AOP_Tom1 (1021736), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

2. [15] Докажите, что в начале выполнения шага Е1 т всегда больше и, за исключением, возможно, только первого случая выполнения этого шага. 3. [20] Измените алгоритм Е (из соображений эффективности) таким образом, чтобы исключить из него все тривнальныв операции замены типа "т +- и". Запишите этот новый алгоритм в стиле алгоритма Е и назовите его алгоритмом Е. 4. [1О] Чему равен наибольший общий делитель чисел 2 166 и 6 0997 5.

[12] Покажите, что для процедуры чтения книг этой серии, приведенной в предисловии, не хватает трех нз пяти условий для того, чтобы она стала настоящим алгоритмом! Укажите также некоторые различия в форме записи этой процедуры и алгоритма Е. 6. [20] Чему равно Тэ (среднее число случаев выполнения шага Е1 при и = 5)7 7. [М21 ] Пусть т известно, а и — любое целое положительное число. Пусть С вЂ” среднее число случаев выполнения шага Е1 из алгоритма Е. Покажите, что С четко определено.

Существует ли какая-либо связь между С и Т 6. [М25] Придумайте эффективный формальный алгоритм вычисления наибольшего общего делителя целых положительных чисел т и и, определив соответствующим образом дэ, ф„а„6, (как в формулах (3)). Пусть входные данные представлены строкой а~Ь", т. е. за а, взятым та раз, следует 6, взятое и раз. Постарайтесь найти самое простое решение, насказано это возможно. [Указание. Воспользуйтесь алгоритмом Е, ио вместо деления на шаге Е1 присвойте г е- [т — и], и е- ппа(т,и).] 9. [МУО] Предположим, что С, = (Г1п1цй,,А) и Сэ = (4)э,1мйм~э) — методы вычислений.

Например, С~ может обозначать алгоритм Е (см. формулу (2)) при условии, что т и и ограничены по величине, а Сэ — компьютерную программу, реализующую алгоритм Е. (Тогда можно считать, что Яэ — это набор всех состояний машины, т. е. всех возможных конфигураций ее памяти и регистров, (э определяет элементарную машинную операцию, а 1э — начальное состояние, которое включает программу определения наибольшего общего делителя, а также значения т и и.) Сформулируйте теоретико-множественное определение понятия "Сэ является представлением С~" или "Сз имитирует С~".

Интуитивно это означает, что любая вычисляемая последовательность С~ имитируется Сю за исключением того, что у Сэ может быть больше шагов, на которых выполняются вычисления, и можно получить больше информации нз состояний. (Таким образом, мы получим точную интерпретацию утверждения "Программа Х является реализацией алгоритма У".) 1.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ В этОм РАзделе мы рассмотрим математические обозначения, используемые в книге Нскусство программирования, и выведем основные формулы, которые будут часто применяться.

Даже читатель, которого не интересуют сложные математические выкладки, должен понять смысл формул, чтобы кметь возможность пользоваться готовыми результатами. Математические обозначения используются в этой книге для двух основнь1х целей: для описания частей алгоритма и для анализа его рабочих характеристик. В предыдущем разделе были приведены обозначения, используемые в описаниях алгоритмов; как вы уже знаете, они достаточно просты. Но для анализа алгоритмов нам нужны другие, специальные обозначения. Большинство рассматриваемых нами алгоритмов будет сопровождаться математическими подсчетами, определяющими ожидаемую скорость выполнения алгоритма.

В этих вычислениях будут использоваться знания практически из всех разделов математики (для изложения всех используемых математических понятий потребовалась бы отдельная книга). Тем не менее для выполнения большинства вычислений используются знания математики на уровне школьного курса алгебры, поэтому читатель, знакомый с элементарными вычислениями, сможет разобраться почти во всех математических выкладках. В случаях, когда нам понадобятся более глубокие результаты из теории комплексного переменного, теории групп, теории чисел, теории вероятностей и т.

д., материал будет излагаться как можно проще либо будет дава ссылка на другие источники информации. Математические методы, используемые при анализе алгоритмов, имеют свои отличительные особенности. Например, нам довольно часто придется выполнять суммирование конечного числа рациональных чисел или решать рекуррентные уравнения. Подобные темы обычно очень поверхностно освещаются при чтении математических дисциплин, поэтому назначение следующих разделов — не только потренироваться в использовании обозначенкй, но и проиллюстрировать типы и методы вычислений, которые будут нам особенно необходимы.

Важное замечание. Хотя в следующих разделах содержатся обширные сведения из различных областей математики, которые совершенно необходимы для изучения компьютерных алгоритмов, большинство читателей сначала не увидят особой связи между этим материалом и программированием (за исключением раздела 1.2.1, в котором такая связь очевидна). Читатель, конечно, может сразу приступить к внимательному изучению след) юших разделов, приняв на веру слова автора о том, что данные темы действительно очень важны. Но я считаю, что главной побу дительной силой является интерес. Поэтому, наверное, лучше поступить иначе: сначала просто просмотреть этот раздел, а затем (после знакомства с применением указанных методов в следующих главах) снова вернуться к нему длл более глубокого изучения.

