AOP_Tom2 (1021737), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Предположим поэтому, что все числа во Вселенной внезапно оказались умноженными на некоторый постоянный множитель с; наша "Вселенная" случайных величин с плавающей точкой должна после этого преобразования остаться, по существу, неизменной, так что вероятности р(г) не должны измениться. Умножение всех чисел на с имеет тот эффект, что (!ок,е П) шоо 1 превращается в (1ойщ (/+!оцэ с) шоб 1. Выведем формулы, описывающие искомое распределение.
Можно считать, что 1 < с < 10. По определению общепринятого определения вероятности, Традиционный способ точной формулировки подобных аргументов подразумевает, что существует некое лежащее в основе рассматриваемого явления распределение чисел г'(и), такое, что вероятность того, что данное произвольное число Г не превосходит и, равна г'(и); тогда интересующая нас вероятность равна р(г) = ~~~ (Е(10™г) — Е(10 )), т (4) где суммирование проводится по всем значениям — со < т < оо. Наше предположение об инвариантности по отношению к масштабированию и о непрерывности приводит к заключению,что р(г) = 1окщег. Используя те же доводы, можно "доказать", что (Г(6 г) Г(6 )) 1оК~ г (5) прн 1 < г < 6 для любого целого числа 6 ) 2. Но не существйеш функции распределения Г.
которая удовлетворяла бы этому равенству для всех таких Ь и г (см. упр. 7). Один из способов выхода из этой затруднительной ситуации состоит в рассмотрении логарифмического закона р(г) = 1ок~в г лишь как очень хорошего приближения к истинному распределению. Возможно, истинное распределение изменяется при расширении Вселенной, делая с течением времени наше приближение все лучшим и лучшим; и, если заменить основание 10 произвольным основанием 6, наше приближение будет тем менее точным (в любой данный момент времени), чем больше 6. Другой довольно привлекательный способ решения дилеммы, связанный с отказом от традиционного понятия функции распределения, предложен Р.
А. Рэйми )В.. А. Капп1, АММ 76 (1969), 342-3481, Витиеватые рассуждения последнего абзаца, по-видимому, нн в коей мере нельзя признать удовлетворительным объяснением, так что следует весьма положительно отнестись к проводимым ниже вычислениям (где мы придерживаемся строгого математического канона и избегаем любых интуитивно понятных (и вдобавок к тому еще и парадоксальных) понятий теории вероятностей). Рассмотрим вместо распределения некоего воображаемого множества вешественных чисел распределение значений ведущих (старших значащих) разрядов пололсишельнмх целых чисел.
Исследование этого вопроса чрезвычайна интересно, и не только потому, что оно проливает некоторый свет на распределения вероятностей для данных, представленных в формате с плаваюшей точкой, но и потому, что оно служит весьма поучительным примером сочетания методов дискретной математики с методами исчисления бесконечно малых. Во всех последующих рассуждениях г будет обозначать фиксированное вещественное число, 1 < г < 10; мы попытаемся дать разумное определение р(г) как "вероятности" того, что представление 10'э ~л "случайного" положительного целого числа Ф удовлетворяет неравенству 10~а < г в предположении о бесконечной точности представления. Для начала попытаемся найти эту вероятность, используя методику предельного перехода, аналогично тому, как мы определяли «Рг«в разделе 3.5.
Вот удобный способ перефразирования зтого определения: Ро(п) = 1п = 10'. /, где 10/<г) = ~(1ойщ п) шо61 < 1ойшг). (6) Итак, последовательность Ре(1), Ре(2),... есть бесконечная последовательность нулей и единиц, причем единицы соответствуют случаям, вносящим вклад в значение вероятности, которую мы ищем. Можно попытаться «усреднить«эту последовательность, положив Р~ (п) = — ~ ~Ре(Ь). 1 (7) Таким образом, если сформировать случайное целое число в интервале между 1 и п, используя методику главы 3, и преобразовать его в десятичный формат с плавающей точкой (е„/), то вероятность того, что 10/ < г, и будет в точности равна Р,(п). Естественна принять 11ш„.«Р (п) в качестве искомой "вероятности" р(г). Именно так и было сделано в определении 3.5А.
Но в данном случае зтат предел не существует. Рассмотрим, например, подпо- следовательнасть Р~(з), Р~(10в), Р~(100в), ..., Р~(10"з), ..., где з — некоторое вещественное число, 1 < в < 10. Если в < г, та имеем Р (10" ) = — (( ) — 1+ (10 ) — 10+" + (10" ' ) — 10" '+ (10" ) +1 — 10") « 10«в 1 = — (г(1+10+ ° ° +10" ')+0(п)+110"в) — 1 — 10- . -10") 10"з — — (1в (10" г -10"+') + (10«в1+ 0(п) ) . 1 (8) Р +,(и) = — 7 Р (Ь).
