д.у. (1019227)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задача 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциальногоуравнения.Решение.Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменныеdydy= e 2 x ⋅ e− y , ⇒ − y = e 2 x dx , ⇒ e y dy = e 2 x dx . Интегрируем левую и правую частиdxe1 2xyy2x∫ e dy = ∫ e dx , получим общее решение исходного уравнения e = 2 ⋅ e + C ,1⇒ y = ln  ⋅ e2 x + C  .2Ответ: y = ln  ⋅ e2 x + C  .12Задача 1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциальногоуравнения.Решение.Это однородное уравнение. Преобразуем уравнение, разделив обе частиуравнения на x , получим y′ =3 y 3 + 12 x 2 yy. Сделаем замену = z , ⇒ y = x ⋅ z тогда22xx ⋅ ( 2 y + 6x )3 ⋅ ( x ⋅ z ) + 12 x 2 ⋅ x ⋅ z3y′ = z + x ⋅ z ′ . Подставим вместо y и y′ в уравнение, получим: z + x ⋅ z ′ =⇒ z + x ⋅ z′ =x 3 ⋅ ( 3 z 3 + 12 z )x3 ⋅ ( 2 z 2 + 6 ), ⇒ x ⋅ z′ =(x ⋅ 2 ⋅ ( x ⋅ z ) + 6 x22),3 z 3 + 12 zz3 + 6z′−z,⇒x⋅z=.

Разделим переменные2z 2 + 62z2 + 622 z 2 + 6 ) dz dx(dz z ⋅ ( z + 6 ),⇒=. Интегрируем левую и правую частиx⋅ =dx2z2 + 6xz ⋅ ( z 2 + 6)( 2 z + 6 ) dz = dx . Вычислим сначала каждый из интегралов:∫ z ⋅ ( z + 6) ∫ x( 2 z + 6 ) dz =  1 + z  dz = dz + zdz = ln z + 1 ⋅ ln z + 6 + C = 1 ⋅ ln z ⋅ zа) ∫(∫ z ∫ z +622z ⋅ ( z + 6) ∫  z z + 6 22222б)∫2222+ 6) + C ;dx= ln x + C .xТогда общее решение уравнения x ⋅ z′ =⇒ z 2 ⋅ ( z 2 + 6) = C ⋅ x2 .z3 + 6z11равно: ⋅ ln z 2 ⋅ ( z 2 + 6 ) = ln x + ⋅ ln C ,22z + 622Сделаем обратную замену, получим общее решение исходного уравнения: y  x2y2 ⋅ ( y2 + 6x2 )  y 22= C ⋅ x2 , ⇒ y 2 ⋅ ( y 2 + 6 x2 ) = C ⋅ x6 .⋅  + 6 = C ⋅ x , ⇒4 x xОтвет: y 2 ⋅ ( y 2 + 6 x 2 ) = C ⋅ x 6 .Задача 3.

Решить задачу КошиРешение.Это дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем сначала общееydyy= 0 . Разделим переменные:=,x+2dx x + 2dydxdydx⇒=. Интегрируем левую и правую части ∫ = ∫, получим общее решениеy x+2yx+2однородного уравнения: ln y = ln x + 2 + ln C , ⇒ y = C ⋅ ( x + 2 ) .решение однородного уравнения y′ −Общее решение исходного уравнения будем искать в виде y = C ( x ) ⋅ ( x + 2 ) .Дифференцируем y′ = C ( x ) ⋅ ( x + 2 )′ = C ′ ( x ) ⋅ ( x + 2 ) + C ( x ) ⋅ ( x + 2 )′ = C ′ ( x ) ⋅ ( x + 2 ) + C ( x ) .Подставим в место y и y′ в исходное уравнение, получим:1⋅ C ( x ) ⋅ ( x + 2) = x2 + 2x ;x+2C′ ( x ) ⋅ ( x + 2) = ( x + 2) ⋅ x ;C′ ( x ) ⋅ ( x + 2) + C ( x ) −C′ ( x ) = x .1212Интегрируем C ( x ) = ∫ xdx = ⋅ x 2 + ⋅ C ∗ .

Общее решение исходного уравнения равно111y =  ⋅ x2 + ⋅ C ∗  ⋅ ( x + 2) = ⋅ ( x2 + C ∗ ) ⋅ ( x + 2) .22232Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y ( −1) = ,()получим: y ( −1) = ⋅ ( −1) + C ∗ ⋅ ( −1 + 2 ) = ⋅ (1 + C ∗ ) ⋅1 = ⋅ (1 + C ∗ ) = , ⇒ 1 + C ∗ = 3 ,12212⇒ C ∗ = 3 − 1 = 2 . Частное решение равно y =12321⋅ ( x2 + 2) ⋅ ( x + 2 ) .2Ответ: y = ⋅ ( x 2 + 2 ) ⋅ ( x + 2 ) .12Задача 4. Найти общее решение или общий интеграл дифференциальногоуравнения второго порядкаРешение.Это уравнение допускающее понижение порядка. Сделаем замену y′ = z , гдеz = z ( x ) , тогда y′′ = z ′ . Получим уравнение z ′ ⋅ tg x − z +⇒ z ′ − z ⋅ ctg x = −1z1= 0 , ⇒ z′ −=−,sin xtg xtg x ⋅ sin xcos x.sin 2 xНайдем сначала общее решение однородного уравнения z′ − z ⋅ ctg x = 0 .

Разделимпеременные:dzdz cos x= z ⋅ ctg x , ⇒=dx . Интегрируем левую и правую частиdxz sin xdzcos x=∫dx , получим общее решение однородного уравнения: ln z = ln sin x + ln C ,zsin x⇒ z = C ⋅ sin x .∫cos xбудем искать z = C ( x ) ⋅ sin x .sin 2 xДифференцируем z′ = C ( x ) ⋅ sin x ′ = C ′ ( x ) ⋅ sin x + C ( x ) ⋅ ( sin x )′ = C ′ ( x ) ⋅ sin x + C ( x ) ⋅ cos x .Полученные выражения для z и z′ в уравнение, получим:cos xC ′ ( x ) ⋅ sin x + C ( x ) ⋅ cos x − C ( x ) ⋅ sin x ⋅ ctg x = − 2 ;sin xcos xC′ ( x ) = − 3 .sin xОбщее решение уравнения z′ − z ⋅ ctg x = −d ( sin x )( sin x ) + C = 1 + C .

Тогда общееcos xИнтегрируем C ( x ) = − ∫ 3 dx = − ∫=−11sin xsin 3 x−3 + 12 ⋅ sin 2 x11решение уравнения равно z = + C1  ⋅ sin x =+ C1 ⋅ sin x .22 ⋅ sin x 2 ⋅ sin x1Сделаем обратную замену, получим уравнение y′ =+ C1 ⋅ sin x . Разделим2 ⋅ sin xdy1 1переменные:=+ C1 ⋅ sin x , ⇒ dy = + C1 ⋅ sin x  dx . Интегрируем левую иdx 2 ⋅ sin x 2 ⋅ sin x11xправую части ∫ dy = ∫ + C1 ⋅ sin x  dx , получим y = ⋅ ln tg − C1 ⋅ cos x + C2 .22 2 ⋅ sin x1xОтвет: y = ⋅ ln tg − C1 ⋅ cos x + C2 .22−3+1Задача 5.

Найти общее решение уравнения y′′ + 9 y =1, используяsin 3 xхарактеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных.Решение.Найдем сначала общее решение однородного уравнения y′′ + 9 y = 0 . Составимхарактеристическое уравнение k 2 + 9 = 0 . Корни уравнения равны k1,2 = ±3i . Тогда общеерешение однородного уравнения равно y0 = C1 cos 3x + C2 sin 3x .Общее решение исходного уравнения будем искать в виде y = C1 ( x ) ⋅ cos 3 x ++C2 ( x ) ⋅ sin 3x методом вариации постоянных.Значение C1 ( x ) и C2 ( x ) найдем из системы уравнений:cos 3 xC2′ ( x ) = −C1′ ( x ) ⋅,C1′ ( x ) ⋅ cos 3 x + C2′ ( x ) ⋅ sin 3 x = 0,sin 3 x⇒⇒1cos3x1′′3Cxsin3x3Cxcos3x,−⋅+⋅=−3C ′ ( x ) ⋅ sin 3 x − 3C ′ ( x ) ⋅1 ( )2 ( )⋅ cos 3 x =,11sin 3 xsin 3 xsin 3 xcos 3 x1 ′′′ C2 ( x ) = −C1 ( x ) ⋅ sin 3 x , C1 ( x ) = − 3 ,⇒⇒−3C ′ ( x ) ⋅ 1 = 1 ,C ′ ( x ) = 1 ⋅ cos 3 x .1 2sin 3 x sin 3 x3 sin 3 x13d ( sin 3 x )13Интегрируем первое уравнение, получим C1 ( x ) = − ⋅ ∫ dx = − ⋅ x + C1∗ .

Интегрируем13второе уравнение, получим C2 ( x ) = ⋅ ∫cos 3 x1dx = ⋅ ∫sin 3 x9sin 3 x1= ln sin 3 x + C2∗ .9Тогда общее решение исходного уравнения равно:1 11y =  − ⋅ x + C1∗  ⋅ cos 3 x +  ⋅ ln sin 3 x + C2∗  ⋅ sin 3 x = C1∗ ⋅ cos 3 x + C2∗ ⋅ sin 3 x − x ⋅ cos 3 x +3 391+ ⋅ cos 3 x ⋅ ln sin 3 x .9Ответ: y = C1∗ ⋅ cos 3 x + C2∗ ⋅ sin 3 x − 1 ⋅ x ⋅ cos 3 x + 1 ⋅ cos 3x ⋅ ln sin 3x .39Задача 6. Операторным методом найти решение задачи Коши.y′′ − 4 y′ + 13 y = e −2 x , y ( 0 ) = −1 , y′ ( 0 ) = 1 .Решение.•Пусть y ( x ) → Y ( p ) , тогда по правилу дифференцирования оригинала имеем••y′ ( x ) → p ⋅ Y ( p ) − y ( 0 ) = p ⋅ Y ( p ) + 1 и y′′ ( x ) → p 2 ⋅ Y ( p ) − p ⋅ y ( 0 ) − y′ ( 0 ) = p 2 ⋅ Y ( p ) + p − 1 .•По таблице основных оригиналов и их изображения e−2 x →1.p+2Тогда получим уравнение: p 2 ⋅ Y ( p ) + p − 1 − 4 ⋅ ( p ⋅ Y ( p ) + 1) + 13 ⋅ Y ( p ) =⇒ ( p 2 − 4 p + 13) ⋅ Y ( p ) =1,p+21− p 2 + 3 p + 11− p + 5 , ⇒ Y ( p) =.p+2( p + 2 ) ⋅ ( p 2 − 4 p + 13)Представим дробь Y ( p ) =− p 2 + 3 p + 11в виде суммы простых дробей, т.е.( p + 2 ) ⋅ ( p 2 − 4 p + 13)− p 2 + 3 p + 11ABp + CY ( p) ==+ 2.

Найдем коэффициенты A, B и C :2( p + 2 ) ⋅ ( p − 4 p + 13) p + 2 p − 4 p + 13A ⋅ ( p 2 − 4 p + 13) + ( Bp + C ) ⋅ ( p + 2 )− p 2 + 3 p + 11=;( p + 2 ) ⋅ ( p 2 − 4 p + 13)( p + 2 ) ⋅ ( p 2 − 4 p + 13)− p 2 + 3 p + 11 = Ap 2 − 4 Ap + 13 A + Bp 2 + Cp + 2 Bp + 2C ;− p 2 + 3 p + 11 = ( A + B ) p 2 + ( −4 A + C + 2 B ) p + (13 A + 2C ) .Получим систему уравнений и найдем ее решения:B = −1 − A,B = −1 − A, A + B = −1, B = −1 − A,C = 5 + 6 A,⇒−4 A + C + 2 B = 3, ⇒ −4 A + C + 2 ⋅ ( −1 − A) = 3, ⇒  −6 A + C = 5, ⇒  13 A + 2C = 11,13 A + 2C = 11, 13 A + 2 ⋅ ( 5 + 6 A) = 11,13 A + 2C = 11,11 B = −1 − 25 , A = 25 ,B = −1 − A, B = −1 − A, 126⇒C = 5 + 6 A,⇒ C = 5 + 6 A, ⇒ C = 5 + 6 ⋅ , ⇒  B = − ,252513 A + 10 + 12 A = 11,  25 A = 1,1131 A = 25 , C = 25 .Имеем представление Y ( p ) =111 26 p − 131111 26 p − 131⋅− ⋅ 2= ⋅− ⋅=25 p + 2 25 p − 4 p + 13 25 p + 2 25 ( p − 2 )2 + 9=111 26 ⋅ ( p − 2 + 2 ) − 131 111 26 ⋅ ( p − 2 ) − 79 1126p−2⋅− ⋅= ⋅− ⋅= ⋅− ⋅+222225 p + 2 2525 p + 2 25 ( p − 2 ) + 325 p + 2 25 ( p − 2 )2 + 32( p − 2) + 3+793.⋅75 ( p − 2 ) 2 + 32По таблице основных оригиналов и их изображения:p−2( p − 2)2+32•→ e 2 x ⋅ cos 3 x и3( p − 2)2+321•→ e −2 x ,p+2•→ e 2 x ⋅ sin 3 x .1 −2 x 26 2 x79⋅ e − ⋅ e ⋅ cos 3 x + ⋅ e2 x ⋅ sin 3 x .25257512679Ответ: y ( x ) = ⋅ e−2 x − ⋅ e 2 x ⋅ cos 3 x + ⋅ e 2 x ⋅ sin 3x .252575•Тогда частное решение равно Y ( p ) → y ( x) =Задача 7.

Решить задачу Коши для системы уравнений dx dt = −2 x − y, dy = 5 x + 2 y, dtс начальными условиями x ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = −1 двумя способами: методом исключениянеизвестных и операторным методом.Решение.а) Методом исключения неизвестных.Из первого уравнения системы выразим y через x иdxdx. получим: y = −2 x − .dtdtdy d dx dx d 2 x=  −2 x −  = −2 ⋅ − 2 .dt dt dt dt dtdyПолученные выражения y иподставим во 2-ое уравнение системы, получим:dyДифференцируем−2 ⋅dx d 2 xdx d 2x− 2 = 5 x + 2 ⋅  −2 x −  , ⇒ 2 + x = 0 .dt dtdt dtПолучим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.Запишем характеристическое уравнение k 2 + 1 = 0 . Корни этого уравнения k1,2 = ±i .Тогда общее решение равно x ( t ) = C1 ⋅ cos t + C2 ⋅ sin t .Вычисли производную функции x = x ( t ) , получим: x′ ( t ) =dx= ( C1 ⋅ cos t + C2 ⋅ sin t )′ =dt= −C1 ⋅ sin t + C2 ⋅ cos t .dxdxв уравнение y = −2 x − , получим:dtdty = −2 ⋅ ( C1 ⋅ cos t + C2 ⋅ sin t ) − ( −C1 ⋅ sin t + C2 ⋅ cos t ) = ( −2C1 − C2 ) ⋅ cos t + ( C1 − 2C2 ) ⋅ sin tПодставим выражения вместо x иx = C ⋅ cos t + C ⋅ sin t ,12Общее решение системы уравнений равно:  y = ( −2C1 − C2 ) ⋅ cos t + ( C1 − 2C2 ) ⋅ sin t.Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям x ( 0 ) = 1 иy ( 0 ) = −1 , получим:x ( 0 ) = C1 ⋅ cos 0 + C2 ⋅ sin 0 = C1 ⋅1 + 0 = C1 ;y ( 0 ) = ( −2C1 − C2 ) ⋅ cos 0 + ( C1 − 2C2 ) ⋅ sin 0 = ( −2C1 − C2 ) ⋅1 + 0 = −2C1 − C2 .Тогда получим систему уравнений и найдем ее решение:C1 = 1,C1 = 1, C = 1,⇒⇒ 1−2C1 − C2 = −1,  −2 ⋅1 − C2 = −1, C2 = −1. x = cos t − sin t , y = − cos t + 3 ⋅ sin t.Частное решение системы уравнений равно: б) Операторным методом.••Пусть x ( t ) → X ( p ) и y ( t ) → Y ( p ) , тогда x′ ( t ) =dx •→ p ⋅ X ( p ) − x ( 0) = p ⋅ X ( p ) −1dtdy •→ p ⋅ Y ( p ) − y ( 0 ) = p ⋅ Y ( p ) + 1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания