не может быть произвольно изменено.

В технических задачах эта определённость часто является просто предметом договорённости. В частности, только договорённостью можно объяснить, почему при описании географической точки долготу ставят на первое место, а широту на второе.

Состояние кибернетической системы часто описывают множеством параметров, принимающих числовые значения. Состояние системы в этом случае представляет собой просто некоторое множество чисел. Чтобы каждый раз не оговаривать, что означает конкретное число множества, заранее определяют, какое именно число считать первым, какое вторым и т. д. Таким образом, совокупность параметров представляют в виде упорядоченного множества.

Например, если обозначить через h высоту полёта летательного

аппарата, а через v обозначить его скорость, то кортеж

Характеристики

Список файлов книги