Ведь если во время первого чтения книги потратить стишком много времени на изучение данного математического материала, то можно никогда не дойти до вопросов программирования! Тем не менее каждый читатель должен ознакомиться хотя бы с общим содержанием этих разделов и дчаже во время первого чтения попытаться выполнить несколько упражнений. Разделу 1.2.10 следует уделить особо;: внимание, так как зго отправная точка для большей части творе.

тического материала, излагаемого впоследствии. В разделе 1.3 происходит резкий переход от "чистой математики" к "чистому программированию." Более подробно последующий материал излагается в книге В. СтаЬатп, П. КппсЬ, О. РатаяЬпй, Сопсгете МагЬетпаттся, яесапт1 ет)тсюп (Веас(тпй, Маяяз АсЫтяоп-'т(тея1еу, 1994) (Грэхетт Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — Мз Мир, 1998). Впоследствии, ссылаясь на эту книгу, мы будем называть ее просто СМай. 1.2.1.

Математическая индукция Пусть Р(п) — некоторое утверждение, касающееся целого числа п, например, "тт умножить на (п + 3) — четное число" или "если и > 10, то 2" > пэ". Предположим, нам нужно доказать, что утверждение. Р(п) верно для всех положительных целых чттсел п. Существует важный метод доказательства этого факта, который состоит в следующем.

а) Доказать, что Р(1) верно. Ь) Доказать, что "если Р(1),Р(2)т, ..,Р(и) справедливы, то Р(п+ 1) также справедливо"; это доказательство должно иметь силу для любого целого положительного п. В качестве примера рассмотрим следующие известные с древних времен равенства, которые многие исследователи открывали независимо друг от друга: 12 1+3 = 2т, 1+3+5=3т, 1+3+5+7=4т, 1+3+5+7ч-9=5т. В общем виде эти равенства можно записать следующим образом: 1+3+ .

+ (2и — 1) = и~. Давайте назовем это утверисдение Р(п) и докажем, что оио верно для любого поло- жительного тт. Согласно методу, описанному выше, имеем следующее. а) "Р(1) верно, так как 1 = 1Я." Ь) "Если все утверждения Р(1),...,Р(п) справедливы, то, в частности, верно и Р(п); следовательно, выполняется соотношение (2). Добавляя к обеим частям этого уравнения 2п + 1, получаем 1 + 3 + .- + (2п — 1) + (2п + 1) = и + 2п + 1 = (и + 1) . Таким образом, утверждение Р(п + 1) также справедливо." Этот метод можно считать олэормтимической процедурой док эаительситяа.

В самом деле, следующий алгоритм дает доказательство утверждения Р(п) для любого целого положительного и в предположении, что пп. (а) и (Ь) уже выполнены. Алгоритм 1 (Пвстпроитпь доказательство). Для заданного целого положительного числа и этот алгоритм (рис.

2) выдаст доказательство того, что утверждение Р(п) верно. 11. [Доказать Р(1).[ Присвоить к < — 1 и в соответствии с и. (а) выдать доказательство утверждения Р(1). 12. [й = п?] Если )т = и, закончить выполнение алгоритма; требуемое доказательство выдано. 13. [Доказать Р(к+ 1).] Согласно п. (Ь) выдать доказательство того, что "Если все утверждения Р(1),..., Р()т) справедливы, то Р()с + 1) также справедливо". Вывести фразу "Мы уже доказали, что если утверждения Р(1),..., Р()т) верны, то верно и Р(к+ 1)", 14. [Увеличить к.[ Увеличить )т на 1 и перейти к шагу 12. 11. Доказать Р(1) 12.

й=п? Нет 13. Доказать Р(И+1) 14. Увеличить я Да Рнс. 2. Алгоритм!: математическая ивдукция. Поскольку этот алгоритм выдает доказательство утверждения Р(п) для любого заданного и, метод доказательства, сформулированный в пп. (а) и (Ь), логически обоснован. Он называется доказательством метпадом матпематпическоа индукции. Понятие математической индукции следует отличать от того, что в научной практике обычно называют индуктивным методом. Данный метод заключается в том, что ученый делает некоторые наблюдения и создает "по индукции" общую. теорию или выдвигает гипотезу, объясняющую эти факты. Например, на основании пяти соотношений (1), приведенных выше, мы могли бы сформулировать соотношение (2). В этом смысле индукция — не более чем догадка или попытка объяснить.

конкретную ситуацию; математики называют это эмпирическим результатом или предположением. Для того чтобы прояснить суть дела, рассмотрим еще один поучительный при-. мер. Пусть р(п) обозначает количество разбиений числа и, т. е. количество различных способов записи числа тт в виде суммы целых положительных чисел (порядок слагаемых значения не имеет).

Характеристики

Список файлов книги