AOP_Tom2 (1021737), страница 162
Текст из файла (страница 162)
Ь) Пусть В(з) — простой биномиальный ряд 1+ х. Где раньше встречалось В1з1(х)? с) Докажите, что [х"]П1 1(х)' =,+„[х"[(7(з)*ч "~. Указание. Если Иг(х) = х/17(х) то получим (71~1(х) = (И" ~1(х)/х) ~~. г)) Докажите. следовательно, что любой степенонд И,(х) удовлетворяет не только равенствам из упр. 17 и 16, но и равенствам (х+ у)1' (х+ у+ иа) т /и) хУь(х+ йа) уу «(у+ (и — й)а) х+ у+ па ~ 1,й/ х+ йа у+(и — й)а И (х+ у) т (и — 1) Уь(х+ йа) И -ь(у — йа) = (х + у) гз у †й — 1 х+йа у — йа [Частные случаи включают биномиальную теорему Абеля, формулу 1.2.6-(16) н равенства Рота 1.2.6 — (26) и 1.2.6 — (30): сумму Тореллн, упр.
1.2.6 — 34.[ 23. [НМУб) (3. Жаботинский.) Продолжая в том же духе, предположим, что 17 = (им)— степенная матрица 11(х) = х+ (7зх + . Пусть ие = ию — — и'. сг„. г а) Объясните, как вычислить матрицу 1и 0, чтобы степенная матрица 171~!(х) равнялась ах р(а !и П) = 1 + а 1и П + (а!в (/) ~/2! + Ъ) Пусть 1„ь — элемент матрицы 1и 17, находящийся на пересечении строки и и столбца й, и пусть г з е 1в 1ег Х(х)=12 +13 +14 + 2! 3! 4! Докажите, что1„ь = [ ",)1„ьг-ь для 1 < й < и.
[Указание. П!'!(х) = х+«Ь(х)+0(с~).[ с) Рассмотрите 17! !(г) как функцию от а и х и докажите, что д П'!( ) = Цх) д и! !(х) = б(17! !( )). да дх (Оледовательно, Ь(х) = (1ь/й!)1'(х), где И(х) — функция в (27) н (28).) и) Покажите, что, если пз ф О, числа 1„можно вычислить по рекуррентной формуле т уи~ /1ьп.~ -ь = ~ 1ьи.ь. ь=з ~Ь/ ь=э Как следует использовать данную рекуррентную формулу, когда из = О. е) Докажите равенство -1 и. н ги! в=о Е понг и — — — 1ь 1ь .. 1ь й'й' '' й Ь,.~-е.ье = .~.т — 1 ьь.,.,й йз где иг = 1 + й~ + .
т й~ — 1. 24. [НМ25[ Задан степенной'ряд П(х) = 171х + (7зх~ +, где (/1 не равно корню из единицы, Пусть 17 = (и„ь) — степенная матрица П(х). а) Объяснитв, как вычиапгть матрицу !и П таким образом, чтобы степенная матрица (/! !(х) равнялась ехр(а!и Г) = 1+ а1п 17+ (а !пП) /2! + Ъ) Покажите, что если И'(х) тождественно не равно нулю и если 17()У(х)) = И'(П(х)), то Щх) = П (х) для некоторого комплексного числа а.
26. [М24) При 11(х) = х+ 17ьх~ + Пег 1х~т'+ .. и Г(х) = х+ г)х~ + !4+1х е'+, где й > 2, 1 > 2, Пь ф О, И ~ О н 17(У(х)) = !г((/(х)), докажите, что й = 1 н И(х) = 17!"!(х) для а ж 1~,/17,. 26. [МЯЛ) Покажите, что, если Г(х) = 17е+ 7/1х+Гзх~. и г'(г) = !г1х+ Узх~+ . — степенные ряды, все коэффициенты которых равны либо О, либо 1, можно получить первые Х коэффициентов ЦЪ'(х)) по модулю 2 за О(!уьь') шагов для любого е > О.