1 ь«1 (9) При п ~ оа функция Р, (10"в) стремится, следовательно, к предельному значению 1+ (г -.10) /9в. Те же вычисления справедливы и для з > г, если заменить (10" з) + 1 на (10«г~. Тогда получим предельное значение 10(г — 1)/9в при в > г. (См. Л. Ггапе1, Хавиггогвсйепс(е ОезейвсЬатс, г7егсе(/аЬгзвсЬг1гз 62 (Ейг1сЬ, 1917), 236-295.) Другими словами, последовательность (Рь(п)) содержит подпоследовательности (Р~ (10" в)), предел которых возрастает от (г — 1)/9 до 10(г — 1)/9г, а затем убывает до (г — 1)/9 по мере того, как в возрастает от 1 до г, а затем от г до 10. Отсюда видно, что последовательность Р~(п) не имеет предела при п -Ф аа и что значения Р~(п) при больших п нельзя считать слишком хорошим приближением к пределу !ой,е г, на который мы рассчитывали! Так как Р~(п) не стремится к некоторому пределу, можно попытаться еще раз использовать ту же идею, что и в (7), для "усреднения" этого аномального поведения нашей последовательности.
Вообще, положим Тогда Р +д(п) будет иметь тенденцию к более правильному поведению, нежели Р,„(п). Попытаемся подтвердить это количественными вычислениями. Опыт, приобретенный при рассмотрении частного случая, когда т = О, подсказывает, что имеет смысл рассмотреть подпоследовательность Р„,д.,(10"в). Таким способом можно доказать следующий результат.
Лемма д<. Для произвольного целого числа т > 1 и произвольного вещественного числа е > 0 найдутся такие функции 0),„(в), В„,(в) и такое целое чисоо Ув(е), что прп и > Ж (е) и 1 < в < 10 выполняются неравенства [Рш(10 в) Ят(в) Нпа(в)[в>д) ~ < е Далее, функции 1г' (в) и 1т'„,(в) удовлетворяют соотношениям (10) 1 1 г1о г' г'о а ( ) = - (- / и ,(с) (с + / и ,(1) а + - / Л ,(с) (г); в 9/, 1 9/, 1 г' и (в) = — / Л„, (с)а; т Юо(в) = 1, Л,(в) = — 1. Докажем лемму индукцней по т.
Сначала отметим, что Я~ (в) = (1 + (в — 1) — (10 — г)/9) /в = 1+ (г — 10)/9в и Лд(в) = (г — в)/в. Из (8) найдем, что [Рд(10"в) — Яд (в)[ = 0(п)/10"; зта доказывает лемму при т = 1. При т > 1 имеем д од"о=-( 2. „, з. — д -,я) К ~„д -(д)). о 1 1 в1 о<у<к дод <в<доги до- <ь<1о- д Необходимо оценить эту величину. Разность — Оз'-- (10г) 1 1 й до <ьйдодд до~йьй1о~д по индукции меньше 9е, когда 1 < 9 < 10 и у > Х д(е). А поскольку функция 5 д(1) непрерывна и потому интегрируема по Риману, разность —,' ~,„,( —,~.) — / ~,()а до><в<додд меньше е для всех у, ббльших некоторого числа Ж, которое не зависит от 9, как следует из определения интегрируемости.
Х можно выбрать ббльшим, чем Ж, (е). Доказательство. Рассмотрим функции Я (в) и Л (в), определенные формулами (11), и положим 5,.(с) = 1~ (с)+В (с)[с> ). (12) 0.5 0.5 0.4 н , о.з 0.2 ол о.о 1 2 3 4 5 б 7 8 0 10 Рнс. 5. Вероятность таге, что старший значащий разряд равен 1. Следовательно, при и ) 11) разность 1 )' ГЛ0 ) л Р ) 1 0 ) — — ~ — Я, ) ) ~; . Я, ) ~ ) Ы ~ ) ) 5 л ) 0<1<в 1 1 1 ограничена величиной 2 1 (Лз/10" ') + 2 <. „(11с/10" ')+114, если М служит верхней границей для суммы (13) + (14), которая имеет смысл при всех положительных целых 4. Наконец, сумма 2 0<1 „(1/10" 1), фигурирующая в (13), равна (1 — 1/10")/О Поэтому разность Гло гю Р„,(10ва) — — ~ — / 5 л(1) й+ / 5„, л(С) 411 з'19,/, ™ 1' мажет быть сделана меньше, скажем, 204 при достаточна больших н.
Сопоставляя этот вывод с (10) и (11), видим, что доказательства завершено. 1 Основной смысл леммы 14--утверждение о существовании предела (16) 1пп Р (10"и) = 5 (е). Далее из леммы следует, чта предел !пп Рш(п), который мог бы быть нашей желанной "вероятностью", не существует ни для какого т, поскольку функция 5 (з) не остается постоянной прн изменении а Представление о создавшейся ситуации дает рис. 3, на котором изображены значения 5 (з) для малых пл и г = 2. Хотя функции 5 (з) н не постоянны, так что у Р (и) не существует предела, нз рис. 5 видно, что уже для т = 3 значение 5 (з) всегда остается очень близкиы к !ояло 2 ш 0.30103. Следовательно, есть серьезные основания полагать, что функция 5 (з) очень близка к 1ая)0 г для всех больших т и чта последовательность функций (5 (з)) равномерно сходится к постоянной функции 1окло г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
