10 вариант (1023547)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈßÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÐÀÄÈÎÒÅÕÍÈÊÈ, ÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È ÀÂÒÎÌÀÒÈÊÈÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇII ÑÅÌÅÑÒÐÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈÊÎÍÒÐÎËÜÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈßÄËß ÑÒÓÄÅÍÒΠÔÀÊÓËÜÒÅÒÀÊÈÁÅÐÍÅÒÈÊÈÌÎÑÊÂÀ 2012Ñîñòàâèòåëè:À.Ã.Àñëàíÿí, È.Ï.Äðàãèëåâà, À.È.Ñèðîòà,È.À.×åãèñ, À.Â.Øàòèíà, À.Ë.ØåëåïèíÐåäàêòîðÞ.È.ÕóäàêÊîíòðîëüíûå çàäàíèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïîâûìè ðàñ÷åòàìè ïî ðàçäåëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âîøåäøèì â ïðîãðàììó II ñåìåñòðàI êóðñà ôàêóëüòåòà êèáåðíåòèêè (íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë, îïðåäåëåííûé èíòåãðàë, âåêòîðíûé àíàëèç), è îñíîâàì äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Òèïîâîé ðàñ÷åò âûïîëíÿåòñÿ ñòóäåíòàìè â ïèñüìåííîìâèäå è ñäàåòñÿ ïðåïîäàâàòåëþ äî íà÷àëà çà÷åòíîé ñåññèè.

Âîïðîñûê çà÷åòó èëè ýêçàìåíó ìîãóò áûòü óòî÷íåíû è äîïîëíåíû ëåêòîðîì.Ïðè ñîñòàâëåíèè êîíòðîëüíûõ çàäàíèé çà îñíîâó áûëè âçÿòû òèïîâûå ðàñ÷åòû, ðàçðàáîòàííûå êîëëåêòèâîì êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè.Ïå÷àòàþòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà óíèâåðñèòåòà.Ðåöåíçåíòû:È.À.ÑîëîâüåâÈ.Ã.Ëåáîc ÌÈÐÝÀ, 2012°Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ íàïå÷àòàíû â àâòîðñêîé ðåäàêöèèÏîäïèñàíî â ïå÷àòü .02.2012. Ôîðìàò 60×84 1/16.Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ.Óñë.ïå÷.ë. 1,63. Óñë.êð.-îòò. 6,52. Ó÷.-èçä.ë. 1,75.Òèðàæ 100 ýêç. CÔåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîåó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòðàäèîòåõíèêè, ýëåêòðîíèêè è àâòîìàòèêè119454, Ìîñêâà, ïðîñï. Âåðíàäñêîãî, 783ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇII ñåìåñòðÒÈÏÎÂÎÉ ÐÀÑ×ÅÒÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß1.

Ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ çàäàííûõ èíòåãðàëîâ.Âû÷èñëèòü I0 è I1 . Ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå íàéòèà) In =R∞â) I n =2 2xn e−α x dx;0π/2Rsinn x dx;0á) In =ã) In =π/2R01R0cosn x dx;npx dx .1 − x22. Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèèv(x)RF (x) =f (t) dt, ãäå u(x) 6 v(x).u(x)3. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f (x, y) = x2 y 2 /(x2 y 2 + (x + y)2 ) ñóùåñòâóþò îáà ïîâòîðíûõ ïðåäåëà: ïðè x → 0, çàòåì y → 0, è ïðèy → 0, çàòåì x → 0, íî íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëà, êîãäà M (x, y) →O (0, 0).4. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) = 2xy/(x2 + y 2 ), f (0, 0) = 0,íåïðåðûâíà ïî êàæäîé ïåðåìåííîé x è y â îòäåëüíîñòè, íî íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî èõ ñîâîêóïíîñòè.√5. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) = 3 xy èìååò îáå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå O(0, 0), íî íå äèôôåðåíöèðóåìà â ýòîé òî÷êå.6. Âû÷èñëèòü äâîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f (x, y) = ∂ 2 F /∂x∂yïî ïðÿìîóãîëüíèêó ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò.7.

Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZ1f (x, y) dxdy.limR→0 πR2x2 +y 2 6R28. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðîèçâîäíóþ F 0 (t) ôóíêöèèZZF (t) =f (x, y) dxdy (t > 0).x2 +y 2 6t24Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y) = x2 + y 2 .9. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y, z) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZ1f (x, y, z) dσ.limR→0 4πR2x2 +y 2 +z 2 =R2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 1.10. Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèþ f (x, y, z) íåïðåðûâíîé, íàéòè ïðåäåëZZZ3f (x, y, z) dxdydz.limR→0 4πR3x2 +y 2 +z 2 6R2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 1.11. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ F 0 (t) ôóíêöèèZZZF (t) =f (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz.x2 +y 2 +z 2 6t2Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò íà ïðèìåðå f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .12.

Ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿëþáîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] òî÷êàìè x0 = a, x1 , x2 , ..., xn = bìîæíî òàê ïîäîáðàòü òî÷êè ξi ∈ [xi , xi+1 ], ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùàÿèíòåãðàëüíàÿ ñóììà â òî÷íîñòè ðàâíÿëàñü îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó îò f (x) ïî îòðåçêó [a, b].13. Âûâåñòè ôîðìóëó ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ èíòåRbãðàëà f (x) dx, ðàçáèâàÿ îòðåçîê [a, b] íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìèax0 = a, x1 , x2 , x3 = b è çàìåíÿÿ f (x) êóáè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì, ïðîõîäÿùèì ÷åðåç óçëîâûå òî÷êè (xi , f (xi )).5ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀÍÈßÇÀÄÀ×À 1. Íàéòè íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë.

Ïî óñìîòðåíèþïðåïîäàâàòåëÿ âûïîëíÿåòñÿ ëèáî îäíî èç çàäàíèé (à èëè á), ëèáîîáà çàäàíèÿ.N àZ1Z2Z3Z4Z5Z6Z7Z8Z9Z10Z11Z12Z13Z14arctg 2xdxx2cos x + 1dx3 + 5 sin xdx√√√4x( x3 − 5 x + 6 4 x )¡¢x2 ln x2 + 2x + 5 dxdxex (e2x + 2ex + 10)arctg 2xdxx3cos x − 1dx4 − 5 sin xdx√√√4x( x3 + 6 x − 7 4 x )¡¢ln x2 − 4x + 5 dxdx3xe − 2e2x + 2exµ¶1x2 − 2 arctg x dxxsin xdx4 + 5 sin xdx√√33x + 2 x + x4¡¢(x−1) ln x2 +6x+10 dxáZZZZZZZZZZZZZZx4 + 2x − 1dxx2 (x − 1) (x2 − x + 1)x4 + 3x3 − 19x2 + 29x − 10dxx(x − 1)2 (x2 − 2x + 5)x4 − 16x2 + 10x + 8dxx (x − 2)2 (x2 + 2x + 2)−x4 + 5x3 − 7x2 + 11x − 16dx(x − 1)(x + 1)2 (x2 − 4x + 5)−x4 − 2x3 + 8x2 + 16x − 1dx(x + 1) (x − 1)2 (x2 + 4x + 5)2x4 + 2x3 − 7x2 − 8x − 6dxx2 (x + 3) (x2 + x + 1)3x4 −10x3 −48x+20dx(x+1)(x−2)2 (x2 +2x+10)2x3 + 16x2 + 29x + 25dx(1 − x)(x + 2)2 (x2 + 2x + 5)−x4 + 4x3 − 5x2 − 6x + 3dxx (x − 1)2 (x2 + x + 3)−x4 + 4x3 + 3x2 + 4dxx2 (x − 2) (x2 + x + 2)−2x4 + 2x3 + 8x2 − 6x + 6dx(x + 1) (x − 1)2 (x2 − x + 2)−3x4 −10x3 −13x2 +2x+18dx(x + 2) (x + 1)2 (x2 + 2x + 6)−2x4 − 5x3 + x2 + 23x − 49dx(x − 1) (x + 3)2 (x2 − 2x + 2)2x3 +9x2 −33x+27−x4dx(x − 1) (x − 2)2 (x2 − 2x + 3)6Z15Z16Z17Z18Z19Z20Z21Z22Z23Z24Z25Z26Z27Z28Z29Z30dxe3x − 4e2x + 5exµ¶1x + 3 arctg 2x dxxsin xdx3 − 5 sin xdx√√3x − 2 x3 + x4¡¢ln 4x2 + 4x + 5 dxdx3xe + 4e2x + 5exarctg 5xdxx3cos x + 2dx1 + 2 cos xdx√√√4x( x3 −2 x+5 4 x )¡¢x ln 4x2 −4x+5 dxdxex (e2x − 6ex + 10)µ¶4x2 + 2 arctg x dxxcos x + 2dx3 − 5 sin xdx√√√3x2 − 2 x + 2 3 x¡¢x2 ln x2 −2x+10 dxdxex (e2x + 6ex + 13)Zx4 − x3 + 2x2 + 16dxx2 (x + 2) (x2 − 2x + 4)Z4x4 − 19x3 + 2x2 + 13x + 48(x + 3) (x − 3)2 (x2 + x + 2)Z−x4 + 3x3 + 5x2 − 2x + 3dxdx(x + 3) (x + 1)2 (x2 + x + 3)Z 5x − 2x4 + 5x3 − 12x2 + 6x − 6ZZZZZZZZZZZZdx(x − 1)2 (x2 + x + 2)−2x5 +10x4 −21x3 +31x2 −26x+8dx(x − 2)2 (x2 − x + 2)x5 +8x4 +29x3 +56x2 +54x+17dx(x + 2)2 (x2 + 2x + 3)−x5 − 2x4 + 13x2 + 23x + 14dx(x + 1)2 (x2 + 2x + 4)2x5 − 3x4 + 4x3 − 6x2 + 5x + 2dx(x − 1)2 (x2 + x + 2)2x5 +5x4 +11x3 +26x2 +32x+8dx(x + 1)2 (x2 − x + 4)−x5 +7x4 −22x3 +46x2 −56x+36dx(x − 2)2 (x2 − 2x + 3)3x5 +20x4 +52x3 +60x2 +17x−15dx(x + 2)2 (x2 + 3x + 3)−3x5 +8x4 −14x3 +22x2 −16x+9dx(x − 1)2 (x2 − x + 2)3x5 −12x4 −29x3 +39x2 +324x−26dx(x − 4)2 (x2 + 4x + 6)−2x5+17x4−57x3+110x2 −139x+91dx(x − 3)2 (x2 − 2x + 5)x5 + 5x4 + 6x3 + 7x2 + 30x + 6dx(x + 3)2 (x2 + x + 1)2x5 +11x4 −2x3 −31x2 +126x+40dx(x + 4)2 (x2 − 3x + 4)7ÇÀÄÀ×À 2.

Âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Âûïîëíÿåòñÿ(ïî óñìîòðåíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ) ëèáî çàäàíèå à, ëèáî çàäàíèå á.1R2(x − 1)203R3x√2√a4 − x2dx203 + 2x − x2 dx415R2√(2 + x2 ) 4x − x2 dx0(x + 1)2Z2√6x − x2 dx1R2−2R6(x2 − 2x + 2)5q(2x + 1) (4 − x2 )3 dx√(x−2)2 12−x2 +4x dx(x2− 6x + 10)¡ 2¢x + 1 dxq(x2 + 4x + 8)5−23√195Z2√231x2 − 4x − 5 dx(x − 2)4dxx2 − 2x + 2(x − 1)5 dx√x2 − 2x + 5q14−1π/4Z16dx17 ds1820 3 cos x + 2 sin x cos x + 11Z3x dx(x2 − 6x + 10)5√10 (x−1)4 24−x2 +2x dx1R2 2 q12 x (4 − x2 )3 dxπ/4R21(x2 − 4x + 8)53R6Z0x dx2Z0Z8dx0q15q8−2Z313q62Z4x2 dxq711R2√(x2 + 2) 2x − x2 dxZ409R2√1Z7√204√242x2 + 2x − 3 dx(x + 1)4x2 − 2x − 8 dx(x − 1)3Z32Z3(x2 + 2x + 2)5dx2 + sin2 x + 6 sin x cos x03Z22x2 dxdxx2 − 4x + 5(x − 2)3 dx√x2 − 4x + 58a1/2Z25−1/2π/4R270Z429Z7 √(2x + 1)3 dx√4x2 + 4x + 526dx28cos2 x + 2 sin x cos x + 1√x2 − 2x + 10 dx(x − 3)35Z6√2 3Z2x3 dx√x2 − 9x dxq301x2 − 6x + 5 dx3/2(4x2 − 12x + 10)5áZ31, 162Z2(x + 1)3q2, 17(3 + 2x − x2 )51Z3x3q3, 1821.5Z4, 1914.5ZZ4 q(x − 1)3qdx52(4x − x )(3 − 2x − x2 )59, 24−2dx10, 25dx7, 22x2 − 4x + 5 dx8, 230√(2x−1)2 4x2 −4x+2 dxdx(x−1)2 (x2 − 2x − 8)5¡ 2¢x + 1 dxq12, 2732−2 (x + 4x + 8)Z4(x − 2)2 dxq13, 28(x2 + 4x − 5)52√R414, 29 (2x−1)2 x2 −6x+10 dx5Z03Z12R1q11, 260√√x2 x2 − 6x dxZ6(x + 2)3qdx52(2x − x )(x−2)2R86(x − 1)3qdx5, 2052(6x − x )3qR46, 21(x2 − 4x + 8)3 dxR3(x2 − 2x + 10)3 dxq15, 300(x+1)2dx(x2 + 2x + 5)59ÇÀÄÀ×À 3.

Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëè âû÷èñëèòü åãî, åñëè îí ñõîäèòñÿ.Z∞1.1Z∞dxx2 (x + 1)Z∞2.1Z∞e−4x cos 3x dx 5.4.0+∞ZZ1x ln x dx8.−∞Z10Z1/e10.0Z∞13.0Z∞16.dxx ln2 x11.xdxx3 + 114.0Z∞Z119.0Z∞0Z∞25.0Z∞28.03.1Z∞6.dx(x − 1)dx√x+ xx sin x dxdxx2 + 2x + 2(x − 1) dx√3x52Ze9.1xdx¡¢21 + x2dx√x ln xZ112.−1Z∞0Z∞e−2x sin 5x dx 18.17.0Z∞20.1Z∞ln x dxx−10Z∞Z1pxdx1 − x2xdxp24.27.0−1dxx ln3 x00Z∞ln x dxdxxe−x dx21.Z129.√xZ1x2 e−3x dx26.(x + 1) dx√5x3e−15.0dxx3 + 1x3 + 1dxx40xe−x dxe−x cos 2x dx 23.22.x2 − 1Z∞0Z∞21pe−x sin x dx07.xdx2Z∞1 − x2dxx2 + x − 2e−2x sin x dx30.010ÇÀÄÀ×À 4.

Èçìåíèòü â äâîéíîì èíòåãðàëåψ(x)ZZbf (x, y) dydxaϕ(x)ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñäåëàòü ÷åðòåæ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ.N a bϕ (x)71 − x2 /9√0 3 − 3x − x2√0 44x − x2√0 3 − 25 − x290 11350 311 0 613 2 515 1 917 0319221 02722323 0725 0 3−2x−x − 1ψ (x)√9 − x2Nab2020√4x412614x2 /4√x3−x8√4 + x2 10√36 − x2 1205/24x230 − 2x−114x5 − x2−20√− 4 − x24 − x22 + x x2 − 2x − 8√√x9x√2x − x22√04x − x2√016 − x22x20xϕ (x)√− 4 − x2ψ (x)2−x√5 − x26−x−42 x2 + 2x − 7 3 − x√√ √216 − 22x /23 − x2√18 02 − 4 − x22x√ √20 − 33x2 /33√22 161x+31424−113x2 − x2 /9 26−222x227 0 4x+110 − x28−22029 0 43x212x301203(x + 1)/29√√4 − x24x − x2ÇÀÄÀ×À 5. Âû÷èñëèòü îáúåì òåëà ñ ïîìîùüþ òðîéíîãî èíòåãðàëà,ïåðåõîäÿ ê öèëèíäðè÷åñêèì èëè ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì.11½x2 − y 2 + z 2 6 01.22½ 4y2 6 x2 + z + 1x + y 6 4, z > 03.22½ z 6 16 − x − y46z665.22½ x2 + y 2 6 4zx + y + z 2 6 167.22½ y 2 + z 2 6 6x2x +z 6y9.22½ x + z 26 2 2− y2y > x + z11.22 + z2)½ y 2 6 4(xy + z 2 6 9, x > 013.222½ x2 + y2 + z 6 16x + z > 4y > 015.22½ x + z 26 9 2x > 9(y + z )17.22½ 3x 6 3 − y − zy 6 z 6 4y, y > 019.22½ x +y 69y>021.x2 − z 2½ y 26 5 −x + y 2 + z 2 6 4x23.222½ y + z 62 2x 2x > 0, y + z 6 225.222½ x2 6 y2 + z2 + 1x +y +z 6227.22½ y 6 x 2+ z 2y > (x + z )/4 − 129.y 6 2 − (x2 + z 2 )/2½−x2 + y 2 + z 2 6 02.222½ x2 + y 2 + z 2 6 9x +y +z 614.22½ x2 + z 2 6 z 2x + z 6 5y6.222½ x +y +z 69y > −48.22½ x2 + z 2 + y 6 5y + z 6 8x10.22½ 9 2− y 2− z > 5xx + y 6 25, z > 012.222½ x2 + y 2 + z 2 6 36x + y + z 6 4914.22½ x + y > 4zx+y+z 6416.22½ z 2> 0, 2x + y2 6 2x + y 6 7z18.222½ x2 + y 2 + z 6 4x + y 6 3z20.222½ x +y +z 6406x66−y−z22.22½ y + z 6 1636y6424.x2 − z 2½ y 26 8 −x + z 2 > 4, y > 026.222½ x + y + z 2 6 2520 6 z 6 5(x + y )28.½ x + y 6 1, x > 0, y > 0x > 0, y > 0, z > 030.z 6 1 − x2 − y 2ÇÀÄÀ×À 6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы