А.Р.Пирумов, Г.Н.Трофимов, Н.Н.Холин - Сопротивление материалов (1021700), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В итоге получаем :

И окончательно дифференциальное уравнение при продольном изгибе получает вид:

(12.3)

Введем обозначение:

(12.4)

Тогда:

(12.5)

Решение уравнения (12.5) ищем в виде:

(12.6)

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

1. При Z=0 , V(A) = 0;

2. При Z=l , V(B) = 0

В итоге решение уравнения (7.5) имеет вид:

V(Z)=A·sin Kl = 0

Для определения критической силы рассмотрим выражение (12…..). Значение, равное нулю, синус принимает при следующих значениях аргумента :

Kl= O; π;2π;…;nπ.

Минимальное значение аргумента получает вид:

Kl=π

Или:

С учётом (12.4) можем записать:

Окончательно, полученное Л.Эйлером выражение для критической силы имеет вид:

(12.7)

Согласно (12.7) данное значение критической силы имеет место , когда стержень получает прогиб по полусинусоиде. Но это справедливо только для рассматриваемого случая закрепления стержня. Например, при трёх опорах стержень получает прогиб равный одному периоду синусоиды (см. рис. 12.2).

Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы.

Формула Эйлера для определения критической силы получила применение в XIX веке при расчете ферм железнодорожных мостов для сжатых поясов и стоек. При этом оказалось, что наряду с удовлетворительными результатами имели случаи конструкций с выпучиванием стержней, что приводило к большим железнодорожным катастрофам.

Было выдвинуто предположение, что так как шарниры в фермах мостов не являются идеальными, необходимо исследовать влияние других способов закрепления концов стержня на величину критической силы.

Были рассмотрены решения дифференциального уравнения упругой линии балки для различных форм закрепления. В нашем курсе удобнее рассмотреть влияние способов закрепления с помощью привидения конфигураций упругой линии балки и основному способу, рассмотренному Эйлером, то есть к полусинусоиде.

На рис. 12.3. показано для каких длин стержней выполняется полусинусоида при различных способах закрепления.

Случай «а)» , полусинусоида на всей длине стержня,

Случай «б)» , полусинусоида на двойной длине стержня,

Случай «в)» , полусинусоида на части длины стержня , равной ≈ 0,7 длина стержня. Подставив этот коэффициент в основную формулу, получим:

Случай «г)» , полусинусоида на половине длины стержня,

В общем виде окончательно выражение критической силы по Эйлеру записывается в следующем виде:

(12.15)

Где µ - коэффициент приведения длины.

Для рассмотренных случаев закрепления концов стержня коэффициенты приведения длины имеют следующие значения:

а) µ=1

б) µ=2

в)

Понятие о гибкости стержня.

Введение понятия приведенной длины стержня дало слишком незначительную поправку при определении критической силы. Было высказано предположение, что помимо упругих деформаций, как это предположил Эйлер, необходимо учитывать на некотором этапе потери устойчивости стержня возникновении в нем пластических деформаций. С целью учета их возникновений было определено значение критического напряжения. При этом, основываясь на состоянии бифуркации , критическое напряжение было определено для не изогнутого стержня, то есть как при обычном сжатии.

Глава 13. Анализ формулы Эйлера

Значениям критической силы высших порядков соответствуют искривления по синусоидам с двумя, тремя и т. д. полуволнами (Рис.13.1):

Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (13.1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.13.1).

Рис. 13.1

Наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда

Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

Из последнего выражения видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

Глава 14. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ф. Ясинского.

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

На рис.14.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности.

Рис. 14.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

или

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.14.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Характеристики

Список файлов книги