Д.У.Пособие4 (1019550)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

40

Часть 4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений называется задача нахождения частного решения указанной системы, удовлетворяющего условиям

, ,….., при .

Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему n дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению порядка n.

Пример. Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее условиям

Эта система является системой двух дифференциальных уравнений первого порядка для двух неизвестных функций. Сведем ее к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого из одного из уравнений (например из первого) выразим функцию и продифференцируем, то есть найдем . Подставим и во второе уравнение. В результате мы получим дифференциальное уравнение второго порядка для функции . Рассмотрим решение по указанной схеме данного примера. Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.

Получаем ; ;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

+ .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; ; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

;

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.

Так как , то для определения имеем систему уравнений:

Решая систему, получаем

Ответ: , .

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое уравнение.

Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.

Получаем

;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

,

где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

;

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Ответ: ;

.

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы.

Получаем

; ;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; ; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Ответ: ;

.

40

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги