А.И. Куприянов - Основы защиты информации (1022813), страница 7
Текст из файла (страница 7)
С такой скоростью сообщения передаются по информационому каналу или воспроизводится информационной системой, удь то канал передачи или утечки информации. Эта скорость за: исит как от свойств источника информации, так и от свойств ::самого канала. Максимально достижимая скорость при заданном чесгве передачи информации с = шахЯ(А,В) называется про.. скной способностью канала передачи и является важнейшей .:~характеристикой информационной системы. Для оценки пропус,:~~ной способности можно привести следующие рассуждения. Пусть по дискретному каналу передаются сигналы, содержа:.:~дне по л символов каждый, и пусть эти символы выбираются из :-:алфавита, который содержит т символов (имеет объем т).
Каж'::дый такой сигнал может принимать Ф разных значений и, соот- 27 ветственно, переносить информацию об Ф разных сообщениях. Естественно, при п=1 Ф=т; при п=2 Ф=т2 (2.13) при и Ф=т". Если все сигналы в информационной системе независимы (ка- с = Я = — = — 1о8 — = = — !о82 т (2. 14) 1' 1 Р, 1оя2 т" 1 т пт~ Рр„п'~~ Для передачи символа (элементарного сигнала) длительностью к, канал передачи данных должен иметь ширину полосы пропус- 1 кания иг = — . Именно такую полосу частот занимает сигнал дли'С~ тельностью т,.
Поэтому для дискретного канала без памяти соотношение (2.14) позволяет утверждать, что (2.15) с=и 1о8,т. Если условие неискаженной передачи не выполняется и в канале происходят ошибки с вероятностью р, то апостериорная вероятность правильного воспроизведения каждого символа сообщения будет равна уже не единице, а нал без памяти)„равновероятны Р = — и принимаются без 1 ~ч искажений (Р, = 1), а длительность передачи каждого сигнала Т= = пт, равна сумме длительности элементов (символов), из которых он составлен, то скорость передачи информации оказывается равной: ,;:.Используя (2.9), (2.15) и (2.16), можно получить: р с = ю 1о82т+р1оя2 — +(1 — р)1о82(1 — р) .
т — 1 ":.Важный частный случай двоичного симметричного ' да т = 2, а искажения противоположных по значени -" при передаче равновероятны, иллюстрируется рис. ''.:::.Для этого случая пропускная способность выражаетс ' ием (2.18) канала, ю симво- 2.1. я соотно- с = и1~1+ р1о82р+(1 — р)1о82(1 — р)]. (2.19) :--:-;; Зависимость удельной пропускной способности, нормирован':-й к полосе пропускания информационной системы в двоичном : метричном канале, от вероятности искажения символа предена на рис.
2.2. ,;; Как видно из (2.17) и графика (см. рис. 2.2), при р = 0,5 пропусая способность с = О. В содержательных терминах это означает, при такой вероятности ошибки сообщение можно и не пере- ". Получателю сообщения можно просто выбирать его с равной ' роятностью из двух возможных.
Иначе говоря, с= О соответству,: обрыву информационного канала или блокировке канала утечинформации. :.' Скорость передачи информации по каналу максимальна с= шах только при р = О (что впоЛне естественно), но и при р = 1. При ' = 1 все символы при передаче меняются на противоположные, , о такой инвертированный, зеркально преобразованный сигнал '":держит всю ту же информацию, что и исходный, неискаженый. с/ю (1-р) (2.16) 0 0,5 1 Р 1 — р при а~ — -Ь~, = р(Ь|~а~,) = р — при а ~Ь, т — 1 и входящая в (2.14) величина количества информации должна определяться согласно (2.11) с учетом того, что Н(А) — энтро- пия источника сообщений — не зависит от свойств канала, а ус- ловная энтропия Н (В ~А) = -М ~1о32 (Ьа ~а, )) = — р 1о8, — + (1 — р) 1о82 (1 — р), (2 17) т-1 28 ~Р ~й ';::~"ис. 2.1.
Граф изменений симво"~юв в двоичном симметричном канале Рис. 2.2. Нормированная пропускная способность двоичного симметричного информационного канала ' В этих крайних экстремальных случаях р = О и р = 1 максимум пропускной способности (измеренной в бодах, 1 бод = 1 бит/с) не превосходит численного значения ширины полосы пропускания информационной системы (Гц). В отличие от дискретных сигналов, состоящих не из конечного набора символов, выбранных из ансамбля (алфавита) конечного размера, непрерывные сигналы х(~) могут принимать значения из континуального множества з~ 1з;„;з 1, где л, ..., х динамический диапазон сигнала, и существовать во всех точках временного континуума ~~ 10; Т].
Формальное применение использованных выше рассуждений для оценки пропускной способности канала передачи непрерывных сообщений может привести к парадоксальным результатам. Непрерывный сигнал, как показано на рис. 2.3, можно уподобить последовательности сколь угодно коротких импульсов (дискретных сигналов), сколь угодно мало отличающихся по амплитуде.
Даже конечный интервал времени существования непрерывного сигнала может содержать бесконечно много таких импульсов. Может показаться, что такая пачка импульсов содержит бесконечно большое количество информации. Кроме того, каждый из этих импульсов имеет амплитуду, равную соответствующему значению сигнала л(~), т.е. принимает значения на сегменте 1з „; я Если считать, что все множество импульсов различных амплитуд составляет алфавит, то придется признать объем этого алфавита бесконечно большим, а, значит, каждое сообщение, передаваемое символами такого алфавита, содержит бесконечно большой объем информации, т.е.
формальное сведение непрерывного сигнала к пачке узких примыкающих друг к другу импульсов приводит к выводу о дурной бесконечности ( .х ) в оценке пропускной способности информационного канала. Противоречие между ограниченностью динамического диапазона сигнала конечной длительности и кажущейся бесконечностью его информационной емкости разрешается довольно просто. Если канал передачи (или утечки) информации имеет конечную "осу пропускания и~ (а это условие совершенно естественно и ': олняется для всех физически реализуемых систем), то сооб"йие на приемной стороне канала может быть абсолютно точно ановлено по своим дискретным значениям, следующим с " иодом повторения Ь| = —. Это необходимое и достаточное 1 2ш '" ожение обосновывается фундаментальной для теории и техинформационных систем теоремой В.А.
Котельникова. Факески утверждение о возможности точного восстановления сощения означает, что выборка дискретных по времени значений ала, имеющая объем Ф = — +1 = 2Ти~+1 = 2Ты, Т М (2.20) -держит ту же информацию и в том же объеме, что и исходное ' прерывное сообщение л(г). Реально при передаче, приеме и обработке сигнала на него всенакладываются помехи (шумы). Поэтому, передавая сигнал, бес. олезно требовать представления его выборочных значений з~г = ." пИ) с точностью, превосходящей уровень шумовых флуктуа" й: чем больше средний уровень мощности шума Р, сопровожщего прием сигнала мощностью Р„тем меньше разных зна':ений сигнала можно различить на приеме (рис. 2.4).
,::;,; Иначе говоря, в условиях действия помех реально можно разчать только т градаций уровня сигнала, причем У,+У Р+Р (2.21) ' ать любое из ж = 1+ — ' =,~Г+ д значений. Поэтому количество Р, Р 'информации, переносимой сигналом л(Г), те 10; Т] по каналу с Р, м помех — ' = д, равно Р 'полосой пропускания и~и уровне Таким образом, непрерывный сигнал длительностью Т и шиной спектра и~ будет содержать такое же количество информа-'"" и, что и выборка из Ф= 2шТ+ 1 импульсов, способных прини- Т +а скорость передачи этой информации 30 Рис, 2.3.
Представление непре- рывного сигнала Рис. 2.4. Конечное число различимых градаций сигнала, наблюдаемого на фоне шума Х = Ф1оКг т = 2и~Т1щ~ 1+ — ' = шТ 1оа, (1+ д), (2.22) Р 1, Р, = ~ 1оК~ 1 + — = ь 1одг (1 + д) Т Р 'вого значения. Так, для передачи 1 бит информации нужно, оче- (2.23) видно, чтобы Соотношение (2.23) именуется формулой Шеннона. Оно универсально для любых информационных систем вне зависимости от того, какие физические процессы и поля ими используются для образования каналов передачи либо перехвата информации.
Из (2.23) следует, что для увеличения пропускной способности информационного канала нужно либо увеличивать мощность сигнала (соотношение д = Р,/Р )„либо расширять полосу в. Но эти способы неравноценны. С расширением полосы и~ пропускная способность растет линейно, а при изменениях д она меняется по логарифмическому закону, т.е. медленнее. Поэтому компенсировать сужение полосы спектра сигнала увеличением его мощности не всегда выгодно.
Если работе информационной системы противодействует нормальный стационарный шум со спектральной плотностью Фо, то Р,„= иЖо и (2.23) преобразуются к виду Р, с ы1032 1+ шло (2.24) Это значит, что при расширении полосы и~ пропускная способность сначала при малом ю быстро растет (с — и~), а затем асимптотически сходится к величине с„= 11гпи~1оК~ 1+ — ' = 1пп1оК~ 1+ — ' =1,443 — '.
(2.25) Р, Н1-1 Фош ш ~~о и' ~о Зависимость (2.24) представлена графиком (рис. 2.5). Из (2.24), в частности, следует, что для передачи заданного количества информации 1= сТ с требуемым качеством, отношение энергии сигнала к спектральной плотности аддитивного нор- Р,Т мального шума — ' должно быть не меньше некоторого порого~о с(Ид/Р ) 1,5 1„0 0,5 Рис. 2.5. Диаграмма обмена нормированной пропускной способности на 4 о'(~"о /Р ) полосу канала передачи инФормации 0 1 32 (2.26) — — — > — = 1п 2 = О, 693. Ф, 1оя,е Р,Т Подобно удельным затратам энергетического потенциала — ' на 1 бит можно определить удельные затраты полосы пропуска:ния канала на передачу 1 бита информации р = — < —.
(2.27) Я с Приняв во внимание, что при 1= 1 бит, 1пах(ЯТ) = =сТ=1 бит а также учитывая (2.24) и (2.26), можно установить, что и) РТс — 1оя~ 1+ — ' — =1 с ~о а' (2.28) '.или 1ОИ2 1+ 1 Рк Р (2.29) рис 26 Граница Шеннонадля гауссовского канала 33 Зависимость (2.27) определяет диаграмму обмена между удель- (на передачу 1 бита информации) затратами энергии и по,, лосы в канале с гауссовскими шумами. Эта зависимость пр д а ис. 2,6. Она называется границей Шеннона и показывает, фо м ионной в какой мере улучшение одного из показателей инфор ац :.системы (Ц или р„) приводит к ухудшению другого.
В опти:,мальные системы, наилучшим образом использующие для пере:дачи информации энергию сигнала и полосу частот, занимаемую аго спектром, располагаются на кривой (см. рис. 2.6). Все реальные системы — выше кривой: они требуют больших затрат полосы и ' нергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