27. (Мйй( (Д. Зейлбергер (О. Ее(!Ьегбег).) Найдите рекурреитную формулу, аналогичную (9), для вычисления коэффициентов Иг(х) = 1'(х)1'(йх)... )г(д~ 'х) при звданнгех 4 и гп и коэффициентов у(х) = 1+ 1~1з+ )тех + . Предполагается, что д не равно корню нз единицы. ь 28. (НМ86( Ряд дирвхле — это сумма вида И(з) = р)/1*+(гз/2 +Ъз/3*+ 1 произведение б1(х) У(х) двух таких рядов — это ряд Дирихле Иг(х), у которого Обычные степенные ряды — частный случай рядов Дирихле, так как (ге + Ъ~з + Ъ~г~ + Ъзз~ + -.. = Ъо/1' + Ъ~/2' + 1гз/4' + 1гз/8' +, когда з = 2 '.
На самом деле ряды Дирихле эквивалентны степенным рядам вида Ъ (зн хм... ) с произвольным множеством переменных, где вь — — рь ' и рь — )г-е простое число. Найдите рекуррентное соотношение, с помощью которого можно обобщить (9) и формулу из упр, 4, если предположить, что задан ряд Дирихле )г(х) и что нужно вычислить (а) И'(з) = И(х), когда (г~ = 1 (Ъ) Иг(з) = ехрЪ'(а), когда 1г1 = О; (с) Иг(з) ж 1пр(з), когда г1 = 1. [Указание. Пусть 4(п) — общее число простых множителей и, включая кратные„и пусть 42 „Ун/и" = 2 „1(п)1к/и*.
Покажите, что операция 4 — аналогична производной, например де~1'1 ж е1П414У(з).( "Это, беэусловно, мысль, — с некоторым интеоесом поонзнес Пуаро.— Да, да, я играю роль компьютера, который питается информацией." "И, предположим, вы получаете все неправильные ответы", — сказала миссис Оливер, "это невозможно, — возоазил Эокюль пуаро.— компьютеры всего лишь соотноуют факты." "Эта не поедполагается, — сказала миссис Оливер,— но следует удивляться вещам, которые иногда происходят." — АГАТА КРИСТИ (АВАТНА СНЙ15Т1Е), ПРием и честь дня всех святых (1969) Кажется невозможным, что некоторый факт становится оеальным после ряда фактов без той власти, которая впервые их создала.
— ЭДВАРД СТИЛЛИНГФЛИТ (ЕО1П1АЙО 5Т1ШЫВРСЕЕТ), Начала таинства, 2:3:2 (1662) ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ Это единственная ветвь математики, я полэгзю, е которой хорошие эегооы неоднократно получалн соееошенно ошибочные результаты. Сомневаюсь, что есть хотя бы один поосгранный тоакгат о ееооятносгяк, сушестеуюшик в прнооде, который не содержал бы решений, абсолютно недоказуемых. — ч. с. пирс (с. б. Рбисб), Роршэг бс1епсе азопгл1у (1878) ПРИМЕЧАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 1. Задача средней сложности для читателей с математическим уклоном. 3.
(Решение Роджера Фрея (Войег Ггуе), полученное после около 110 часов вычислений на Соппесбоп Масрйпе в 1987 гаду): 95800 + 217519 -Ь 414560 = 422481'. 4. Один из читателей рукописи этой книги сообщил, что нашел поистине замечательное доказательство. Но, к сожалению, размер его заметки был слишком мал, чтобы вместить его. РАЗДЕЛ 3.1 1. (а) Вообще говоря, вы потерпите неудачу, так как владельцы телефонов по возможности выбирают "круглые" номера.
Вероятно, в некоторых районах телефонные номера устанавливаются случайным образом. Но в любом случае была бы ошибкой пытаться получить несколько последовательных случайных чисел на одной и той же странице, так как один и тот же телефонный номер часто вносится в список несколько раз подряд. (Ъ) Вы воспользуетесь левой или правой страницей7 Допустим. вы выберете номер на левой странице, разделите его на 2 и возьмете правую цифру.
Общему числу страниц следовало бы быть кратным 20, но даже если это так, данный метод исе равно обладает определенными недостатками. (с) Маркировка на гранях кости несколько нарушает симметрию игральной кости, но для практических целей этот метод вполне удовлетворителеп (и был использован автором при подготовке нескольких примеров для этой книги). См. МагЬ. Сошр. 15 (1961), 94.95. где обсуждаются игральные кости в виде икосаэдра.
(г() (Этот сложный вопрос включен в качестве сюрприза.) Число не вполне равнол1ерно распределено. Если среднее число зарегистрированных частиц в минуту равно т, вероятность тога, что счетчик зарегистрирует к частиц, равна е "'т /й! (пуассоновскае распределение); так что цифра "0" выпадает с вероятностью е "'2 г>от'"е/(107с)! и т. д. В частности, младшая цифра будет четной с вероятностью е "' соеЪ т = —.' ч- -'е ~"' н она никогда не равна -' (хотя ошибка пренебрежительно мала, когда т велико) Однако совершенно законно взнть десять наблюдений (та,..., тэ) и затем выбрать то у.
для которого сссс строго меньше, чем т, для всех с ф б; повторить операцию, если минимальное значение появляется более одного раза (см. (Ь)). (е) О'кей; подходит, если время, прошедшее с момента выбора цифры, шсучайно. Тем не менее возможны искажения в граничных случаях. (1,8) Нет. Люди обычно выбирают определенные цифры с большей вероятностью (см.
7). (Ь) О'кес1; при таком распределении номеров вероятность того, что заданная цифра присвоена выигравшей лошади, равна —,'„ 2. '1игчо таких последовательностей равно полиномиальному коэффициенту 1000000! С (100000!); таким образом, искомая вероятность равна этому числу, деленному на 10 ~ со соооаоа число всех последовательностей, содержащих миллион цифр.
Используя формулу Стирлинга, найдем, что вероятность близка к 1/(16л410ссьс2л) — 2.56 х 10 се. Грубо говоря, это происходит в одном случае из 4 х 10сс. 3. 3040504030. 4. (а) На шаг К11 мы попадаем только после шага К10 или К2, и в любом случае легко обнаружить, что Х не может равняться нулю. Если бы Х мог принимать значение "нуль" на этом шаге, то алгоритлс никогда бы не закончился (программа зациклилась бы). (Ь) Если Л установлено равным 3830951656, то вычисления подобны таким же вычислениям шагов из табл.
1. Разница состоит в там, что мы попадаем в состояние К11 У + 1 = 7 раз вместо У + 1 = 4 раз; следовательно, 3830951656 -+ 5870802097. Аналогично 5870802097 -+ 1226919902 -+ 3172562687 -+ 3319967479 -+ 6065038420 -+ 6065038420 -с .- . 5. Существует только 10'е десятизначных чисел; некоторые значения Х должны повториться на первых 10'е Ч- 1 сватах. И коль скоро какое-нибудь значение повторится, последовательность повторит свое прежнее поведение (появится периодичность). 6. (а) Испальзуя те же аргументы, чта и в предыдущем случае, легко показать, что в последовательности должно в конечном счете повториться одно из значений.
Пусть в первый раз такое повторение произойдет на псаге д + Л, где Хлел = Х„. (Это условие определяет д и Л.) Мы получим О < д < т, О < Л < т, д + Л < т. Значения д = О, Л = пс достигаются тогда и только тогда, когда 7 является циклической перестановкой; и д = т — 1, Л = 1 встретится, например, если Ха = О, 7'(х) = х + 1 для х < т — 1 и 7" (си — 1) = т — 1. (Ь) Для т > и имеем Х, = Л„тогда и только тогда, когда г — и кратно Л и и > д. Значит, Лс„= Х„тогда и талька тогда, когда и кратно Л и и > д. Ожидаемые результаты следуют теперь незамедлительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
